Нулевая степень и черепаха Зенона

  Данное эссе есть продолжение другого эссе "Проблема ноля в математике. Деление и умножение на ноль", в котором я утверждал, что при умножении или делении исходного числа на ноль ничего не происходит.



 Здесь затронем проблему нулевой степени.
 Не совсем понятно, почему любое число в нулевой степени равно единице.
 Почему не нулю, например?
 Ведь именно так и должно быть, если опираться на само определение того, что означает степень числа.

 Представим следующую запись.

 2*2*2=8


 Здесь мы видим действие умножения, при котором одно и то же число (в данном случае число 2) трижды повторяется. Это количество повторов при умножении и есть степень числа.

 Т.е. 2*2*2 - это два в третьей степени.



 Получается, что нулевую степень должно иметь число, которое в математической записи встречается ноль раз и следовательно равно нулю.
Почему же математики утверждают, что любое число в нулевой степени равно единице?




 Изначально степень вводилась для сокращения записи при умножении одного и того же целого числа на само себя, и никакой нулевой степени тогда ещё не было.
 Но в своё время французский математик Никола Шюке для дробных чисел вводит отрицательные степени и одновременно с этим вводит и нулевую степень, т.к. при сложении и вычитании степеней однажды можно получить и нулевую степень.
Так в математике и происходит.




Отрицательные степени для дробей меньше единицы.

1/2 - это 2 в минус 1 степени
1/4 - это 2 в -2 степени
1/8 - это 2 в -3 степени и т.д.




 Если взять шкалу положительных и отрицательных чисел, то водоразделом между ними будет ноль.


  -4  -3  -2  -1  0  1  2  3  4



 На этой шкале (обозначим её - шкала номер 1) господствуют действия сложения и вычитания. Что я имею в виду?
  А то, что, взяв за исходное любое число (кроме нуля), в точку ноль мы можем попасть прибегая только к действиям сложения или вычитания.




 С помощью умножения или деления мы никогда не получится нулевой результат, не попадём в точку ноль на шкале.



 
 Почему именно ноль является водоразделом?
Одна особенность. Ноль отличается от остальных чисел тем, что воздействуя на самого себя сложением или вычитанием, он  никак не меняется, чего нельзя сказать об остальных числах.


0+0=0
0-0=0





 Чего не могут понять математики до сих пор это того, что ноль вообще никак не участвует в действия деления и умножения, поэтому сам не обладает никакой степенью, ни отрицательной, ни положительной, ни даже нулевой, иначе станет равен единице, т.к. не может он быть целым или дробным, чётным или нечётным, а единица может.


 
Ноль может появиться в мире единицы и её производных только там, где мы складываем или вычитаем.







Теперь обозначим другую шкалу (шкалу номер 2) для целых и дробных чисел меньше единицы.



 1/4  1/3  1/2  1  2  3  4




 На этой шкале (шкала номер 2) господствуют действия деления и умножения. Водоразделом между дробными числами меньше нуля и целыми является единица, и у неё тоже, как и у нуля, проявляется своя особенность.


 При умножении или делении единицы на саму себя она не меняется, чего нельзя сказать об остальных числах.


 1*1=1
 1:1=1



 Теперь, поместив один водораздел, где чИсла складываются и вычитаются, над другим водоразделом, где числа дробятся и множатся, мы получим ноль над единицей  или, иначе говоря, единицу в нулевой степени.


 Именно так и получилось у математика Шюке в далёком 15 веке.
Он ввёл в алгебру отрицательную и нулевую степень, и всё бы ничего, но определение того, что есть степень числа осталось прежним.


 И пока не будет написано новое определение для степени числа с учётом нововведений Шюке, ученики и их преподаватели, исходя из имеющегося у них и доныне определения, имеют право понимать нулевую степень, как число равное нулю, а не единице.
 Т.е. раз у нас ноль повторов числа в записи при умножении , значит и самого числа в записи нет, а для обозначения "нет" в математике есть ноль.






  Как ни странно, но вышесказанное о нуле связано и с известной апорией древнегреческого философа Зенона об Ахиллесе и черепахе.
В чём загвоздка, обман или самообман, или главный трюк Зенона?
 Вспомним, о чем эта апория, и что утверждал Зенон.


 Цитата из Википедии.



 "Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху".


