Беседы о геометрии Лобачевского. Беседа шестая

Беседы о геометрии Лобачевского.

Беседа шестая: "Учёные, приоткрывшие дверь в новый мир"

( Саккери, Ламберт, Швейкарт, Тауринус ).

Ещё в 18 веке созрели необходимые предпосылки для возникновения новых идей, связанных с ,геометрией Лобачевского, отрицающий 5 постулат и все его эквиваленты. Нашлись учёные, которые были близки к этим идеям. Но, скованные старыми традициями, воспитанные на "Началах" Евклида и уверенные, что 5-й постулат рано или поздно всё же будет доказан ( на основании аксиом абсолютной геометрии ), они слегка приоткрыли дверь в новую геометрию, даже заглядывали в этот новый мир, но тут же, поражённые его необычностью и несоответствием своим наглядным представлениям, шарахались в сторону от этой двери, и она наглухо закрылась за ними.

К эти учёным принадлежали итальянский математик Саккери (1667-1733 г.) и швейцарский учёный Ламберт (1728-1777 г.). Оба они - стихийные предшественники открытия Лобачевского. Они владели первыми теоремами неевклидовой геометрии, но шли этим путём не для утверждения новых идей, а чтобы похоронить эти идеи и доказать вместе с 5-м постулатом незыблемость "Начал" Евклида, как единственно возможной геометрии. Будь они смелее и дальновиднее, они бы шире распахнули приоткрывшуюся им дверь, перешагнули бы через её порог и тогда, за 100 лет до Лобачевского, предвосхитили бы открытие неевклидовой геометрии. Но, увы, этого они не сделали. В то время в геометрических представлениях старое было куда сильнее нового. Математика ждала иных борцов за новое, более сильных и последовательных.

Посмотрим теперь, как упомянутые выше учёные приоткрыли дверь в мир новых идей, имя которым "геометрия Лобачевского".

Начнём с Саккери. Этот трудолюбивый монах, принадлежавший к ордену иезуитов, всё свободное время отдавал изучению "Начал" Евклида и их критическому разбору. Он, как и многие его предшественники, обратил внимание на сложность и особое положение ( используется не сразу ) 5-го постулата и стал на путь сторонников его доказательства.

Он верил, что рано или поздно 5-й постулат будет доказан и одно из самых "тёмных пятен" "Начал" Евклида будет ликвидировано. Именно побуждаемый этими благими намерениями, он пишет трактат под характерным названием "Евклид, очищенный от всех пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии".

Для доказательства 5-го постулата Саккери строил четырехугольник АВСD, у которого углы А и В при нижнем основании прямые, а боковые стороны АD и ВС равны ( рис. 6). Такие четырехугольники принято называть четырехугольниками Саккери.

Специальной теоремой Саккери доказывает, что углы С и D при верхнем основании равны. Поэтому имеем полное право каждый из этих углов обозначить через альфа.

Теперь относительно величины альфа без всякой предвзятости Саккери устанавливает три гипотезы:

1. Гипотезу тупого угла, согласно которой угол альфа тупой;
2. Гипотезу прямого угла, согласно которой угол альфа прямой;,
3. Гипотезу острого угла, согласно которой угол альфа острый.

Согласно интуиции, в основе которой лежит 5-й постулат, нам кажется, что угол альфа есть прямой угол и, следовательно, две другие гипотезы (первая и третья ) просто невозможны. Но это только с точки зрения 5-го постулата.
Интуиция правильно подсказывает, что гипотеза прямого угла есть эквивалент 5-го постулата. И Саккери в этом отношении отдаёт себе полный отчёт и правильно понимает это. Для доказательства 5-го постулата он старается, не прибегая к его эквивалентам, логически установить, что угол альфа - прямой, то есть из трёх гипотез имеет место только одна, а именно - вторая.

Он без особого труда доказывает, что первая гипотеза ведёт к логическому противоречию и, следовательно, на плоскости не имеет места. Теперь ему остаётся так же "расправиться" с третьей гипотезой - гипотезой острого угла. Тогда право на существование имела бы только вторая гипотеза, а от неё "рукой подать" до самого 5-го постулата, который и был бы доказан.

Но на пути опровержения третьей гипотезы Саккери встретил непреодолимые трудности, что было вполне естественно.

Все "опровержения", к которым приходит пытливый ум Саккери, не удовлетворяют его, и он сокрушённо пишет: "При гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий... Между тем опровергнуть гипотезу острого угла мне не удаётся иначе, как доказав, что длина эквидистанты равна длине её прямолинейного базиса.."

Примечание: Эквидистанта - плоская кривая равных расстояний, представляющая геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой, - оси эквидистанты, и расположенных по одну сторону от неё.

