Мысли вслух 1044

Рассмотрим один пример. Помня, что мы хотим показать возможность пользоваться классической механикой, рассмотрим „частицу“, масса которой 1 грамм, а размер 0,1 миллиметра. По человеческим масштабам это — крупинка, лёгкая, маленькая частица. Но она в 1024 раз тяжелее протона и в миллион раз больше атома!

В привычном нам мире все тела движутся по определённым траекториям. Опытный бильярдист всегда знает, как покатятся шары после удара, и легко загоняет их в лузу. С атомными частицами гораздо сложнее. Траекторию летящего электрона указать невозможно: он не только частица, но и волна, бесконечная в пространстве. Поэтому удаётся только выяснить, какова вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, в частности, определить, где электрон окажется с наибольшей вероятностью. В какое именно отверстие электрон пролетел, сказать тоже нельзя: он может оказаться всюду, и можно считать, что он пролетел сквозь все отверстия сразу!

Пусть „наша“ крупинка движется в сосуде, наполненном водородом. Если крупинка летит достаточно быстро, нам кажется, что она движется по прямой с определённой скоростью. Это впечатление ошибочно: из-за ударов молекул водорода по крупинке её скорость при каждом ударе чуть изменяется. Оценим, на сколько именно.

Пусть температура водорода 300 К (температуру мы всегда измеряем по абсолютной шкале, по шкале Кельвина; 300 К = 27°С). Умножив температуру в кельвинах на постоянную Больцмана kB, = 1,381;10–16 Дж/К, мы выразим её в энергетических единицах. Изменение скорости крупинки можно подсчитать, воспользовавшись законом сохранения количества движения. При каждом столкновении крупинки с молекулой водорода её скорость изменяется приблизительно на 10–18 см/с. Изменение происходит совершенно случайно и в случайном направлении. Поэтому величину 10–18 см/с естественно считать мерой классической неопределённости скорости крупинки (Dv)кл для данного случая. Итак, (Dv)кл = 10–18 см/с. Местоположение крупинки определить с точностью большей, чем 0,1 её размера, по-видимому, очень трудно. Примем (Dх)кл = 10–3 см. Наконец, (Dх)кл(Dv)кл = 10–3;10–18 = 10–21. Казалось бы, очень маленькая величина. Во всяком случае, неопределённости скорости и координаты так малы, что можно рассматривать среднее движение крупинки. Но по сравнению с квантовой неопределённостью, продиктованной соотношением Гейзенберга (DхDv = 10–27), классическая неоднородность огромна — в этом случае превышает её в миллион раз.

Вывод: рассматривая движение крупинки, учитывать её волновые свойства, то есть существование квантовой неопределённости координаты и скорости, не нужно. Вот когда речь идёт о движении атомных и субатомных частиц, ситуация резко меняется.
Самый простой атом

Атом водорода — самый простой из атомов. Его ядро — один протон, вокруг него движется один электрон. Если сравнивать атом водорода с небесными телами, то напрашивается сравнение с Землёй до эпохи искусственных спутников, когда вокруг Земли двигалась только Луна. Но кроме баснословного различия масштабов есть ещё одно: система Земля — Луна уникальна, а атомов водорода так много, что хочется сказать бесконечно много. И все они одинаковы, тождественны не только по составу, но и по всем своим свойствам.

Прежде всего, все эти атомы имеют одинаковые размеры. Расстояние от Луны до Земли медленно, но изменяется: Луна тратит энергию своего движения на приливы и отливы и из-за этого приближается к Земле. А вот атомы водорода, что бы с ними ни происходило, в какие ситуации они бы ни попадали, не меняются. Будто что-то электрону в атоме не позволяет приблизиться к протону. Что бы это могло быть?

Начнём с того, что, воспользовавшись положениями классической механики, рассмотрим, как движется притягивающийся к ядру электрон. Сила притяжения компенсируется центробежной силой, то есть e2/r2 = mv2/r. Отсюда радиус орбиты электрона r = e2/mv2. Каков он, сказать невозможно. Фактически он может быть каким угодно: чем меньше скорость, тем расстояние от ядра больше. Не удивляйтесь: полная энергия движущегося электрона Е тем больше, чем электрон дальше от ядра. Действительно, сумма потенциальной и кинетической энергий Е = –e2/r + mv2/2. Но mv2 = e2/r, то есть Е = –e2/2r. Получается, что в одном атоме водорода электрон может быть ближе к ядру, в другом — дальше. Потенциальная энергия электрона U(r), соответствующая силе электростатического притяжения FC = –e2/r2, есть U(r) = –e2/r плюс постоянная, которую удобно принять равной нулю. Тогда при бесконечном расстоянии электрона от ядра энергия обращается в нуль. При отрицательной энергии электрон вращается вокруг ядра, а при положительной не связан с ядром и может удалиться на бесконечность.

