Что такое тензоры?

Сегодня день начался с того, что старшая дочь (4 кл.) взяла с полки
мою книгу "Введение в ОТО" и начала выискивать там всякие
непонятные для себя словечки и спрашивать меня, что бы это значило.
Мне пришлось объяснить ей сначала, что такое "гладкие многообразия",
потом --- "частота", потом --- "гравитационный сдвиг частоты". Эти
вещи допускают некоторые наглядные пояснения для детей, но следующий
вопрос поставил меня в тупик:

Она: --- Папа, а что такое тензОр?

Я (уже в общем и целом понимая, что попал): --- В смысле, тЕнзор?

Она (еще более заинтересованно): --- Ну да, в смысле тЕнзор?

Я (тщетно пытаясь найти объяснение): --- М-м-м...

Она: --- Только так, что бы нам было понятно (рядом лежала еще и
младшая --- 1кл.)

Я (просто выкручиваясь от безысходности): --- Когда-то в школе я
подходил ко всем учителям и задавал тот же вопрос --- мне никто не
смог на него ответить...

Она: --- Так ты не знаешь, что такое тЕнзор?

Я (оправдываясь): --- Нет, я конечно знаю --- раз я написал эту
книжку, но я не знаю простого объяснения для детей. Просто детям это
обычно неинтересно, в школе тензоры не проходят, да и в вузе тоже не
всегда.

Она: И?

Я (выбирая излюбленный прием взрослых, чтобы дети отстали со своими
сложными вопросами): --- Короче, тензоры --- это полилинейные функции
на векторах и 1-формах...

Это (определение тензоров) естественно было пропущено мимо ушей, как
будто я просто откашлялся перед настоящим объяснением. Но мне ничего
не приходило в голову...

Она: --- Жаль... А Петин папа смог объяснить ему, что такое
тензоры, так что он понял.

Тут пришла моя очередь для вопросов.

Я: --- Как? Какого Пети? Как он объяснил?

Она: --- Ну, я читала тут одну книжку про Петю и его папу (старшая
читает много современной детской художественной литературы --- тут я
от нее безнадежно отстал). Папа объяснял ему, что если в песок
воткнуть одну палочку, то она характеризуется двумя углами,
отвечающими за направление, и длиной. А если воткнуть несколько, то
получится тЕнзор...

В моей голове мелькала цепочка ассоциаций: "палочка --- вектор, числа
--- координаты, несколько палочек --- тензорное произведение векторов,
координат больше, но ведь не все тензоры разложимы, хотя все можно
представить в виде линейной комбинации разложимых, но как объяснить
сумму? и т.д." И тут меня осенило!

Я: --- Все! Петин папа молодец, но я знаю, как объяснить тензоры
проще! Смотрите --- я сжал пальцы правой руки в кулак --- это самый
простой тензор, он называется скаляром. --- Они тоже сжали свои
кулаки. --- Потом идут вектор, --- я отогнул указательный палец, ---
бивектор --- я отогнул большой, --- тривектор, а тензор --- это вот
это! --- Я разжал пятерню и растопырил пальцы в стороны. Идея с
пятерней явно понравилась, особенно младшей. Она смотрела на свою
пятерню и смеялась, узнав что привычная пятерня может быть еще и
тензором. Но меня уже понесло.

Я: --- А еще тензоры можно складывать друг с другом, --- я расположил
две растопыренные пятерни параллельно друг другу и приложил одну
другой палец к пальцу. Они повторили --- сложение получилось легко.


Я: --- Еще тензоры можно умножать друг на друга тензорно, --- я
соединил основания ладоней, а пятерни развел в стороны --- получилось
что-то наподобие оленьих рогов. Тензорное произведение выглядело
прикольно --- и тоже легко получилось у всех.

Я: --- Еще тензоры можно сворачивать друг с другом. Свертка делается
так, --- я сцепил часть пальцев и прижал их к тыльным сторонам
ладоней --- это частичная свертка, --- а полная свертка делается так,
--- я сцепил все пальцы в двойной кулак. --- Получается снова скаляр, но
он будет уже вот таким пухлым. Потом мы обсудили возможности
конструирования более сложных тензоров с помощью пальцев ног. И мне
показалось, что я нашел довольно удачную наглядную иллюстрацию
тензоров и тензорных операций. Окончательно в этом меня убедила
младшая. Она повернулась к старшей, растопырила свои ладони и
сказала:

--- Иди сюда, я тебя сейчас тензорну!