История развития системы счисления с помощью букв

О. А. Захарова, Л.И. Теняева, М.К. Кудайберген

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ БУКВ

В данной статье представлен обзор развития истории записи чисел с помощью букв древнегреческого, еврейского, славянского алфавита, показывается взаимосвязь обозначений нумерации чисел буквенными символами.
Ключевые слова: система счисления, Аттическая система, Ионийская система, алфавитная нумерация, единица измерения.

Греческая система счисления была основана на использовании букв алфавита. В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: Аттическая и Ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям (Аттика и Иония).
В Аттической системе, названной также Геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (пента ) – пять, ;ЕКА (дека) – десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века нашей эры, но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции. Аттическая система использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их греческих названий. По существу это была десятичная система, хотя в ней также было выделено и число пять, а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов.
Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ ;, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиой), символ M – 10000 (мириой). Используя число 5 как промежуточное подоснование системы счисления, греки на основе принципа умножения комбинировали пятерку с символами степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали символом  , 500 – символом  , 5000 – символом  , 50000 – символом  . Еще большие числа обычно описывались словами. Вторая, принятая в Древней Греции, Ионическая система счисления была алфавитная и получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. В более поздней ионической системе счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до 9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9, но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки тысяч обозначались буквой М   (от греческого «мириада» – 10 000), после которой ставилось то число, на которое нужно было умножить десять тысяч [1].
Эта более тонкая система счисления была десятичной и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовались первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100.
Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовались первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные. Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую или акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) системы исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая и Аттику.
Переход к Ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков Античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. С помощью введения диакритических знаков наподобие тех, которые греки применяли для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел можно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но этой возможностью они не воспользовались. Вместо этого для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее Александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятеричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями.
В более поздний период в вавилонской шестидесятеричной системе имелся специальный символ для обозначения «пустой» позиции, и греческие астрономы ввели для этой цели букву омикрон. Неясно, был ли такой выбор подсказан тем, что с этой буквы начиналось слово оуден (ничто). Сходство греческой буквы «О» с современным обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью.
Обозначения чисел у древних евреев также связаны с буквами. Семитские народы могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Действительно, с небольшими модификациями этот принцип применялся евреями, сирийцами, арамейцами и арабами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 веке до нашей эры [2].
У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход ко второму веку до нашей эры. Девять букв алфавита использовались для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10, остальные буквы использовались для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100 не хватало, в Талмуде числа, превосходящие 400, записывались путем комбинации: например, число 500 обозначалось символами, соответствующими числам 400 и 100, а 900 записывалось как 400 и 400 и 100. Позднее для обозначения чисел, кратных 100 и превосходящих 400, использовались окончательные варианты формы букв или других символов, в результате чего все девять кратных числа 100 получили свои индивидуальные обозначения в виде буквы или специального знака. Как и в ионической системе счисления, символы для обозначения первых девяти кратных числа 1000 были такими же, как символы, обозначающие первые девять чисел в разряде единиц, например, число 6789 записывали как  .
Большинство букв славянского алфавита имели также числовое соответствие. Так, буква «аз» означала «один», «веди» – «два»… Некоторые буквы числовых соответствий не имели. Числа писались и произносились слева направо за исключением чисел от 11 до 19. По такому же принципу строилась глаголическая система счисления, в которой использовались буквы глаголицы. Кириллическая система счисления похожа на греческую. В глаголице цифровые значения имеют и те буквы, которые отсутствуют в греческом (буки, живете и др.). Числовое значение 5 первоначально несла обычная буква е, так называемая «узкая е», но так как по церковно-славянской орфографии она не могла стоять в начале слова или изолированно, позже стал применяться ее другой вариант є, так называемая «широкая е», из которого впоследствии развилась украинская буква «є». Для числового значения 6 в древности применялась как обычная буква «зело» (ѕ), так и зеркально перевернутая. Буква «і» в числовом употреблении точек не имеет. По той же причине, что и для 5, для числового значения 70 обычно применяется не обычная буква «о», а ее так называемый «широкий» вариант ;. Значение 90 в самых древних Кириллических текстах выражала не буква «ч», а заимствованный из греческого знак «коппа» (;). Значение 400 в древности выражала буква «ижица» (;), позже так называемый «ик» или  у – образный знак, используемый только как числовой и в составе диграфа «ук». Использование в числовом значении «ика» характерно для российских изданий, а «ижицы» – для старопечатных украинских, позднейших болгарских и румынских. В значении 800 могла применяться как «голая омега» (;), так и чаще составной знак (;). Значение 900 в древности выражалось «малым юсом» (;), несколько похожим на соответствующую греческую букву «сампи» (;); позже в этом значении стала применяться буква «ц» [3].
Итак, в славянских странах использовали аналог древнегреческой нумерации с использованием букв Кириллицы или Глаголицы. Числа писались в том же порядке, что и произносились, то есть, в числе 15 сначала шёл знак для пяти, а потом для десятка, в то время как в числе 25 сначала для 2, а потом для 5. Знак «титло» или волнистая линия над числом стояло над кириллическими числительными. Некоторые надстрочные буквы своими начертаниями сами напоминали титло и часто писались без него. К числу особо распространенных выносных букв относится лежащая «рцы», которая сама имеет вид титла, поэтому над этой буквой титло не ставилось.
Арифметика в России называлась «счётная мудрость», или «Чёрная книга», откуда произошло «чернокнижие». Книги по арифметике мало кто мог прочитать и понять, так как они содержали арифметические правила и выкладки,  были составлены из сложных знаков. В конце XVI века появилась «Книга, рекома по гречески – Арифметика, по-немецки – Алгорисма, а по-русски – Цифирная счетная мудрость», которая, по мнению ученых была первой русской арифметикой. Считается, что арабские цифры были введены в России после первого заграничного путешествия Петра I, когда он в 1698 году привёз из Лондона морских офицеров. Вместе с тем, они пришли в Россию задолго до Петра, так в 1647 году в Москве по указу царя Алексея Михайловича был напечатан русский воинский устав, в котором использовались арабские цифры. Книги же, напечатанные на русском языке за пределами России, содержали арабские цифры с начала XVI века. При этом в тексте использовалась славянская нумерация, а для вычислений – арабская.
В 1682 году в Москве была напечатана первая книга математического содержания «Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий зело удобно изыскати может, число всякие вещи», которая содержала таблицы умножения до 100 и использовала славянскую нумерацию.  Таким образом, из выше написанного следует, что буквы явились предтечами цифр, так широко известных и применяемых в современности и сыграли огромную роль в развитии математики, общей науки и культуры. [4]

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1 Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. Изд. 2-е. – М.: Наука, 1967. – 205 с.
2 Глейзер Г.И. История математики в школе (7-8 классы) [Текст]:научное издание– М.: Просвещение .1982 . – 230 c.
3 Даан-Дальмедико А.Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1986. – 432 с.
4 Рыбников К. А. История математики: Учебник.– М.: Изд-во МГУ, 1994. – 496 с.