Геометрические исследования K. Ф. Гаусса

Materi;ly XI mezin;rodn; v;decko-praktick; konference
88
HISTORIE V;DY A TECHNICI
*203181*
Захарова О.А.,Жангазинова Д.М.,Тусупова А.Ж.
Павлодарский государственный университет им. С.Торайгырова, Казахстан
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ К.Ф.ГАУССА
Знаменитое имя Карла Фридриха Гаусса (1777–1855 ) лауреата медали
Копли, члена Шведской и Российской Академий наук, английского Королев-
ского общества, великого немецкого ученого широко известно в науке [1]. В 19
лет он решил одну из древних задач математики – проблему построения правиль-
ных многоугольников с помощью циркуля и линейки. В молодости К.Ф. Гаусс,
достигает виртуозности в технике вычислений, составляет большие таблицы
простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, и далее, в течение всей своей
научной работы, он проводит блестящие научные исследования в различных об-
ластях: алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии,
математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории
вероятностей, механике, астрономии, физике и геодезии [2].
Многие исследования К.Ф.Гаусса остались неопубликованными в виде не-
законченных работ, переписки с друзьями и входят в его научное наследие.
Вплоть до второй мировой войны оно тщательно разрабатывалось Геттинген-
ским учёным обществом, которое издало двенадцать томов сочинений Гаусса.
Интересными в этом наследии являются дневник Гаусса, материалы по неевкли-
довой геометрии и теории эллиптических функций. Дневник содержит 146 запи-
сей, относящихся к периоду от 30 марта 1796 года, когда Гаусс отметил открытие
построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814. Эти записи дают картину
творчества Гаусса о первой половине его научной деятельности; они очень
кратки, написаны на латинском языке и излагают сущность открытых теорем [3].
Остановимся на важнейших достижениях великого ученого в области гео-
метрии. При составлении детальной карты Ганноверского королевства, в 1820 –
1830 годах Гаусс создал высшую геодезию, основы которой он изложил в сочи-
нении «Исследования о предметах высшей геодезии» (1842–1847). Так как гео-
дезические съемки требовали усовершенствования оптической сигнализации, то
с этой целью он изобрел специальный прибор-гелиотроп. Изучение формы зем-
ной поверхности потребовало общего геометрического метода для исследования
поверхностей. Выдвинутые им в этой области идеи изложены в сочинении «Об-
щие исследования о кривых поверхностях» (1828). Теория поверхностей содер-
жит новую теорему о том, что гауссова кривизна (произведение кривизны глав-
ных нормальных сечений) не изменяется при изгибаниях поверхности, то есть«V;deck; pr;mysl evropsk;ho kontinentu – 2015» • D;l 4. Historie
89
характеризует ее внутреннее свойство. В этой же работе, К.Ф.Гаусс ввел криво-
линейные координаты произвольного вида, которые позже назвали «гауссовыми
координатами», доказал теорему Гаусса – Бонне для геодезического многоуголь-
ника, определил полную кривизну в точке поверхности. Труды К.Ф.Гаусса по
дифференциальной геометрии дали мощный толчок развитию этой науки на весь
девятнадцатый век [4]. В дальнейшем, созданная внутренняя геометрия поверх-
ностей послужила образцом для создания n-мерной римановой геометрии. В за-
писях К.Ф.Гаусса были обнаружены содержательные заметки по новой матема-
тической дисциплине, позже названной «топологией», причём он предсказал
фундаментальное значение этого предмета в будущей науке. Широко известна
заслуга К.Ф.Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел, его
астрономические труды, относящиеся к 1800-1820 годам также значительны. Он
вычислил орбиту малой планеты Цереры, занимался теорией возмущений, напи-
сал книге «Теория движения небесных тел» (1809), в которой содержатся поло-
жения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит. В астрономии
ученый, в первую очередь, интересовался небесной механикой, изучал орбиты
малых планет и их возмущения. Он предложил теорию учёта возмущений и не-
однократно доказывал на практике её эффективность и нашёл способ определе-
ния элементов орбиты по трём полным наблюдениям, если для трёх измерений
известны время, прямое восхождение и склонение [5].
Материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, обнаруживают, что
К.Ф.Гаусс еще в 1818 году пришёл к мысли о возможности построения наряду с
евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой, но опасение, что эти идеи не
будут поняты, было причиной того, что К.Ф.Гаусс их не разрабатывал и не опуб-
ликовывал. Более того, он категорически запрещал опубликовывать их тем, кого
посвящал в свои взгляды о новой геометрии, вероятно из-за того, что они шли
вразрез с Евклидовой геометрией. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу:
«Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не мо-
жет быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого
рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу про-
странства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится
ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с
механикой» [6]. Обычно говорят, что он боялся быть непонятым, но возможно и
другое объяснение молчания Гаусса. Он, как один из немногих математиков по-
нимал, что в то время еще не найдены математические понятия, позволяющие
точно поставить и решить этот вопрос. [7]. Когда же вне всякого отношения к по-
пыткам К.Ф.Гаусса неевклидова геометрия была построена и опубликована Н.И.
Лобачевским, К.Ф.Гаусс отнёсся к публикациям Н.И. Лобачевского с большим
вниманием, был инициатором избрания его членом –корреспондентом Гёттин-
генского учёного общества. Сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в кото-
ром ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликован-
ных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского[8].__

Materi;ly XI mezin;rodn; v;decko-praktick; konference
90
К.Ф.Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и ни-
когда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над
этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с не-
сколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые). [2].
Изучение архива К.Ф. Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих
открытий и в результате его опередили другие математики. Архивы Гаусса со-
держат многочисленные материалы по теории эллиптических функций и их тео-
рию, однако, заслуга самостоятельной разработки и публикации теории эллип-
тических функций принадлежит Якоби и Абелю. Содержательный набросок тео-
рии кватернионов, которые двадцать лет спустя независимо открыл Гамильтон,
также обнаружен в неопубликованных работах Гаусса. К.Ф.Гаусс долгое время
плодотворно преподавал математику в Гёттингенском университете, его сту-
денты: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус продолжили и развили труды учителя,
став выдающимися математиками [9].
Литература:
1. Белл Э. Т. Творцы математики. – М.: Просвещение, 1979. – 256 с.
2. Храмов Ю. А. Гаусс Карл Фридрих (Gauss Karl) // Физики: Биографиче-
ский справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. – Изд. 2-е, испр. и дополн. – М.:
Наука, 1983. – 400 с.
3. C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes
Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики.. – М.: Наука. –1990.
5. Бюлер В. . Гаусс. Биографическое исследование. – М.: Наука, 1989. –
208 с.
6. Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновиков, относящиеся к неевклидовой
геометрии // Основания геометрии. – М.: ГИТТЛ, 1956.
7. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. XII,
пар. 2, – Физматлит, Москва, 2009.
8. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии
Лобачевского и развитию её идей. – М.: Гостехиздат, 1956. – С. 103.
9. Боголюбов А. Н. . Математики. Механики. Биографический справоч