Парадоксы и несоответствия 1

ПАРАДОКСЫ И НЕСООТВЕТСТВИЯ №1

Некоторые  так называемые «учёные мужы» утверждают, что если бы на нашей старушке Земле кислорода в атмосфере было бы чуть больше чем сейчас, а его в атмосфере Земли как известно 21 процент, то любой случайный удар молнии вызвал бы вселенский пожар и все леса сгорели бы в одночасье, и в тоже время эти же мужи, утверждают что в прошлые эпохи на Земле этого кислорода было очень даже прилично и 30 и 40 и даже 50 процентов. И даже приводят «доказательства» в виде кусков янтаря с пузырями того самого древнего воздуха. Парадокс? Возможно. Несоответствие? Разумеется, и чему прикажете верить? Идём далее. Как вы думаете, может что-нибудь возникнуть из ничего? Ну, к примеру, из спичечного коробка или из пуговицы, появиться автомобиль, или двухэтажный особняк, или хотя бы самолёт? Ответ очевиден. А вот «учёные» утверждают, что это возможно и приводят как доказательство (хотя сами этого не могут понять, и даже не знают, как это произошло и возможно ли вообще) возникновение нашей Вселенной из ничего, из точки сингулярности в триллионы раз меньше атома. И даже утверждают, что это произошло в результате так называемого «большого взрыва». Хотя этого не понимают, не знают и даже не хотят знать, был взрыв и точка. И так во всём и везде, великанов не было, потому что потому, океан соленый, потому что соленый, причём постоянно с одной степенью солёности, а человек произошёл из обезьян, потому что это сказал ещё один «учёный» англосакс. И не только сказал а доказал путём сложнейших умозаключений, а то что человек и дождевой червяк на 99 процентов идентичны, как с этим быть?
А то, что Вселенная и даже Космос существовали всегда и не имеют возраста в 14 миллиардов лет как опять таки утверждают эти горе-учёные, Космос был и сто миллиардов лет назад и триллион триллионов лет назад и гуглплекс* лет тому назад.

*Существует ли самое большое число?
Сейчас появились числа, которые настолько велики, что их с трудом можно представить. А когда-то люди считали на пальцах! Рассказываем про самые большие и самые маленькие числа.
Сложно сказать, как давно люди научились считать. Скорее всего, для счета наши первобытные предки сначала использовали свои пальцы, объекты окружающего мира и тому подобное. С тех пор математика прошла долгий путь. И даже появились названия для чисел, которые настолько велики, что их с трудом можно представить. Каковы же самая большая и маленькая величины?
БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Многих мучил вопрос, что в математике самое большое. На ум сразу приходит бесконечность. Но бесконечность — не число, а концепция. Определение бесконечности в математике гласит, что независимо от того, насколько велико число, вы всегда можете добавить к нему 1, и оно станет больше.
Поэтому, строго говоря, не существует такого понятия, как самое большое число в мире или самая большая величина. Можно лишь назвать наибольшее число, которому дали конкретное название.
«Миллиард», например, уже понятен для нас. В западных странах миллиард еще называют «биллионом». Этими большими числами мы активно оперируем, например, обсуждая бюджетные ассигнования. Вселенная возникла из Большого взрыва всего 13,4 миллиарда лет назад. А вот для людей несколько веков назад миллиард был, по всей видимости, каким-то фантастическим, запредельным числом.
Триллион — число с 12 нулями, квадриллион — с 15, в секстиллионе количество нулей — уже 21. Существует даже название для впечатляющего по величине числа с 300 нулями — новемнонагинтиллион. Такое множество уже современные человек представить не может даже приблизительно. Да, числа, скорее всего, бесконечны, но есть определенный порог, за которым числа становятся настолько большими, что в них нет смысла, кроме того, что технически они могут существовать.
САМОЕ МАЛЕНЬКОЕ ЧИСЛО
Точно также не существует самое маленькое число — как бы вы его не уменьшали, всегда возможен N-1.
Для удобства подсчета в математике принята система цифр и чисел. Цифра — это знак от 0 до 9. Числа складываются из цифр. Они бывают однозначные, двузначные, трехзначные и так далее. Однозначные числа состоят из одной цифры. Принято считать, что самое маленькое однозначное число — это ноль. Его еще называют границей между отрицательным и положительным рядом.