Определяя длину кривой методом бесконечно малых, Саккери допустил ошибку, приведшую его к неверному заключению о том, что длина дуги эквидистанты равняется её проекции на ось, или, как он выражается, "длина эквидистанты равна длине её прямоугольного базиса".

Встав на путь опровержения третьей гипотезы и рассуждая методом от противного: "предположим, что третья гипотеза имеет место", Саккери получает своеобразную геометрию гипотезы острого угла. Вместо ожидаемого противоречия он получает целый ряд необычных с точки зрения евклидовых представлений теорем, не имеющих, однако, при самом придирчивом отношении к ним никаких внутренних логических противоречий типа А и не - А одновременно. Вот это и напугало Саккери. Находясь в плену старых представлений, основанных на вере в доказуемость 5-го постулата, Саккери не знал, что он фактически встал на путь новой евклидовой геометрии, которая через столетие найдёт развитие в трудах гениального математика Н.И. Лобачевского. Убеждённый в безупречности евклидовой геометрии, Саккери, сам того не сознавая, получил следующие результаты неевклидовой геометрии на плоскости:

1. Если в одном четырехугольнике Саккери угол альфа острый, то и во всяком четырехугольнике Саккери этот угол острый.
2. Сумма внутренних углов любого четырехугольника меньше 4d ( меньше 360 градусов ).
3. Сумма внутренних углов любого треугольника меньше 2d (меньше 180 градусов ).
4. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой могут и не пересекаться.
5. Два перпендикуляра к одной и той же прямой, расположенные в одной плоскости, безгранично расходятся один относительно другого.
6. Существуют прямые, которые, взятые по две, в одну сторону безгранично расходятся, а в другую - асимптотически сближаются ( как увидим далее, такие прямые Лобачевский назвал параллельными ).
7. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и расположенных по одну сторону от неё, на плоскости есть кривая (эквидистанта ), имеющая с прямой не более двух общих точек.

В шестом и седьмом предложении Саккери и усмотрел противоречие. О "противоречии" в седьмом предложении было сказано выше. Что касается шестого предложения, то рассуждения Саккери сводились к следующему. Раз существуют две прямые, безгранично расходящиеся друг от друга в одну сторону и асимптотически сближающиеся в другую, то на стороне их асимптотического сближения, по его мнению, в бесконечности найдётся точка, общая этим прямым, и в этой точке рассматриваемые прямые будут иметь общий перпендикуляр, что, как полагает Саккери, "противно нашему разуму".

Однако, если отбросить искусственное построение "бессодержательного" общего перпендикуляра в бесконечно удалённых точках прямых, здесь никакого логического противоречия нет. То, что увидел Саккери, было, конечно, необычным и шло в разрез с традиционными представлениями.
Но необычное не есть ещё логическое противоречие. То обстоятельство, что он необычное принял за невозможное, и погубило в нём учёного, прокладывавшего новые пути в геометрии.

Намного дальше Саккери и более смело пошёл по "дороге открытий" швейцарский учёный - самоучка, сын бедного ремесленника, достигший при жизни большой славы исследователя в области математики, астрономии, геодезии и фотометрии, член Берлинской академии наук Ламберт. Его можно считать непосредственным продолжателем идей Саккери.

Свои исследования Ламберт изложил в работе "Теория параллельных линий", написанной, как полагают, в 1766 году и опубликованной стараниями Бернулли и Гинденбурга в 1786 году.

Работу Ламберта можно разделить на три части. В первой части автор пытается решить вопрос,- можно ли 5-й постулат получить как простое следствие из предшествующих постулатов или же для этого потребуются другие, более очевидные дополнительные постулаты. Во второй части даются различные попытки доказательства 5-го постулата при помощи дополнительных постулатов, которые, являются эквивалентами, и сами должны быть доказаны. В третьей, наиболее интересной части излагаются, по существу, элементы неевклидовой геометрии в том случае, когда наряду с аксиомами абсолютной геометрии имеет место "третья гипотеза". На этой части работы Ламберта и остановимся несколько подробнее.

В своих рассуждениях Ламберт исходит из четырехугольника АВСD, у которого три угла А, В и С заведомо прямые. Этот четырехугольник принято называть четырехугольником Ламберта.

Строится он так. Из концов произвольного отрезка АВ восстанавливаем перпендикуляры. На одном из них берём точку D (рис. 7 ) и из неё опускаем на другой отрезок перпендикуляр DС. Полученный четырехугольник и будет искомым.

Углы А, В, С будут прямые по построению. Величина угла D обозначим через альфа. Относительно величины альфа Ламберт, как и Саккери для своего четырехугольника строит три гипотезы:

1. Гипотезу тупого угла, согласно которой величина угла альфа больше величины угла d .
2. Гипотезу прямого угла, согласно которой величина угла альфа равна величине угла d .
3. Гипотезу острого угла, согласно которой величина угла альфа меньше величины угла d .

