История развития представлений о трансцендентных ч

   Еще в Древнем Египте и Вавилоне были известны так называемые несоизмеримые отрезки, которые нельзя было выразить отношением, относительными, рациональными числами. Точно не известно, исследование каких вопросов привело к открытию несоизмеримости. Это могло произойти: в геометрических расчетах при нахождении общей меры стороны и диагонали квадрата; в теории музыки при попытках поделить октаву пополам, что сводится к определению среднего геометрического между 1 и 2; в арифметике при определении дроби, квадрат которой равняется двум. Открытие факта, что между двумя отрезками – стороной и диагональю квадрата – не существует общей меры, привело к настоящему кризису основ, по крайней мере, древнегреческой математики. Факт существования несоизмеримых отрезков, тем не менее, не тормозил развитие геометрии в древней Греции. Греки разработали теорию отношения отрезков, которая учитывала возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие соотношения по величине, выполнять над ними арифметические действия в чисто геометрической форме, иначе говоря, пользоваться такими соотношениями как числами.
      Индийцы рассматривали иррациональные числа как числа нового вида, но допускающие над ними такие же арифметические действия, как и над рациональными числами. Например, индийский математик Бхаскара уничтожает иррациональность в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на тот же самый иррациональный множитель. Развивая тригонометрию как самостоятельную научную дисциплину, азербайджанский ученый XIII столетия Насретдин ат-Туси  трактует соотношение несоизмеримых величин как числа: «Каждое из этих соотношений может быть названо числом, которое измеряется единицей так же само, как один из членов соотношения обозначается другим из этих членов». Похожую трактовку числа давал и Омар Хайям.
     В Европе существование геометрических несоизмеримых величин в средние века не оспаривалось, но для многих иррациональные числа были лишь символами, лишенными точно определенного содержания, поэтому их называли «глухими», «недействительными», «фиктивными» и т.д. Только после появления геометрии Декарта (1637 г) началось применение иррациональных, как впрочем, и отрицательных чисел. Идеи Декарта привели к обобщению понятия о числе. Между точками прямой и числами было определено взаимно однозначное соответствие. В математику была введена переменная величина.     В начале XVIII столетия существовало три понятия иррационального числа: иррациональное число рассматривали как корень n-ой степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня нельзя выразить «точно» целым или дробным числом;  иррациональное число трактовали как границу, к которой его рациональные приближения могут подойти как угодно близко; иррациональное число рассматривали как отношение одной величины к другой величине того же самого рода, взятой за единицу; когда величина несоизмерима с единицей, число называли иррациональным. Позднее Эйлер, Ламберт показали, что иррациональные числа можно представить бесконечными непериодическими десятичными дробями (например, пи = 3,141592…). Свое дальнейшее развитие теория иррациональных чисел получила во второй половине XIX века в трудах Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса в связи с потребностями математического анализа . Таким образом рациональные и иррациональные числа  на третьем уровне обобщения образовали действительные числа.
  Древние математики, изучая отношения между геометрическими и числовыми величинами, столкнулись с некоторыми замечательными иррациональными числами. Эти  числа они назвали трансцендентными. Трансцендентное число (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное либо комплексное число, которое не является алгебраическим — другими словами, число, которое не может являться корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).
 В зависимости от того, над каким числовым полем рассматривают многочлены с целыми коэффициентами, областями, над которыми рассматриваются трансцендентные числа, служат поля действительных, комплексных или р-адических чисел.
Легко доказать (к примеру, от противного), что любое трансцендентное число обладает иррациональностью, но обратное утверждение неверно – редкое иррациональное число обладает трансцендентностью.
Свойства трансцендентных чисел.
• Множество трансцендентных чисел континуально.
• Все трансцендентные вещественные числа являются иррациональными, однако обратное неверно. К примеру, число корень квадратный из двух — иррациональное, но не трансцендентное: оно оказывается корнем многочлена   (потому есть алгебраическим).
• Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
• Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равняется двум.
Примеры трансцендентных чисел.
• Число пи.
• Число e.
• Десятичный логарифм всех целых чисел, кроме чисел типа 10n.
• sin a, cos a и tg a, для всех ненулевых алгебраических чисел a (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).
Историю открытия и изучения числа л хорошо иллюстрирует "Справочник по математике":
"Открывателями числа те можно считать людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в три раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт. Египтяне почти за две тысячи лет до нашей эры заметили, что диаметр окружности не содержится точно три раза в ее длине. С этого времени начинается изучение числа пи, которое продолжается и до наших дней.
Изучение числа пи шло вместе с поиском решения задачи о построении квадрата, равновеликого окружности, т. е. о построении с помощью циркуля и линейки отрезка, равного по длине окружности.
Архимед в третьем тысячелетии до нашей эры установил некоторое значение длины окружности к ее диаметру:  3,140<пи<3,142.
Леонард Фибоначи около 1220 года определил три первых точных десятичных знака числа пи. В шестнадцатом веке Андриан Антонис определил шесть точных десятичных знаков числа пи, а Франсуа Виет вычислил первые девять точных десятичных знаков этого числа. Но необходимо отметить, что китайским математикам уже в пятом веке были известные шесть точных знаков числа я. После Виета в Европе началась гонка за вычислением точных десятичных знаков числа пи. Но математическим подвигом можно назвать вычисления голландского математика Лудольфа ван Цейлина, который получил 35 точных десятичных знаков числа л. В его честь число пи было названо современниками "Лудольфово число".
• Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа  . Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
• Ещё одной датой, связанной с числом  , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа  .

                Мнемонические правила
                Стихотворения для запоминания 8-11 знаков числа ;:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть. Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:
Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один
Существуют стихи, в которых первые цифры числа ; зашифрованы в виде количества букв в словах:
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!
— Георгий Александров
        Памятник числу «пи» есть на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле. Мировой рекорд по запоминанию знаков числа  после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут. До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число  до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось. В России рекорд по запоминанию принадлежит Артуру Думчеву (11 106 знаков).
Число пи
"Это я знаю и помню прекрасно!",
Выучил я число "пи" не напрасно,
Мне  в расчетах оно пригодится,
Формул есть много, чтобы учиться
Разным наукам, сложным, любым
Численный смысл "пи" необходим.
Для вычислений оно очень нужно,
Выучим мы число "пи" вместе дружно!
(По числу букв в первой фразе стиха легко запомнить значение числа до пятого знака после запятой "Пи"=3,14159...)
© Copyright: Ольга Захарова-Грибельная , 2016