ЧИСЛО ГРЭМА
Рональд Льюис Грэм — американский математик, оказавший заметное влияние на развитие дискретной математики во второй половине XX века, автор ряда важных работ по планированию выполнения задач, вычислительной геометрии, теории Рамсея
В 1980 году в Книгу рекордов Гиннеса попало число Грэма (оно же G64 или G), названное в честь американского математика. Так называется самое большое число, которое когда-либо использовалось в важном математическом доказательстве. Речь идет про теорию Франка Рамсея.
Кратко об этой теории: представим себе N-мерный куб, его вершины в случайном порядке соединены красными или синими отрезками-линиями. А наша задача — понять, до какого значения N возможно (если по-разному закрашивать ребра куба), избежать ситуации, при которой одна плоскость в кубе будет окрашена одним цветом. То есть у нас не должен получиться одноцветный «конвертик».
Математики позакрашивали кубик и так и эдак, получилось, что до шестимерного куба можно исхитриться и сделать, чтобы линии одного цвета, соединяющие четыре вершины, не лежали в одной плоскости. А вот с семимерным, как выяснили Грэм и Ротшильд, такой фокус уже не провернешь. И с восьмимерным. И... «и так далее», которое, впрочем, не бесконечно, а заканчивается фантастически гигантским числом. Вот его-то и именуют числом Грэма. Кстати, в настоящее время решение Грэма и Ротшильда устарело. Математики выяснили, что 6-7-8-9-10-11-12-мерные кубы все же можно покрасить без «конвертов». Но где-то в промежутке между 13 и числом Грэма гарантированно есть число, выше которого «конверты» в любом случае будут.
Это число имеет настолько большой размер, что вся наблюдаемая вселенная слишком мала, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма.
ГУГОЛ
Эдвард Казнер — американский математик, профессор. Около 1920 года Казнер решил придумать хорошее, заразительное название для большого числа. Когда он ходил с племянниками Милтоном (Milton Sirotta, 1911—1980) и Эдвином Сироттами в Палисейдс (Нью-Джерси), Казнер попросил их подумать о хороших названиях. Милтон сказал «googol».
Гугол — это число с сотней нулей. Оно традиционно входит в топ-10 самых известных больших чисел. Термин был придуман Милтоном Сироттой в 1938 году, когда тому было 9 лет. И хотя это относительно абстрактное число, ему все-таки нашли применение.
Алексис Лемер поставил мировой рекорд, рассчитав корень тринадцати из стозначного числа. Также предполагается, что от одного до полутора гугол лет с момента Большого Взрыва взорвется самая массивная черная дыра. И тогда Вселенная вступит в так называемую «темную эпоху» — конец того мира, каким мы его знаем.
САМАЯ МАЛЕНЬКАЯ ВЕЛИЧИНА
 
В 1899 году (в некоторых источниках — в 1900-м) немецкий физик и по совместительству основоположник квантовой теории Макс Планк предложил особую меру измерения — планковские единицы. Это единицы, предназначенные для упрощения определенных алгебраических выражений, присутствующих в теоретической физике, в частности в квантовой механике. В число их входят такие фундаментальные единицы, как планковская масса, планковская температура, планковская длина и планковское время.
Это планковская длина: 0,000000000000000000000000000000000016 м (около 1,6 * 10^-35 метра). Если теория квантовой механики верна, то это расстояние определяет максимальную точность, с которой мы можем определить положение в пространстве. Причем эта точность является фундаментальной и проистекает из физических законов, а не из уровня развития техники или точности измерительных приборов. Следовательно, расстояния меньше планковской длины физически не имеют смысла.
Это одна из единиц универсальных постоянных в физике, наряду с планковскими массой временем и температурой (физики часто называют их «единицами Бога»). Это численные значения некоторой величины, которые вообще не зависят от каких-либо внешних параметров и не меняются со временем. Предполагается, что на этом уровне господствуют квантовые явления, а гравитация, пространство и время перестают существовать.
ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЯ
Световой год равняется расстоянию, проходимому светом за год, а это приблизительно 9 460 730 472 580 километров
В метрической системе самая маленькая единица измерения — ангстрем. Он равен десятимиллиардной доле метра.
Мера длины, которая является самой большой, — это километр. Но все очень относительно. Если мы, например, обратимся к единицам измерения расстояния, применяемым в астрономии, то найдем и другие определения. Например, световой год. Световой год равняется расстоянию, проходимому светом за год, а это приблизительно 9 460 730 472 580 километров. Еще одна астрономическая единица, измеряющая расстояния, парсек, равна 31 триллиону километров, или 3,26 световых лет. В начале XX века активно использовалась самая большая величина измерения расстояния — сириометр. Он равен 149 597 870 700 000 км. Однако со временем его вытеснил парсек.
