История развития тригонометрии на Востоке

Одним из важных разделов математики является тригонометрия. Эта дисциплина не заслуженно забыта, а ведь исторически она предшествовала алгебре и тесно была связана с геометрией и астрономией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «тригонон» треугольник и «метрео» – измеряю, означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной [1]. Зачатки тригонометрии обнаружены в сохранившихся документах Древнего Вавилона, где астрономия достигла значительного развития. Вавилонские ученые составили одну из первых карт звездного неба, они также умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии, начала развиваться раньше плоской из подсобных глав астрономии и самостоятельно не существовала.
Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности. Первые тригонометрические таблицы хорд были составлены астрономом – математиком Гиппархом из Никеи во втором веке до нашей эры, его «Альмагест» содержит элементы прямолинейной и сферической тригонометрии, описание астрономических инструментов. Техника тригонометрических вычислений, применявшихся для решения прямоугольных треугольников, получила значительное развитие в Индии. Таблицы синусов были введены индийскими астрономами, которые рассматривали и линию косинуса [2].
Дальнейшего развития тригонометрические таблицы достигли в трудах ученые стран ислама, которые ввели понятие линии тангенса. Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. В этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы древних. На основе этого разнородного материала математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений, из этого получилась богатая фактами стройная математическая теория тригонометрии как плоской, так и сферической. Вместе с выяснением практического знания тригонометрии, арабские ученые изменила ее облик. В тригонометрии стал преобладать материал об алгебраических зависимостях тригонометрических функций, о вычислительных средствах и возможностях тригонометрии. Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось чисто аналитическое построение тригонометрии, но тригонометрия в математике Среднего Востока стала отдельной математической наукой. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и способах решения этих треугольников. Алгоритмически-вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный, аналитический облик.
В математике периода ислама можно увидеть такое смешение различных влияний, какое встречается в Александрии и в Индии. Халифы Аббасиды, особенно Аль-Мансур (754–775 гг.), Харун-аль-Рашид (786–809 гг.) и аль-Мамун (813–833гг.), покровительствовали астрономии и математике. Аль-Мамун построил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. Арабская астрономия также интересовалась тригонометрией. Здесь появилось слово «синус», которое является латинским переводом арабского написания санскритского слова «джива». Значения синуса соответствовали полухорде двойного угла, Птолемей применял полную хорду, и рассматривались как отрезки, а не как числа .
Значительная часть тригонометрии содержится в работах Аль-Баттани (Альбатений, Albategnius), одного из великих арабских астрономов, который располагал также таблицей значений котангенса для каждого градуса («umbra extensa» – «развернутая тень») и умел решать задачи, сводившиеся к применению теоремы косинусов для сферических треугольников. Труды Аль-Баттани, живящего 850-929 годах, показывают, что восточные ученые были не только переписчиками античных книг, но. овладев как греческими, так и восточными методами, они вносили новое развитие в математики. Например, Абу - аль-Вафа (940–997гг.) вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил таблицу синусов с интервалом в 15', значения в которой точны до восьмого десятичного знака, ввел отрезки, соответствующие секансу и косекансу, и выполнил много различных геометрических построений, применяя циркуль постоянного раствора. Он продолжал также, вслед за греками, изучение уравнений третьей и четвертой степени. Аль-Кархи в начале одиннадцатого столетия написал алгебру «для подготовленных», причем он следуя Диофанту, располагал интересными результатами относительно иррациональных чисел.
Нет необходимости прослеживать многочисленные политические и этнологические изменения в мире ислама. Они вызывали подъемы и падения в развитии астрономии и математики; одни центры исчезали, другие в течение некоторого времени процветали, но, по сути, общий характер исламской науки оставался без изменений. Мы укажем здесь лишь на некоторые высшие точки. После того как в 1256 году монголы разграбили Багдад, и неподалеку возник новый центр учености в виде Марагинской обсерватории, которая была построена монгольским правителем Хулагу для «нисбу» ат-Туси, в европейской литературе чаще Насирэддин Туси. Здесь опять возникло учреждение, в котором сосредоточилась вся наука Востока, и которое можно было сравнивать с научными центрами Греции.
Насирэддин Туси (1201–1274 гг.) – выдающийся персидский математик и астроном, наибольших успехов достиг в области сферической тригонометрии. В его «Трактате о полном четырехстороннике» 1260 года, тригонометрия впервые была представлена как самостоятельная наука. Трактат содержит довольно полное и целостное построение всей тригонометрической системы, а также способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси, в его книге развита теория отношений; изложена теория фигур, состоящих из четырех попарно пересекающихся прямых; собраны способы решения плоских и сферических треугольников; решена задача об определении сторон сферического треугольника по трем углам. Этому ученому принадлежит также первое известное нам описание извлечения корня любой степени; оно опирается на правило разложения бинома. В сочинении достаточно полно изложено то, что было установлено раньше другими учеными, а также отдельные исследования самого автора. Ат-Туси отделил от астрономии тригонометрию как самостоятельную науку. Его попытки доказать аксиому о параллельных Евклида, причем он следовал ходу мыслей Омара Хайяма, показывают, что он ценил теоретический метод греков. Тригонометрический труд Насир ад – Дин ат – Туси оказал в дальнейшем влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана. Влияние ат-Туси ощутимо в Европе эпохи Возрождения, и еще в 1651 и 1663 гг. Джон Валлис пользовался работой ат-Туси о постулате Евклида. Ат-Туси был продолжателем традиций Омара Хайяма и в своей теории пропорций, и в новых численных приближениях иррациональных чисел [1].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Глейзер Г.И. История математики в школе (7-8 классы) [Текст]:научное издание– М.: Просвещение .1982 . –230 c..
 2.Захарова О.А Математические концепции ученых Античности и  Востока –   Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing,  2013.