Считая траекторию электрона окружностью, мы заметно упростили картину. Движение по окружности под действием электростатической кулоновской силы — частный случай. В общем случае частица с отрицательной энергией движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится притягивающий центр. Формула, связывающая радиус орбиты частицы с энергией, остаётся справедливой, если под 2r понимать большую ось эллипса.

Выдающийся датский физик Нильс Бор построил теорию атома на основе планетарной модели Э. Резерфорда и идеи М. Планка о квантовании энергии, сформулировав два постулата: 1. Вопреки законам электродинамики электрон, двигаясь по стационарной орбите, энергию не излучает. 2. Переходя с удалённой от ядра орбиты на более приближённую, электрон испускает квант света. Теория Бора позволила объяснить целый ряд экспериментальных фактов, чего не смогла сделать классическая механика. Создание Бором квантовой модели атома было отмечено Нобелевской премией 1922 года.

То, что с помощью классического подхода не удалось выяснить, почему все атомы водорода имеют одинаковые размеры, неудивительно. Движение микроскопических частиц описывается не классической механикой Ньютона, а квантовой механикой, математический аппарат которой весьма непрост. Не претендуя на строгость, можно поступить так: к классическим формулам добавить условие, вытекающее из того, что движение электрона сопровождает волна де Бройля. Так в свое время поступил Нильс Бор (1885–1962). Правда, когда Бор создавал теорию атома водорода (1913 год), квантовой механики ещё не существовало, но он понимал, что использованный приём требует обоснования. Мы же теперь знаем, что такое обоснование есть — это квантовая механика.

Условие, вытекающее из существования волны де Бройля, выглядит так: на траектории электрона обязано поместиться целое число волн де Бройля, то есть 2;r = n;, где n = 1, 2, 3 … — целые числа. Но ; = 2;ћ/mv (напоминаем, что ћ = h/2;). Значит, r = (ћ/mv)n, где n = 1,2,3… Сравнив последнее выражение с формулой, связывающей радиус орбиты со скоростью, получим: r = an = аВn2, аВ = ћ2/mе2, где n = 1, 2, 3 …, индекс „В“ — в честь Бора. Величину аВ так и называют — радиус Бора. Радиус Бора приблизительно равен 0,053 нанометра (1 нм = 10–9 м). Подставив это значение в выражение для энергии, имеем: Е = Еn = –e2/2аn = –(me4/2ћ2)(1/n2), где n = 1,2,3 …

Электрон, движущийся вокруг атомного ядра, может иметь только такую траекторию, на которой помещается целое число волн де Бройля.

Величину (me4/2ћ2) называют ридбергом в честь шведского оптика Иоганеса Роберта Ридберга (1854–1919) и обозначают Ry, 1 Ry = 13,6058 эВ. Электронвольт (эВ) — принятая в атомной физике единица энергии, то есть энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов, равную одному вольту, 1 эВ = 1,60217733;10–19 Дж. Мы ещё вернемся к вопросу, большая или маленькая энергия масштаба одного ридберга, а пока попытаемся понять качественную сторону полученных результатов.

Из них следует три вывода.

Во-первых, электрон в атоме может иметь только дискретные значения энергии. Мы нарочно опустили наименование атома — водород. В любом атоме энергии электронов дискретны.

Во-вторых, существует состояние электрона с энергией, меньше которой электрон иметь не может. Это состояние называется основным. Все остальные состояния называют возбуждёнными.

Прежде чем сформулировать третий пункт, придётся сказать несколько вступительных слов. Двигаясь с ускорением, заряженная частица излучает электромагнитные волны. На этом принципе устроены все антенны, любые источники электромагнитного излучения — радиоволн, видимого света, рентгеновских и гамма-лучей. А электрон в атоме, в каком бы состоянии он ни находился, не излучает, хотя движется с ускорением. Правда, электрон в возбуждённом состоянии может излучить электромагнитную энергию, перейдя в одно из состояний с меньшей энергией. Энергия излучается квантами, и в процессе излучения, как во всех процессах, происходящих в природе, выполняется закон сохранения энергии. Энергия излученного кванта в соответствии с законом сохранения энергии равна h; = En – Em, где n и m — целые числа и n > m. Сколько времени электрон проведёт в возбуждённом состоянии, зависит от целого ряда причин, исследованных квантовой механикой. Эти времена различны, но все они конечны. Исключение составляет основное состояние: закон сохранения энергии запрещает электрону, находящемуся в основном состоянии, излучать электромагнитную энергию.

Отсюда следует третий вывод: основное состояние электрона в атоме устойчиво.