Какое самое большое число?
Спросите астронома, и мы отправимся в эоны во Вселенную и далее.
Спросите микрофизика, и мы погрузимся в мистический мир кварков и преонов — строительных блоков всего.
Спросите моего пятилетнего ребенка, и вы получите ответ 643.
Это вопрос, на который каждый может догадаться, но когда дело доходит до деталей, он удивительно личен.
Бесконечность
Я исключаю её, как и мнимые числа. Бесконечность — это алхимия, символ, а не практичная цифра. Она никогда не появится на рулетке.
Вот параметры:
Каждая отдельная цифра должна считаться:
Замечательно, что Вселенная, по оценкам, имеет размер в 93 миллиарда световых лет от края до края, но это может быть 93,4 или 93,5, и оба варианта будут приемлемы. Чтобы достичь уровня детализации, который требует самое большое число, необходимо найти ему применение. Путешествие от одного края Вселенной до другого было бы замечательным, но…
«Вам это действительно не понравится» — Путеводитель по Галактике для автостопщиков, Дуглас Адамс
Даже если мы почувствуем необходимость, это число, которое мы знаем, колеблется. Размер Вселенной полезен, но число в 93 миллиарда световых лет предназначено для демонстрации чистого восхищения — образец того, что значит "большое".
В лучшем случае это просто точка отсчета для чисел, которые намного меньше, а не что-то, что стоит знать с точностью до миллиардов цифр.
2. Число должно иметь практическое, реальное применение:
Существуют группы, посвященные определению длинных чисел ради самого числа. На момент написания это число Пи известно до 62,8 триллионов цифр.
Для сравнения, чтобы измерить диаметр наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома водорода, вам потребуется всего 38 цифр Пи.
Это делает исследование числа в триллионах цифр просто для показухи.
1 и 0: Бинарные звери
Давайте поговорим о бинарных числах. Как строка, 1 и 0 имеют такое же значение, как 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, что означает рассмотрение кода как единой строки цифр.
Когда вы запускаете программу, вы полагаетесь на скорость подсчета строки чисел. Хотя вы можете использовать букву a при кодировании, это всегда будет 1100001 в ASCII коде (или 97 для фанатов бинарного кода). Даже с самыми вычурными языками программирования, все дороги в итоге ведут к C, и в самом низу стопки — 1 и 0.
И тем не менее, действительность строки программы как единого числа — это только полуправда.
Большинство пользователей лишь слегка затрагивают самые легкие последовательности в основной строке цифр, которые перемещаются вперед и назад с ошеломляющей скоростью.
Даже самые великие, самые неуклюжие программы в живую, такие как поисковые системы и ИИ, загружены скрытыми багами, адаптированными из грязного кода GitHub. Здесь нет стыда, мир основан на копировании и вставке, и вы могли бы провести всю жизнь в этих приложениях и не найти ни одного — это не значит, что они не существуют.
Это означает, что мы можем исключить знаменитые 2 миллиарда строк кода Google как единое число в себе. В лабиринте, в его самых темных уголках, лежит спящий уголок, кот Шредингера, который мог бы быть всегда 1... или 0.
Это означает, что это не определенное единое число, в котором каждая цифра имеет значение.
Где код находится в последовательности — единый файл данных.
Медиа, например, линейны. Каждый пиксель каждого кадра, который вы видите на экране, соответствует числу, которое должно быть правильным, это 2 миллиона пикселей на кадр, при 60 Гц, 120 миллионов пикселей в секунду. То же самое верно и для других файлов.
Наибольший хорошо задокументированный единый файл, который я могу найти, решает математическую проблему булевых пифагоровых троек, и он составляет целых 200 терабайт. Это эффективно огромное количество чисел, которые дают каждый возможный пример для математической теории. Здесь много информации об этом.
Как бинарная строка, этот файл — твердое число… и большое, 200 квадриллионов байтов, точное число в районе 1,600,000,000,000,000,000 отдельных цифр.
И все же… никто никогда не увидит больше, чем едва заметное прикосновение к этому, потому что, хотя это число и заслуживает восхищения, оно не имеет практического значения, опираясь на ответственность ставки в 100 долларов от профессора в 1980-х годах.
