О, формула простого числа! Части 1, 2

 О, формула простого числа! Части 1, 2
    Желающий творить
Должен многое изучать, нужное создавать
И об этом всем влюблённым в науки  - сообщать!

   Часть 1.;      Любое нечётное число  (простое (ПЧ) или составное (СЧ)), не кратное  3 и 5,;(из ряда 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 и т.д.)
представимо в виде
              (6n±1)
  Возможны 4 варианта формулы составного числа:
(N +++)= (6а+1)(6в+1) = 36ав + 6(а+в) +1      49   91 
(N - ++) = (6а-1)(6в-1) = 36ав - 6(а+в) +1        25   55 
N (-- - )= (6а+1)(6в-1) = 36ав - 6(а-в) -1         35   65
(N +--) = (6а-1)(6в+1) = 36ав + 6(а-в) -1        35   77

Варианты  формулы, которые  не относятся к составным при а, не равном в, являются формулами простых чисел (ПЧ)
N++-= 36ав + 6(а+в) -1        47   89  131
N+-+= 36ав + 6(а-в) +1        37   79  113
N -+- = 36ав - 6(а+в) -1        23   53  89
N--+=  36ав - 6(а-в) +1 =      37    73  103

При а=в (число N - квадрат числа) имеем имеем формулы составных чисел (СЧ)
(N ++)= (6а+1)(6а+1) = (6а)(6а) +12а +1= (6а+2)(6а) +1         49 169
То есть ((N ++)-1) кратно 3 и 6.
(N -+) = (6а-1)(6а-1) = (6а)(6а)  -12а +1 = (6а-2)(6а) +1          25 121 

Варианты  формул, которые  не относятся к составным при а=в,
есть формулы простых чисел (ПЧ)  (не кратные 3 или 5):
(N +-= (6а)(6а) +12а - 1        47  167 
(N -- = (6а)(6а) -12а - 1         23  119

   ЧАСТЬ 2.
Найдите ошибку в окончательной простейшей формуле простого числа
 N=(6n±5).
   Формулу составного числа N=АВ, не кратного 3 и 5, можно записать в обобщённом виде:
N= 36ав ± 6(а±в) ±1.
Откуда число (N - +1)= 36ав ± 6(а±в)  делится на 6 в случае, если N - составное число.
   Если число N - квадрат числа, то оно является произведением двух равных чисел и является поэтому составным.
Формула для квадратов нечётных чисел приведена ниже (формула числа N при а=в).
     Для  нечётного числа N, не кратного 3 или 5,
а также при условии неделимости числа (N±1)  на 6, 
формула простого числа может быть представлена в виде,
                N=(6n+5)     или 
                N=(6n-5), 
если не делится на 6  большее число (6n+5)  без единицы  или  меньшее число 
(6n-5) без единицы.

    Рассмотрим, какие формулы -  формулы простого числа
и какие - формулы составного числа.
Из формулы нечётного числа N, не кратного 3 или 5, N= (6n±1) следует:
  Число N=(6n±1) может быть простым или составным
и поэтому без единицы ((6n-1)-1)  или с единицей  ((6n+1)+1) может делиться или не делиться на 6; поэтому рассматривать такой класс чисел - (6n±1) - из-за их неопределённости отнесеия к простым пока не будем.
  Число N=(6n±3) кратно 3, поэтому оно всегда составное и рассматривать такие числа не будем.
  Число N=(6n±7) // а также (6n±11), (6n±13), 6n±17), (6n±19)  и т.д.//
представимо в виде N=(6n±7) = [6(n+1)±1] , то есть может быть составным или простым и без единицы делиться или не делиться на 6, то есть число N=(6n±7) есть вариант числа (6n±1) и рассматривать его можно как и (6n±1).
   //Заметим, что любые нечётные N=30n± 1, 7, 13, 19 относятся к простымили составным числам. //
   Рассмотрим вариант формулы простого числа, меньшего (6n±7):
                N=(6n+5)     или
                N=(6n-5)
  Из формулы составного числа N = 36ав ± 6(а±в) ± 1, следует, что
если число (N - +1)= 36ав ± 6(а±в) делится нацело на 6, то оно может быть составным число, если не делится нацело на 6 – простым.
     Рассмотрим варианты формул для простых чисел  N - при а, не равном в, то есть когда N  не является квадратом числа.
      
