Неинтересные натуральные числа

Хорошо известна "теорема": "Не существует неинтересных натуральных
чисел." Вот ее доказательство. Если бы неинтересные натуральные числа
существовали, то, в силу полной упорядоченности натуральных чисел и
существования минимального элемента, среди них обязательно найдется
минимальное неинтересное число. Но тогда оно не может быть
неинтересным, поскольку именно этим оно и интересно. Множество целых
чисел вполне упорядоченно, но не имеет минимального элемента, поэтому
можно было бы ожидать, что неинтересные целые числа существуют. Пусть
L --- множество неинтересных целых чисел, тогда множество |L|,
состоящее из их абсолютных величин будет подмножеством натуральных
чисел и, возможно, из нуля. Если ноль входит, то он, разумеется,
интересен. Если ноль не входит, то повторяя рассуждения для
натуральных, найдем что будет существовать интересное целое число с
наименьшим модулем. Оба вывода противоречат предположению. Поскольку
все рациональные числа строятся из целых, а неинтересных целых нет,
то, стало быть, все рациональные числа тоже интересны. С
действительными числами дело обстоит сложнее. Имеет место теорема:
Если множество неинтересных действительных чисел существует, то оно
незамкнуто. Доказательство предоставляется читателю (подсказка:
используйте принцип полноты Вейерштрасса вещественных чисел).


Можно несколько уточнить формулировки предыдущей теоремы про
неинтересные числа.

Теорема 1. Если множество неинтересных иррациональных чисел на
интервале (0;1) существует, то оно незамкнуто (и неполно)
(доказательство --- читателям).

Теорема 2 (следствие теоремы 1). Если на интервале (0;1) существует
хотя бы одно неинтересное иррациональное число, то а) их существует
бесконечно много; б) их бесконечность несчетная; в) их множество
некомпактно; г) они заполняют вещественную прямую всюду плотно.

Теорема 3. Интересные вещественные числа образуют подполе  поля вещественных чисел. Неинтересные иррациональные числа
(если существуют!) подполя не образуют.

Любопытно, что эти рассуждения являются шуткой лишь наполовину. Если
отождествить понятия интересного и вычислимого числа (последнее
означает, что существует конечный алгоритм, позволяющий это число
вычислить), а неинтересного --- с невычислимым, то картина интересных
и неинтересных чисел приобретает модель. Недостатком этой модели
является некоторая условность отождествления невычислимых чисел с
неинтересными, ведь, с определенной точки зрения невычислимые числа
могут казаться даже интереснее вычислимых!