Обосновывая 5-й постулат, Ламберт, как и Саккери, стремился логически доказать, что первая и третья гипотезы не имеют места, и тогда будет справедлива вторая гипотеза, то есть величина угла альфа равна величине угла d . А это утверждение эквивалентно 5-му постулату, и постулат 5-й будет доказан.

Идя таким путём, Ламберт, как и следовало ожидать, легко "расправился" с первой гипотезой, совершенно строго доказав, что упомянутая гипотеза на плоскости не имеет места. Однако третья гипотеза - гипотеза острого угла - оказалась тем "крепким орешком", который он разгрызть не смог. Вот тут-то у него и возник вопрос: "В чём же дело?" Почему несостоятельность первой гипотезы устанавливается сразу же, а третья гипотеза этому не поддаётся? Он даже высказывает для того времени "еретическую мысль". "Я почти принужден заключить, - пишет Ламберт, - что третья гипотеза (острого угла ) находит себе применение на некоторой мнимой сфере".

Эти слова оказались пророческими. Действительно, много позднее Лобачевский показал, что все формулы неевклидовой геометрии получаются из формул сферической геометрии, если радиус R основной сферы, на которой строится тригонометрия, заменить мнимым радиусом Ri, где i равен корню квадратному из ( - 1).

Ламберт сформулировал ( но не доказал ) теорему, что при наличии гипотезы острого угла площадь треугольника АВС пропорциональна его угловому дефекту, причём, под последним он понимал разность между двумя прямыми углами и суммой внутренних углов треугольника.
Так что по Ламберту:

Площадь прямоугольного треугольника равна положительному множителю пропорциональности в квадрате умноженному на угловой дефект, который определяется по формуле: 2d - величина угла А - величина угла В - величина угла С.

Так как дефект треугольника не может быть отрицательным, то из полученной формулы Ламберта как следствие вытекает, что площадь треугольника не может возрастать беспредельно.

Получается весьма интересно. Мы привыкли к тому, что если увеличивать стороны треугольника, то площадь его возрастает беспредельно. А тут?
Как бы ни увеличивали мы стороны треугольника, раздвигая его вершины, площадь треугольника всегда будет оставаться меньше некоторой постоянной величины ( константы).

Здесь налицо полная аналогия со сферической геометрией ( и- тригонометрией ), где роль прямых играют дуги больших кругов основной сферы, то есть тех кругов, центры которых находятся в центре сферы.

Как известно формула площади сферического треугольника АВС имеет вид:

S треугольника равна произведению радиуса сферы в квадрате, умноженному на математическое выражение: ( величина угла А + величина угла В + величина угла С - 2d ).

Если в этой формуле радиус сферы R заменить через Ri, то получим формулу Ламберта, справедливую при господстве гипотезы острого угла:

S (треугольника) = R ^2 ( 2d - величина угла А - величина угла В - величина угла С ).

Или S (треугольника) = R^2 ( угловой дефект).

Нас не удивляет, что в сферической геометрии площадь сферического треугольника всегда ограничена сверху и не может возрастать беспредельно. Она, например, не может стать больше поверхности всего шара, так пусть же нас не удивляет и тот факт, к которому пришёл Ламберт, что при наличии гипотезы острого угла площадь треугольника не может возрастать беспредельно и всегда остаётся меньше некоторой величины.

Во всех своих тонкостях Ламберт хорошо разбирался и не в пример Саккери, не смотря на необычность полученных результатов, не спешил выносить несправедливый "смертный приговор" третьей гипотезе.

В своих рассуждениях Ламберт зашёл настолько "далеко", что, приняв гипотезу острого угла, пришёл к выводу, что должна существовать некоторая длина, характерная для нашего пространства ( абсолютная единица длины ).
Этот результат 60 лет спустя был заново открыт Н.И. Лобачевским.

Но доказуем ли 5-й постулат?

На этот вопрос Ламберт не дал определённого ответа. Он больше, чем кто-либо другой, понимал серьёзность проблемы 5-го постулата и все существовавшие его доказательства считал логически несостоятельными. Ламберт показал, что доказательства 5-го постулата заходят столь далеко, что остаётся, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат.

Первыми, кто сознательно подошёл к построению исходных теорем неевклидовой геометрии до Лобачевского, были немецкие учёные Швейкарт и Тауринус.

Профессор из Магдебурга Швейкарт ( 1780 - 1859 г.) был юристом. Высот математики достиг самообразованием, находя в занятиях геометрией отдохновение от всех трудов и высшее удовлетворение.