 


 Допустим, что Зенон прав.
Но Ахиллес бежит с определённой скоростью, превышающую скорость черепахи. Скорость, как мы знаем сегодня, это отношение пройденного пути к затраченному времени. Попробуем замедлить время. Что получится?
 

 Мы с вами увидим, как движение Ахиллеса постепенно замедляется, как в замедленном кино, пока и вовсе не превратится в застывшую картину напряжённо бегущего человека.




 Но оставим время в покое.  Пусть Ахиллес бежит, как бежал.
Коснёмся пространства.


 Ахиллес никогда не догонит черепаху, если по мере приближения к ней, т.е. уменьшения расстояния, будем уменьшаться сам, пока и вовсе не исчезнем в микромире, где обитают бактерии и вирусы.


 Что ж, обе описанные картины хороши, хороши для произведения Льюиса Кэрролла "Алиса в стране чудес" или для какого-нибудь фантастического рассказа, ведь в реальности мы ничего подобного не наблюдаем.



 


 Так в чём подвох или ошибка Зенона?
 А в том, что философ действие вычитания подменил действием деления, дихотомией (деление отрезков пополам).
 А как было сказано выше, ноль не участвует в делении, и попасть в точку ноль, где Ахиллес сравняется с черепахой, можно только действием вычитания, что мы и наблюдаем в реальности.



 Почему же у Зенона вышла такая подмена?
Здесь может быть несколько причин.


 Одна причина, на мой взгляд, заключатся в том, что и деление и вычитание подразумевают уменьшение исходного числа или величины, но... поломать вещь - это не то же, что и отобрать её. Происходит своего рода гипноз слов, что приводит к ошибкам.



 В геометрии тех далёких времён уже было принято, что - отрезок делится, а точка нет.

Поэтому сколько не дели отрезки, они никогда не станут точкой, будут лишь уменьшаться.


 Получается, что даже если бы черепаха оставалась на месте, а отрезки делились бы не только пополам, а на любое количество частей, всё равно в точку ноль Ахиллес бы не попал.




 Для описания бега Ахиллеса не подходит шкала номер 2 с её делением и дробями, а шкала номер 1 подходит идеально.



 На ней отрицательные числа могли бы указывать на расстояние, на которое Ахиллес отстаёт от черепахи, точка ноль - на момент, когда Ахиллес сравнятся с черепахой, а положительные числа - на то, насколько Ахиллес обгоняет черепаху.


 Поэтому, когда математики, используя действия деления, пытаются что-то доказать, например, почему делить на ноль запрещено, и начинают философствовать о том, как число якобы "стремится к нулю" (наверное все слышали такое выражение), сами оказываются в роли Ахиллеса, вечно бегущего за черепахой.
 В результате подобных философствований может получиться лишь дурная бесконечной, а точнее определённая неопределённость.



 Другой причиной применения Зеноном деления вместо вычитания могли стать споры древних греков о постижении Вселенной.
 Ведь чтобы разобраться с этим миром его надо разобрать, разобрать на части, на молекулы, атомы, протоны и электроны, кварки или на что-нибудь ещё помельче.
 Разве ни этим занимается и современная наука?
 Отсюда сохранившийся интерес к апорий Зенона и по сей день.

 Но это уже проблема физики, а не математики.
 Математика, наоборот, может быть горда тем, что может.
 А что она может? Она может дробить числа до бесконечности и множить их до...,до... тоже до бесконечности, и делать это совершенно не задумываясь о последствиях экспериментов.




 Но фокусы нуля не ограничиваются математикой, да и зачем, когда есть ещё и физика, а в ней -  физики, рассуждающие о нуле.



 Вот взял известный физик Альбер Эйнштейн и отменил эфир, отказался от него.
 В результате пространство превратилось в вакуум, т.е. в ничто, т.е. в пустоту.
Дальше физик стал рассуждать об искривлении пространства, т.е. пустоты, т.е. ничего, показав всем нам язык, а нуль, кривляясь и искривляясь во времени, показал Эйнштейну свой язык.
 В результате вакуум стали наделять свойствами вещества, материи, что уже само по себе нулём не является, а сам Альберт в последние годы подумывал о том, чтобы вернуть в физику понятие эфира, ведь что-то всегда лучше, чем ничего даже в физике.