Ода Логарифму

уходят труды поколений
из знаний обычных людей

где сотни ученых трудились
сейчас калькулятор умней...

------- -----------

Предшественники
Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду[26]), что при перемножении степеней их показатели складываются[27]: {\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}} {\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}}. Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4[28].

Логарифмическая таблица М. Штифеля, «Arithmetica integra», 1544
Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной[26]. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.
Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» (1544) Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи[29][30]. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным[31] (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке).
Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»[править | править код]

Джон Непер
В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.
Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году[32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты[33]; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.
Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом[34]:
Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.
В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением[35]:
{\displaystyle {\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}} {\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}},
где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.
Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию {\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)} \operatorname {LogNap} (x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом[35]:
{\displaystyle \operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))} \operatorname {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))
Очевидно, {\displaystyle \operatorname {LogNap} (M)=0} \operatorname {LogNap} (M)=0, то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для {\displaystyle x<M} {\displaystyle x<M} выполняется. {\displaystyle \operatorname {LogNap} (0)=\infty } {\displaystyle \operatorname {LogNap} (0)=\infty }.
Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:
{\displaystyle \operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)} \operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)
Дальнейшее развитие[править | править код]
Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака[36]. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)[37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.
Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил[38][39].
Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} меняется по логарифмическому закону[40]. В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд[41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:
Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел[42].
Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений[43].
Начало работы с бесконечными рядами[41].
Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.
До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log: {\displaystyle \log _{a}b} \log _{a}b. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — {\displaystyle \lg ,\;\ln } \lg ,\;\ln  для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века[44].
Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером[36]. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма[45]. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Расширение логарифма на комплексную область[править | править код]
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма[46]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить {\displaystyle \log(-x)=\log(x)} \log(-x)=\log(x), в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число[46]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной[47]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.
В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции[48], определяемой как интеграл от {\displaystyle {\frac {1}{z}}} {\frac {1}{z}}. Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.
Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм[49].
Некоторые практические применения[править | править код]
Логарифмические зависимости в науке и природе[править | править код]
Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие, то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. ниже такие примеры, как рекурсивные алгоритмы, фракталы или раковины моллюсков. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках.
Теория чисел[править | править код]
Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам[50]:
Число простых чисел в интервале от 1 до {\displaystyle n} n приблизительно равно {\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}} {\frac {n}{\ln n}}.
k-е простое число приблизительно равно {\displaystyle k\ln k} k\ln k.
Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.
Нередко возникает задача грубо оценить очень большое число — например, факториал или число Мерсенна с большим номером. Для этого было бы удобно приближённо записать число в экспоненциальном формате, то есть в виде мантиссы и десятичного порядка.
Задача легко решается с применением логарифмов. Рассмотрим для примера 44-е число Мерсенна {\displaystyle M=2^{32582657}-1} {\displaystyle M=2^{32582657}-1}.
{\displaystyle \lg M\approx 32582657\cdot \lg 2\approx 9808357{,}09543} {\displaystyle \lg M\approx 32582657\cdot \lg 2\approx 9808357{,}09543}
Следовательно, мантисса результата равна {\displaystyle 10^{0{,}09543}\approx 1{,}25.} {\displaystyle 10^{0{,}09543}\approx 1{,}25.} Окончательно получим:
{\displaystyle M\approx 1{,}25\cdot 10^{9808357}.} {\displaystyle M\approx 1{,}25\cdot 10^{9808357}.}
Математический анализ[править | править код]
См. также: Список интегралов от логарифмических функций
Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:
{\displaystyle \int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a}}}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C} {\displaystyle \int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a}}}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C}
Теория вероятностей и статистика[править | править код]

Распределение Бенфорда. По горизонтали — первые значащие цифры, по вертикали — вероятность их появления.
В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение[51] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных[52].
Закон Бенфорда («закон первой цифры») описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин.
Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия[53].
Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.
Информатика и вычислительная математика[править | править код]
В информатике: единица измерения информации (бит). Например, для хранения в компьютере натурального числа {\displaystyle N} N (в обычном для компьютера двоичном формате) понадобится {\displaystyle \log _{2}N+1} \log _{2}N+1 битов.
Информационная энтропия — мера количества информации.
Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»[54] — таких как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье и т. п.
Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля и знак, и скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается[55]. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность[56][57].
Фракталы и размерность[править | править код]

Треугольник Серпинского (справа)
Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала[58]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:
{\displaystyle {\frac {\ln 3}{\ln 2}}\approx 1{,}58} {\frac {\ln 3}{\ln 2}}\approx 1{,}58
Механика и физика[править | править код]
Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.
Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.
Химия и физическая химия[править | править код]
Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.
Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).
Теория музыки[править | править код]
Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для {\displaystyle \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585} \log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585. Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов[59].
Психология и физиология[править | править код]
Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.
Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула[60] — громкости звука[61], яркости света.
Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется[62].
Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хика[en][63].
Биология[править | править код]
Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали[64] — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен:

Раковина наутилуса
 

Расположение семян на подсолнечнике


Цветная капуста Романеско