Изучай историю неудачных попыток доказать 5-й постулат и подходя к этому вопросу без всякой учёной предвзятости, он приходит к выводу, что наряду с обычной евклидовой геометрией существует другая, неевклидовая геометрия, называемая им "астральной" ( звёздной ) геометрией. Однако свои замечательные идеи, посвящённые разработке звёздной геометрии, Швейкарт не опубликовал.

О прямолинейном и смелом высказывании этих идей можно судить по письму, написанному им в 1818 году великому немецкому математику Гауссу, непререкаемому авторитету в вопросах геометрии, носившему в то время почётный титул "короля математиков".

В этом письме говорится: "Существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова - евклидова - и звёздное ( astralische ) учение о величинах. Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх углов не равна двум прямым. Принимая это, можно строжайшим образом доказать следующее:

а) Что сумма трёх углов в треугольнике меньше двух прямых;
б) Что сумма эта тем меньше, чем больше площадь треугольника;
в) Что высота прямоугольного равнобедренного треугольника, постоянно
возрастая с возрастанием боковых сторон, не может превзойти
некоторую линию, которую я называю константой".

Далее Швейкарт пишет, что евклидова геометрия будет иметь место в предложении, что постоянная бесконечно велика. Только тогда оказывается справедливым, что сумма углов треугольника равна двум прямым. Это легко доказать, когда мы примем, что постоянная бесконечно велика.

Письмо было послано, но нужной поддержки в печати от Гаусса Швейкарт так и не получил, хотя тот разделал взгляды Швейкарта и сам был склонен когда- нибудь заняться эти вопросом.

Как потом выяснилось, "король математиков" в вопросах неевклидовой математики был более чем осторожен; вынашивая их в голове, он не спешил с их письменным оформлением и тем более с их публикацией. Он просто боялся быть непонятым и поставить под удар свой научный престиж.

Не найдя поддержки со стороны Гаусса, Швейкарт, не имевший специального математического образования, стал, по-видимому, сомневаться в своих результатах. Пыл астральной геометрии пропал, занятия ею были заброшены, и он к ним больше не возвращался.

Дальнейшей разработкой идей Швейкарта занялся его племянник Тауринус
( 1794 - 1874 г. ).   В 1825 году он выпустил работу "Теория параллельных линий". В этой работе он опровергает гипотезу тупого угла четырехугольника Саккери и сознательно развивает геометрию, вытекающую из гипотезы острого угла этого четырехугольника. В другой своей работе ( 1826 г.) Тауринус  намечает формальные пути построения неевклидовой геометрии.

Признавая логическую непротиворечивость неевклидовой геометрии, Тауринус, однако, считал её непригодной для реальной действительности и поэтому не имеющей никакого интереса.

Обращался ли Тауринус со своими результатами к Гауссу? Да, обращался. И даже получил от Гаусса письмо, датированное 08.11.1824 г. К сожалению, в этом письме Гаусс больше говорит о своих собственных результатах в области неевклидовой геометрии, чем о результатах Тауринуса, считая их для себя пройденным этапом, и не только не побуждает молодого учёного к новым исследованиям и дерзаниям, а, наоборот, расхолаживает его.

Письмо Гаусса заканчивается следующими характерными словами: "Относительно человека, который обнаружил глубокий математический ум, я не опасаюсь, что дурно поймёт изложенное выше ( а выше изложены программные вопросы неевклидовой геометрии );  но в всяком случае вы должны смотреть на это, как на частное сообщение, которое отнюдь не должно быть опубликовано".

Тауринус, однако, решил, что следует заниматься теорией параллельных линий и не держать новое открытие под спудом. Именно это заставило его опубликовать упомянутые работы одну за другой. И когда в предисловии к последней работе он осторожно высказал пожелание, чтобы Гаусс опубликовал своё мнение по этому вопросу, "король математиков" не на шутку рассердился и порвал всякие связи с Тауринусом. После этого все письма Тауринуса к Гауссу оставались без ответа...

В обстановке полного непризнания своих научных работ учёный впал в болезненное состояние, приведшее его к потере душевного равновесия. Он сжёг свои брошюры и навсегда отошёл от науки.

1. Примечание: Источник: В.Д. Чистяков "Беседы о геометрии Лобачевского" Издательство "Вышейшая Школа". г. Минск. 1973 год. Беседа шестая: "Учёные, приоткрывшие дверь в новый мир" ( Саккери, Ламберт, Швейкарт, Тауринус ). Стр. 39 - 51.

2. Примечание: рисунок 6 и рисунок 7 взят из то же книги.

3. Примечание: К сожалению невозможно загрузить рисунки 6, 7 даже в обрезанном виде, поэтому я направляю любопытных читателей на мою страницу "Малашонок Олег" в Контакте. Подсказка: аватарка муж -славянин обнимает свою русскую лебёдушку в русском национальном костюме во время осенней поры.