Аффинные преобразования в тензорном исчислении

      При работе с трехмерными объектами, часто требуется совершать по отношению к ним различные преобразования: двигать, поворачивать, сжимать, растягивать т.д. При этом в большинстве случаев требуется, чтобы после применения этих преобразований сохранялись определенные свойства. Для этого существует  аффинное преобразование плоскости.
         Преобразование плоскости называется аффинным (от англ. affinity– родство), если 1) оно взаимно однозначно;2) при этом преобразовании - образом любой прямой является прямая.  Преобразование называется  взаимно однозначным, если разные точки переходят в разные; в каждую точку переходит какая-то точка.
       Итак, свойства аффинного преобразования в трехмерном пространстве следующие: оно отображает n-мерный объект в n-мерный: точку в точку, линию в линию, поверхность в поверхность; оно сохраняет параллельность линий и плоскостей; сохраняет пропорции параллельных объектов – длин отрезков на параллельных прямых и площадей на параллельных плоскостях. 
        Любое аффинное преобразование можно задать матрицей 3x3 с ненулевым определителем и вектором переноса.      
 
Где R представляет собой матрицу линейного оператора над пространством трехмерных векторов. Вектор t требуется для осуществления параллельного переноса: если помножить ( 0 0 0 ) на любую матрицу 3x3, опять получим ( 0 0 0 ) – начало системы координат, относительно преобразования R, является неподвижно точкой. Требование, чтобы определитель был ненулевой, диктуется определением. По сути, если определитель матрицы R равен нулю, то всё пространство переходит в плоскость, прямую или точку. Тем самым не соблюдается взаимная однозначность.
      Величины xi .можно рассматривать в тензорном исчислении как контравариантные компоненты  радиус-вектора некоторой точки пространства  Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом: выбрать новый базис пространства с новым началом координат; каждой точке пространства поставить в соответствие точку, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и в «старой».
        Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции. Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно ,не лежащие на одной прямой, задают аффинное преобразование плоскости. Существуют два типа аффинных преобразований:
 1)  эквиаффинное преобразование— аффинное преобразование, сохраняющее площадь;
2) центроаффинное преобразование— аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.
      Так как в приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел. Его можно рассматривать как отображение между метрическими пространствами, если оно переводит геодезические в геодезические с учётом параметризации .Также аффинные преобразования пространства являются частным случаем проективных преобразований того же пространства, поэтому  аффинные преобразования пространства можно ещё рассматривать и в тензорном исчислении,считая векторы тензорами.
Литература.
1. Березин И.С., Жидков И.П. Методы вычислений. - М.: Физматгиз.- 1982.
2. Кильчевский Н.А.Элементы тензорного исчисления  и его приложение в механике . - М.: Издательство «Наука».- 1984.
3. М.А.Акивис, В.В. Гольдберг Тензорное исчисление. - М.: Издательство «Наука».- 1969.