Примеры для отнесения нечётного числа, не кратного 3 и 5, и а, не равном в,
к простым:
N=(6n±5)= (6х0 + 5)= 5 – простое число (при n=0 - кратно 5;  5 – простое число),

N=(6n±5)= (6х1 ± 5)= 11 (или 1)  - простое число при n=1,
так как большее число N без единицы  ((6х1 +5) -1)= 10 
и  меньшее число с единицей ((6х1 - 5)+1)=2
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х2 ± 5)=17 (или 7)  - простое число при n=2,
так как большее число (6х2 + 5)-1=16  и  меньшее число (6х2 - 5)+1=8
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа. 

N=(6n±5)= (6х3 ± 5)=23 (или 13)  - простое число при n=3,
так как большее число (N-1) =22  и  меньшее число (N+1) =14 
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х4 ± 5)=29 (или 19)  - простое число при n=4,
так как большее число (N-1) =28  и  меньшее число (N+1) =20 
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х5 ± 5)=35 (или 25)  - при n=5 число N  кратно 5 и не рассматривается;
при n, кратном 5, все числа N кратны 5 и далее рассматриваться не будут,
так как отнесение  нечётного числа N в таких случаях к составным определяется последним разрялом этого числа, равным 5,
поэтому если число N кратно 5, то оно – составное по определению составного числа, равного произведению двух чисел, больших 1.

N=(6n±5)= (6х6 ± 5) =41 (или 31)  - простое число при n=6,
так как большее число (N-1) =40  и  меньшее число (N+1) =32 
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х7 ± 5)=47 (или 37)  - простое число при n=7,
так как большее число (N-1) =46  и  меньшее число (N+1) =38
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х8 ± 5)= 53  (или 43)  - простое число при n=8,
так как большее число (N-1) =52  и  меньшее число (N+1) =44 
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х9 ± 5)=59 (или 49=7х7 – квадрат числа, формула для  квадрата числа рассматривается ниже)  - простое число при n=9,
так как большее число (N-1) =58
//меньшее число (N+1) =49 не рассматривается, так как оно -  квадратное число, то есть составное число, равное произведению двух чисел//,;не делится нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х10 ± 5)=65 (или 55).  При n, кратных 10, число N всегда кратно 5.

N=(6n±5)= (6х11 ± 5) =71 (или 61)  - простое число при n=11,
так как большее число (6х11 + 5) -1=70  и  меньшее число (6х11 - 5)+1= 62
не делятся нацело на 6 и N не является квадратом числа.

N=(6n±5)= (6х12 ± 5) =77 (или 67).   Только 67 - простое число при n=12,
а 77 –составное – хотя 76 не делится нацело на 6 и N не является квадратом числа. Но (N+1)=78 делится на 6.

ПАРАДОКС?
77 – составное число, потому что
большее число N=(6n+5) =(6(n+1) -1) есть  нечётное число вида N=(6m±1),
которое может относиться и к простым, и к составным числам;
меньшее число N=(6n-5) = (6(n-1) +1) есть  нечётное число вида N=(6m±1),
которое может относиться и к простым, и к составным числам. 

То есть формула нечётного  числа, не кратного 3 или 5,
                N=(6n±5)
является ФОРМУЛОЙ ПРОСТОГО ЧИСЛА для некоторых чисел при условиях:
при любых целых n   большее число (6n+5) без единицы или  меньшее число (6n-5) с единицей - не делится нацело на 6 и не кратно 7 или 11;
отнесение числа к простому возможно при предварительной оценке:
-- кратно ли оно 3 (по сумме цифр числа, которые могут делиться на 3 и тогда число может быть кратно 3),
--кратно ли оно 5 (при наличии последней цифры числа, равной 5;
яляется ли число N квадратом числа (то есть произведением двух равных чисел -  составным числом).
      // При а=в  число N - квадрат числа – относится к составным числам (произведению двух чисел и имеет формулы составных чисел (СЧ):
 (N ++)= (6а+1)(6а+1) = (6а)(6а) +12а +1= (6а+2)(6а) +1         49  169
То есть ((N ++)-1) делится нацело на 3 и на 6.
(N -+) = (6а-1)(6а-1) = (6а)(6а)  -12а +1 = (6а-2)(6а) +1          25   121 
То есть ((N -+)-1) делится нацело на 3 и на 6.  //

Ошибка простейшей формулы простого числа  в том, что:
большее число N=(6n+5) =(6(n+1) -1) есть  нечётное число вида N=(6m±1),
которое может относиться и к простым, и к составным числам;
меньшее число N=(6n-5) = (6(n-1) +1) есть  нечётное число вида N=(6m±1),
которое может относиться и к простым, и к составным числам. 
    Поэтому вариант нахождения простейшей формулы простого числа – в вышеуказанных в ЧАСТИ 1 формулах, которые не относятся к составным

31 12 2023