Простое число! Составное число. III

     Познавший красоту арифметики;
Может познать многое в космосе арифметики!

    Простое число (ПЧ) N, не кратное 3 или 5 –
это число, выраженное формулой   N = 6n±1  и не являющееся составным числом (СЧ), которое выражается формулой
N=36ав ±  6(а±в) ±1 = 6n ± 1, где А=6а±1, В=6в±1
    То есть СЧ может быть выражено одной из четырёх формул:
N+ + +=АВ= (6а+1) (6в+1) = 36ав + 6(а+в) +1
N+- - = АВ= (6а-1) (6в+1) = 36ав + 6(а-в) – 1
N- + + = АВ= (6а-1) (6в-1) = 36ав -  6(а+в)  +1
N-  - - = АВ= (6а+1) (6в-1) = 36ав -  6(а-в) -1  
  Простое число ПЧ (не кратное 3 или 5) может быть выражено одной из четырёх формул:
36ав + 6(а+в) -1
36ав + 6(а-в) + 1
36ав -  6(а+в)  - 1
 36ав -  6(а-в) +1
    Таким образом, существует всего 4 варианта формул для отнесения  любого нечётного числе к  ПРОСТОМУ ЧИСЛУ (ПЧ) в случае, если оно  не  кратно 3 или 5.

ПЧ, равное N- + - = АВ= (6а-1) (6в-1) = 36ав -  6(а+в)  - 1



_______
Рассмотрим простые числа, НЕ КРАТНЫЕ 3 или5:

ПЧ=(ПЧх1) = ((ПЧ+1)/2)2 - ((ПЧ-1)/2)2   
5 – не рассматривается (5=32 - 22 =9 – 4 =5 = 2+3)

ПЧ++-=7 =((7+1)/2)2 - ((7-1)/2)2 =42 - 32 =16 - 9 =7 = 3+4
11=  ((11+1)/2)2 - ((11-1)/2)2 =62 - 52 =36 - 25 =11=5+6
ПЧ++-=13=  ((13+1)/2)2 - ((13-1)/2)2 =72 - 62 =49 - 36 = 13 = 6+7
            7+8=15– не рассматриватся     - кратно 5.    7+8
17 =((17+1)/2)2 - ((17-1)/2)2 =92 - 82 =81 - 64 =17=8+9
19 =((19+1)/2)2 - ((19-1)/2)2 =102 - 92 =100 - 81 =19= 9+10
                Не рассматриватся  кратное 3           10+11
23 =((23+1)/2)2 - ((23-1)/2)2 =122 - 112 =144 - 121 =23= 11+12
                Не рассматривается – кратное 5            12+13.
                Не рассматриватся  кратное 3           13+14
29=((29+1)/2)2 - ((29-1)/2)2 =152 - 142 = 225 - 196 =29=14+15
31 =((29+1)/2)2 - ((29-1)/2)2 =162 - 152 = 256 - 225 =31=15+16
                Не рассматриватся  кратное 3           16+17 =33
        Не рассматривается – кратное 5           17+18=35
37 =18+19
     Не рассматриватся  кратное 3           19+20=39
41=20+21 =441-400=41
43=21+22 =484 =441= 43
  Не рассматривается – кратное 5           22+23=45
   47=23+24

49=24+25 = 625- 576=49  -(кратно 7)   
     Проверка через формулу ПЧ++- (для а=1 и в=1):   
ПЧ++=36х1+6х2 -1 =48-1=47  = не равно  49   
51 кратно 3
53 = 27+26 =  272 - 262  = 729 – 676=53  =ПЧ++-
Упрощённая проверка через формулы квадратов чисел:
272 =
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+…+29 +31+33+35+37+39+41+43+35+47+49++51+53 =
           =  25 +                + 75  +      +125 +                +175 +                +225+ 104= 729
 (27 слагаемых)
262 =
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+…+29 +31+33+35+37+39+41+43+35+47+49++51= 676
(26 слагаемых)
 
272 - 262  =  (27 слагаемых) -  (26 слагаемых)= (максимальное 27-ое слагаемое, равное =53)

 Проверка через формулу ПЧ-+- = 36х2+6х3 -1= 72-18-1=72-19=53 –
соответствует формуле ПЧ-+- для а=1, в=2.
_______
  Возможно для быстрого поиска новых простых чисел найти алгоритм получения  неизвестного простого числа (ПЧ), следующего за известным ПЧ.