Простое число. Из формулы составного числа

  Даже в младших классах  школы
Математика все годы считается чем-то новым!

  Нечётное число N может быть простым (делится только на 1 и на самого себя) 
или составным (является произведением двух или более простых чисел, больших 2).
    Отличить простое число (ПЧ) от составного числа (СЧ) возможно, если учесть,
что простое число, оканчивающееся на 5, всегда кратно 5 и является составным числом (СЧ);
любое нечётное число, сумма цифр которого делится на 3, кратно 3 - составным числом (СЧ).
    Рассмотрим ряд нечётных чисел 
3  5  7  9  11 13 15  17  19 21 23  25  27  29  31  33  35  37  39   41   43…
и вычеркнем числа, кратные 3 или 5, откуда поучаем ряд
7  9    11 13      17  19        23        29  31     37        41   43…
То есть все числа ряда, не кратные 3  (и 5) выражаются формулой N= 6n ± 1 или формулами
N= 6n + 1,  где n= (N-1)/ 6   или   N= 6n –1;   где n= (N+1)/ 6   
   Тогда составное число можно представить в виде произведения двух нечётных чисел -
для чисел вида  N=  АВ = (6n + 1), например, при  А= (6а + 1) и  В= 6в + 1  имеем   
составное число N = АВ=36 ав + 6(а+в)+1 , откуда
n= (N-1)/ 6  = 6 ав + (а+в)             (1)
    Если при решении уравнения с известным (n)  число а и число в – целые и большие 1,
то число N= 6n + 1 составное.
Если    числа   (а)   или  (в)  - нецелые (для варианта чисел вида N = 36 ав + 6(а+в)+1 ),
тогда число  N – простое!
  Преобразуем  формулу (1), умножив на известное нам нечётное число вида
17, 167, 1667, …, 166666667
в формуле (1) таким образом,
что в левой части увеличенное число  будет целым,
а в правой части увеличенное сумма произведений
отделено конечным множестом нулей от увеличенного в С раз числа  (а+в).
 
    Заметим, что получить в правой части формулы (1) при слагаемом (6ав) число  с достаточным  числом нулей возможно при умножении числа 6 на 17, 167, 1667, …, 166666667,…,  откуда  получим
6*17 = 102 = 100 + 2,   
6*167 = 1002 = 1000 + 2,
6*1667=10 002 = 10 000 + 2,     …
6*=166667 = 1 000 002 = 1 000 000 + 2,
    Тогда 17 n = 17*6ав + 17( а+в)=100ав + 2 ав +17( а+в)
или
166667 n = 166667*6ав + 166667( а+в)=1000000ав + 2 ав +166667( а+в) и т.д.

    Например, для N=247 =13*19      и   n = 41 = 6ав + (а+в) имеем
166667 n = 166667*41 = 6 833 347 =1 000 000 ав + 2 ав +166667( а+в) или
откуда 1 000 000 ав = 6 000 000 или ав = 6
Тогда
2 ав +166667( а+в) = 833 347 ,
При ав=6
166667( а+в)= 833 347 – 12 = 833 335 или ( а+в)= 5
Из ав=6 и ( а+в)= 5 находим:
а=3, в=3.
То есть при целых (а)   и  (в)  число N составное.

Существует вариант нахождения А и В из формулы:
N = АВ=36 ав + 6 (а+в)+1
17*17*N = 17*17*АВ=17*17*36 ав + 17*17*6(а+в)+289,
или 1667*1667*N = 1667*1667*АВ=
1667*1667*36 ав + 1667*1667*6(а+в) +100040004,

откуда
289*N = 289*АВ=(10000 +404)  ав + 1734 (а+в) +289=
(289*N) - 289 = 10000 ав + 404* ав + 1734 (а+в)
и далее  находится при известном заданном  N.
     Аналогично находится  (а)   и  (в)  для всех остальных формул составного числа:
N = (6а±1) (6в±1) = 36ав ± … ±1

    При вычисленном    нецелом  (а)  или   (в)  число N является простым.