Его математическая основа намекает на другую область больших чисел. Числа так велики, что самые мощные компьютеры в мире тратят годы на поиски преемника.
Простые числа
Камни основания теории Bitcoin и основа интернет-безопасности, на которую вы каждый день полагаетесь. Шифрование RSA основано на использовании двух простых чисел для отправки скрытых сообщений через колоссальные кратные, эффективно превосходя невероятную скорость обработки за счет огромного размера расчета. Простые числа очень практичны и действительны для каждой цифры.
Наибольшие известные простые числа найдены командой The Great Internet Mersenne Prime Search, или GIMPS, если коротко — я не шучу, это свободное сообщество, которое объединяет вычислительные мощности по всему миру для поиска простых чисел. Если это ваша страсть, присоединяйтесь к общине.
Наибольшее известное простое число на данный момент равно 2 (в степени 82,589,933)–1, или 24,862,048 цифр.
Однако новые технологии могут скоро уменьшить эти числа по размеру, по крайней мере в их практическом назначении.
Квантовые вычисления угрожают уничтожить практическое использование простых чисел в День Q — момент, когда текущие алгоритмы будут разрушены гигантским скачком в скорости обработки, которую (теоретически) должны предоставить квантовые вычисления. Если ваша защита заключается в выполнении сложений, то мгновенный ответ этих компьютеров станет вашим противником.
Гипотетически, самые большие числа, которые мы будем обрабатывать, также будут поступать из этого прорыва вперед.
Тем не менее, это не произойдет, по крайней мере не так, как мы понимаем числа, и не из-за необходимости замораживать температуру компьютеров, но потому что квантовые вычисления полагаются на цифры, находящиеся в состоянии суперпозиции, а не на выбор между одним или другим, так что, вероятно, они никогда не будут эффективно записаны как единое число. Это примерно всё, насколько я готов спуститься в эту кроличью нору.
Однако это указывает нам правильное направление.
Что мы имеем в виду, когда говорим о сверхбольших числах? Хотя что-то может быть несомненно практичным, это часто бывает только в более сложной форме, чем простое число.
Возьмем пример с медиафайлами выше — эти файлы, несомненно, представляют собой потрясающие числа. Но для чего это число полезно в виде написанной цифры?
Последний фильм «Аквамен» в 4K представляет 1,889,785,610,240 отдельных цифр. Этот фильм ужасен, но это будет навсегда более приятный способ представления этих цифр, чем непостижимая матрица цифрового бреда.
Человеческий лимит
Самое длинное число, которое когда-либо запоминал один человек, состоит из 111,700 цифр, прекрасный пример человеческих крайностей, представленный Акирой Харагучи.
Это, безусловно, должно быть самым длинным числом, которое что-то значило для кого-то — поскольку оно касается тонких пределов того, что мы могли бы численно усвоить. Это должно быть нашей окончательной точкой остановки.
Мы умеем работать с более большими числами только потому, что нашли способ выразить их вне числовой формы. Огромные числа скрываются в нашем повседневном окружении таким образом, который вы никогда не смогли бы выразить в цифрах.
Возьмите небо над вашей головой. Погода — одна из немногих проблем, к которой мы действительно не можем прикоснуться. Последняя попытка — это суперкомпьютер стоимостью 1,7 миллиарда долларов в Великобритании. Его задача — понять погоду мира (читай: колоссальное число), рассчитать её с невероятной точностью. Затем использовать её, чтобы выдать несколько выбранных переменных, которые нас особенно интересуют — какая температура до ближайшего градуса, будет ли дождь здесь в определенное время?
Песочница
На этом этапе, на уровне конечного пользователя, мы приближаемся к тому, что мы подразумеваем под самым большим числом, потому что то, что актуально для нас как практическое число, определяется соотношением окружающей среды, или песочницы реальности, к нам самим.
Такой способ восприятия погоды — где-то между -20 и 80 — это отличный пример упрощенного способа, которым нам нравятся наши числа в повседневной жизни — и это редко бывает больше трех цифр.
Это добавляет контекст к некоторым из более странных числовых причуд, на которых мы все еще настаиваем — возьмем имперские меры:
Ярд: измерение от кончиков пальцев до носа короля Генриха I. Дюйм: три зерна ячменя, выложенных в ряд. Французский фут: вы уже догадались, нога Карла Великого. Эта совершенно ненадежная система была бы идеальной для значительных споров, ошибок и, в целом, довольно случайного дизайна — неудивительно, что дома Тюдоров выглядят пьяными.
