Интегральное уравнение второго порядка

Термин "интегральное уравнение второго порядка" может интерпретироваться по-разному.

Так как он не является стандартизированным в математическом анализе.

Как правило, интегральные уравнения бывают двух типов: уравнения Фредгольма и уравнения Вольтерра.

Уравнение Фредгольма имеет вид:

\[ \lambda y(x) - \int_{a}^{b} K(x,t) y(t) \,dt = f(x), \]

где \( \lambda \) — константа, \( y(x) \) — искомая функция, \( K(x,t) \) — ядро уравнения, и \( f(x) \) — заданная функция.

Здесь интегрирование проводится по фиксированному интервалу \([a, b]\).

Уравнение Вольтерра относят к уравнениям с переменным верхним пределом интегрирования:

\[ y(x) - \int_{a}^{x} K(x,t) y(t) \,dt = f(x), \]

где все обозначения аналогичны тем, что для уравнения Фредгольма.

Под "интегральным уравнением второго порядка" можно понимать уравнение, в котором функция \( y(x) \) или её производная встречаются под знаком интеграла.

Однако такие уравнения гораздо реже встречаются в типичном контексте интегральных уравнений, и они сильно зависят от контекста задачи.

В качестве примера мы можем рассмотреть уравнение, в котором вторая производная \( y''(x) \) связана с интегралом от функции:

\[ y''(x) - \int_{a}^{b} K(x,t) y(t) \,dt = f(x), \]

Или же более сложное вольтерровское интегральное уравнение с дифференциальным оператором второго порядка в ядре:

\[ y(x) - \int_{a}^{x} \frac{\partial^2 K(x,t)}{\partial x^2} y(t) \,dt = f(x). \]

Замечу, что для каждой специфической задачи форма интегрального уравнения будет отличаться.

Если понятие "второго порядка" относится к порядку дифференциального оператора, применяемого к искомой функции или к другим элементам уравнения, то конкретная форма будет зависеть от природы задачи, к которой это уравнение применяется.

И что тут сложного, проще простого, проще уже некуда. Можно брать на вооружение.