Беседа 8 о геометрии Лобачевского. Часть 1

Тема: Что же нас ожидает на плоскости Лобачевского? ( Часть 1 )

    Анализируя многовековые и безуспешные попытки доказать 5-й постулат, Лобачевский делает вывод, что 5-й постулат нельзя доказать на основании остальных аксиом геометрии.

    В качестве "основы основ" своей геометрии Лобачевский взял все аксиомы и теоремы абсолютной геометрии пл.с аксиому, являющуюся отрицанием 5-го постулата в формулировке Плейфера: "Через точку, взятую вне прямой на плоскости, в этой плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную".

    Аксиома Лобачевского формулируется так: "Через точку, взятую вне прямой на плоскости, в этой плоскости можно провести более одной прямой, не пересекающей данную", или : " Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой ими, можно провести по крайней мере две, а следовательно, и бесчисленное множество прямых, не пересекающей данную".

    Система аксиом абсолютной геометрии, если к ней прибавить аксиому Лобачевского, и составляет аксиоматику геометрии Лобачевского. Ещё раньше мы дали список основных теорем абсолютной геометрии, которые в одинаковой мере справедливы как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского. В дальнейшем мы будем пользоваться ими для построения  геометрии Лобачевского на плоскости (планиметрия), их доказательство известно читателю  из курса геометрии средней школы. Доказать какую-нибудь теорему Лобачевского - это значит вывести её как следствие  в конечном счёте из аксиоматики геометрии Лобачевского и теорем абсолютной геометрии.

    Напомним, что плоскость и пространство, где вместе с аксиомами абсолютной геометрии выполняется аксиома Лобачевского, будут соответственно называться плоскость Лобачевского и пространство Лобачевского.

    Введём понятие параллельных прямых по Лобачевскому. Для этой цели  в плоскости Лобачевского возьмём прямую (а`а) и вне её произвольную точку М
(рис. 8). Согласно аксиоме Лобачевского, через точку М проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную. Возникает вопрос,- какие из указанных прямых Лобачевский называет параллельными относительно данной.

    Для выяснения этого вопроса из точки М на прямую (а`а) опустим перпендикуляр MN, где N - основание перпендикуляра. Далее, в точке М к прямой (MN)построим перпендикулярную прямую (m m`), что возможно на основании аксиом абсолютной геометрии. Прямая (m m`) не пересекается прямой (а`а), так как она с прямой с прямой (а`а)имеет общий перпендикуляр MN.

    Рассмотрим теперь все прямые, заполняющие угол ( mMN ), то есть все прямые, которые проходят через точку M и идут внутри угла ( mMN ) или являются его сторонами. Разобьём все эти прямые на два класса. К первому классу отнесём те прямые, которые пересекают прямую ( a`a ). К этому класу, в частности, относятся прямая ( MN ) и все прямые ( MQ ), где Q - произвольная точка прямой ( а`а ), взятая правее точки N. Ко второму класу относятся все прямые, которые существуют на основании аксиомы ЛОбачевского, согласно которой через точку М в рассматриваемой плоскости проходит бесчисленное множество прямых ( n`n ), не пересекающих ( а`а ).

    Легко сообразить ( подумайте как это доказать ), что в области прямоугольного угла ( mMN ) все прямые первого класса расположены ниже прямых второго класса ( подумайте и докажите ).

    Если теперь прямую ( MQ ), принадлежащую к первому класу, непрерывно вращать вокруг точки М (для нашего чертежа - против хода часовой стрелки ), то точка Q (точка пересечения этой прямой с прямой ( a`a ) в процессе вращения прямой удаляется вправо по прямой ( a`a ) всё дальше и дальше, и, наконец, наступает такой момент, когда вращающаяся прямая ( MQ )"оторвётся" от прямой ( a`a ) и перейдёт от прямых первого класса в прямые второго класса. Вот эту пограничную прямую, которая является первой непересекающейся ( a`a ) прямой ( на чертеже она обозначена через Мb ), Лобачевский и назвал прямой, параллельной относительно прямой ( a`a )в точке М в направлении a`a, то есть в направлении слева направо.

     Коротко записывается так: b||a  в  точке M, в направлении a`a.

    Перпендикуляр MN будем называть стрелкой, а угол bMN - углом параллельности. Обозначим его через альфа, причём, в соответствии с аксиомой Лобачевского угол альфа всегда является острым.

    Взяв теперь точку Q слева от точки N, на прямой ( a`a ), и заставив Q перемещаться по прямой ( a`a ), в направлении a a`, получим ещё одну параллельную прямую ( Mb`), которая, по определению, будет параллельна (в смысле Лобачевского) в точке М, относительно прямой ( a`a ), в направлении aa` ( рис. 9 ).

    Коротко это запишется так: b`||a` в точке М в направлении aa`. Здесь угол параллельности будет b`MN, обозначим его через угол бетта.

    Теперь докажем, что угол бетта равен углу альфа, то есть, что углы параллельности, имеющие общую стрелку, равны.

    Чтобы убедиться в этом, достаточно перегнуть плоскость чертежа вдоль прямой  (MN) (Рис. 10 ).
 
    Покажем, что луч Mb` совпадает с лучом Mb.

    Если бы Mb` не совпадал с Mb, тогда секущая MQ в направлении aa` имела бы два различных предельных положения, чего быть не может. Отсюда следует, что величина угла b`MN равна величине угла bMN, то есть угол альфа равен углу бетта, что и требовалось доказать.

    Из рассмотренного выше получается следующие результаты:

    1. Через точку М, взятую вне прямой ( a`a ), можно провести одну и только одну прямую b, параллельную относительно прямой a  в  точке М в указанном направлении ( направление параллелизма на рисунке отмечается стрелками; Рис. 11).

    2. Через точку М, взятую вне прямой ( a`a ), можно всегда провести две различные прямые b  и  b`, параллельные прямой ( a`a ), одну в направлении a`a, а другую - в направлении aa` (Рис. 12 ).

    3. Все прямые, проходящие через точку М, относительно прямой ( a`a ) (Рис.12), можно разделить на три категории. К первой категории относятся прямые b и b`, параллельные относительно прямой a`a. Одна в одном направлении, другая - в другом. Их всего две. Ко второй категории относятся все прямые MQ, пересекающие прямую (a`a) и заполняющие два вертикальных угла, образованных параллельными прямыми относительно прямой (a`a), каждый из которых равен величине двойного угла альфа. Таких прямых бесчисленное множество. Эти прямые относительно прямой (a`a) называются сходящимися прямыми.  К третьей категории отнесём все остальные прямые, заполняющие остальные два вертикальных угла ( на Рис. 12 эти углы отмечены косой штриховкой ). Таких прямых бесчисленное множество. Эти прямые относительно прямой (a`a) принято называть расходящимися или сверх параллельными прямыми. Мы же в дальнейшем будем придерживаться первого термина. Значит, расходящимися относительно прямой (a`a) называются прямые, которые находятся в одной плоскости с прямой (a`a), не пересекают её и не являются относительно неё параллельными...

1. Примечание: источник: В.Д. Чистяков "Беседы о геометрии Лобачевского". Издательство "Вышейшая Школа". Минск. 1973 год. Беседа восьмая "Что нас ожидает на плоскости Лобачевского?" Часть 1. Стр. 95-100.

2. Примечание: рисунки 8-12 взяты из той же книги.

3. Примечание: К сожалению, не возможно загрузить файл стандартного формата, поэтому я направляю ваше драгоценное внимание на мою страницу в Контакте.