Но они оставались на плаву на протяжении сотен лет.
В конце концов, они выбрали куски дерева для измерения всех дюймов. Там они оставались, сидя в гильдейском зале Лондона.
Однако, когда вы думаете о повседневном назначении чисел, имперские меры имеют смысл. С 10-го по 18-й век редко возникала необходимость в суммах, превышающих полдюжины цифр. Идея цепи (66 футов) или чего-то большего, например акра (1/640 квадратной мили), была прерогативой нескольких ограниченных профессий.
Только в наше недавнее истории система метрических мер стала требованием. Оказывается, работать десятками, а не тройками и дюжинами имеет свои преимущества:
В одном гектаре 100 миллионов квадратных сантиметров. В одном акре 6,272,640 квадратных дюймов. (показательно, что лучшее определение имперской единицы дается ее метрическим эквивалентом)
И тем не менее, даже система, которая была в значительной степени необъединена на протяжении большей части своей истории, система, которая была гораздо более сложной для навигации в большом масштабе, была достаточной для нас, чтобы справиться.
Также в современный день малые числа — это те, которые вы видите на экране каждый день. Какое самое большое число вы, вероятно, столкнетесь в своих вкладках? Каждая новостная сводка редакционно сокращена до заголовка из трех цифр, и это неспроста…
Даже самые требовательные производственные проекты, такие как Lego, нацелены только на микроны (100-я мм).
В науке самые длинные числа в практическом, реальном использовании, вероятно, будут в районе новых микрочипов Intel, которые имеют размер в 2 нанометра, или 0,000000002 метра. Это огромное достижение, но для этого требуется всего 10 цифр, записанных на бумаге.
В этом есть уверенность. С самыми большими числами приходит самая большая ответственность, и даже самые великие из нас могут столкнуться с потерей чувства к числам. В 2022 году трейдер, допустивший ошибку, вызвал «всплеск на бирже», который вызвал резонанс на европейских фондовых рынках. Ошибка привела к потерям в размере 300 миллиардов евро на пике. Это было место, где одна цифра в дюжине имела значение.
Пот исполнителя сделки (юриста по недвижимости), когда переводятся огромные суммы при завершении, ощутим. Зарплатные счета в крупных компаниях могут легко достигать миллиардов — но это все равно только 12-значное число (включая копейки).
Число
Последняя подсказка — компьютер или телефон, которым вы пользуетесь прямо сейчас.
Стандартный калькулятор Apple всегда даст вам ответ точно до 16 цифр, округляя остальное до нулей. Документы Excel округляют с 15 цифр. Чтобы углубиться дальше, вам нужен специализированный подход, например, Wolfram Alpha.
Даже на краях точности Лаборатория реактивного движения NASA использует Пи 3.141592653589793 для своих самых больших расчетов межпланетной навигации.
Эта точность достаточна, чтобы убедиться, что на орбите в 150 миллиардов километров ошибка не превысит ширину пальца.
Вот где мы получаем внешний край того, с чем работают самые умные среди нас — 16 цифр.
На дальнем конце самые большие числа обсуждаются несколькими персонажами в математике или финансах — огромные гики, которые заслуживают моего глубочайшего уважения. Для большинства из нас это начинается с вашего первого числа в детстве и обычно увеличивается до ужасающего 6-значного приобретения дома (8 с копейками).
Работая со средним значением, 16 цифр охватывают любое число, с которым вы могли бы столкнуться.
Число Грэма
Число Грэма (англ. Graham's number) — гигантское число, которое является верхней границей для решения определённой проблемы в теории Рамсея. Является некоторой очень большой степенью тройки, которая записывается с помощью нотации Кнута. Названо в честь Рональда Грэма.
Оно стало известно широкой публике после того, как Мартин Гарднер описал его в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в ноябре 1977 года, где было сказано: «В неопубликованном доказательстве Грэм недавно установил границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве».
В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грэма в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. Вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма (предполагается, что запись каждой цифры занимает по меньшей мере объём Планка). Даже степенные башни вида   бесполезны для этой цели (в том же смысле), хотя это число и может быть записано с использованием рекурсивных формул, таких, как нотация Кнута или эквивалентных, что и было сделано Грэмом. Последние 500 цифр числа Грэма — это[источник не указан 107 дней]
...02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387.
В современных математических доказательствах иногда встречаются числа, ещё много бо;льшие, чем число Грэма, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала — так называемое TREE(3).