Парадоксы Человечества

    О сколько нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг…
                /А.С. Пушкин. 1829/


  БУРИДАНОВ ОСЁЛ.
Буриданов осёл - философский парадокс, названный по имени Жана Буридана несмотря на то, что был известен ещё из трудов Аристотеля.
Осёл стоит между двух совершенно одинаковых стогов сена. Не в силах выбрать ни один из них, он теряет время, оценивая каждый из вариантов. В результате промедления осёл становится всё голоднее, а цена решения всё возрастает. Так и не сумев выбрать ни один из равнозначных вариантов, осёл в конце концов умирает от голода. 

    Очень ярким примером ПАРАДОКСАЛЬНОГО ВЫВОДА служит размышление Алисы из сказки Льюиса Кэролла: «Чем больше сыра, тем больше в нем дырок, но ведь, чем больше дырок, тем меньше сыра. Получается, чем больше сыра, тем меньше сыра?»

   «Теории и практики» попытались разобраться в самых интересных логических, философских и математических парадоксах.


    ПАРАДОКС (от др.-греч. - неожиданный, странный, от др.-греч. - против, вопреки и др.-греч. - мнение, представление, предположение) — в широком смысле высказывание, мнение, рассуждение, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным, или противоречащим здравому смыслу (зачастую лишь при поверхностном понимании).
В логике парадоксом называют формально-логические противоречия, которые возникают при сохранении логической правильности рассуждения. Парадокс возникает, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми.
ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС - противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса объясняется неверным выбором логических посылок, например, когда речь идет о предметах, не имеющих четкого определения (См. стрела Зенона).  ПАРАДОКС В ЛОГИКЕ — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики.
    Различаются такие разновидности логических парадоксов, как АПОРИЯ и АНТИНОМИЯ.

АПОРИЯ характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.
Следует научиться отличать парадокс от апории. Если первое – это нелогичная правда, то второе – логичная выдумка.

АНТИНОМИЯ - наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений.
   Родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант впервые показал, что антиномии с необходимостью порождаются особенностями процесса познания, в частности постоянными попытками разума выйти за пределы опыта, познать «вещь в себе», а поскольку, по Канту, это невозможно, всякий такой выход и приводит к антиномии.
   Кант использовал понятие «антиномия» для оправдания основного тезиса своей философии, согласно которому разум не может выйти за пределы чувственного опыта и познать «вещи в себе» (Ding an sich, буквально — вещь сама по себе). По учению Канта, такого рода попытки приводят разум к противоречиям, так как делают возможным обоснование как утверждения (тезиса), так и отрицания (антитезиса) каждой из следующих «антиномий чистого разума»:
   Мир конечен — мир бесконечен.
   Каждая сложная субстанция состоит из простых частей — не существует ничего простого.
   В мире существует свобода - в мире не существует свободы, но господствует только причинность.
  Так как антиномия в данном случае состоит в том, что можно привести одинаково убедительные доказательства в пользу как утвердительного, так и отрицательного ответа на эти вопросы, то разрешение антиномии необходимо приводит к выводу, что человеческое познание в последних встречает преграду, которой ни перешагнуть, ни победить не может.
   По Канту, мы знаем о пространстве, времени, материи, причине и т. д. только как о явлениях (феноменах), но ничего не знаем: каковы вещи-в-себе (ноумены). Поэтому мы должны отказаться от догматического изучения этих вопросов; идея абсолютного и бесконечного имеет только значение регулирующего принципа, то есть она сама не служит источником расширения знания, а только руководящею нитью для всё более и более прогрессирующего расширения знания. Помимо антиномий чистого разума, Кант сформулировал ряд принципиальных антиномий морального, религиозного и эстетического сознания.
    Гегель отметил важность значения кантовских антиномий, поскольку они отражают диалектический характер его взглядов. Антиномии, или противоречия, по его утверждению, существуют «во всех предметах всякого рода, во всех представлениях, понятиях и идеях».
   АНТИНОМИИ подразделяют на ЛОГИЧЕСКИЕ и СЕМАНТИЧЕСКИЕ.
Антиномии возникают не вследствие субъективной ошибки, но связаны с диалектичностью процесса познания. Традиция антиномического мышления связана также с христианской богословской традицией, в которой непостижимость основных догматических положений часто формулируется в виде антиномий (П. Абеляр, П. А. Флоренский, А. Ф. Лосев и др.).
   
ВИДЫ АПОРИЙ.
    ПАРАДОКС ЛЖЕЦА. Если он говорит «Я сейчас вру», то это не может быть ни ложью, ни правдой.     Парадокс лжеца — семейство логических парадоксов, классический вариант которого гласит: «Я лгу», или, более точно: «Данное утверждение ложно». Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием. Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.
   ПАРАДОКС НЕОЖИДАННОЙ КАЗНИ: приговоренному к смерти пообещали, что его повесят неожиданно в полдень на следующей неделе в будний день. Осужденный стал рассуждать: в пятницу меня не повесят, так как это не будет неожиданностью, ибо после наступления четверга останется только пятница. В четверг же его тоже не смогут казнить, так как после среды это тоже не будет неожиданностью. Таким образом, он исключил все дни недели и пришел к выводу, что повешение не состоится. На этом человек успокоился, но в среду ровно в полдень к нему пришел палач, что было очень неожиданно. Предсказание судьи сбылось.
   ПАРАДОКС КУЧИ — логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределённостью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зёрнышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зёрнышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зёрен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зёрен. Парадокс используется как одно из обоснований рассмотрения нечёткой логики.
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение.  Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц (точек пространства или моментов времени). Она также затрагивает глубокий и нерешённый в физике вопрос о природе времени и тем самым стимулировала многовековую дискуссию на эту тему, не завершённую до наших дней.
Иногда утверждают, что с помощью этой и других апорий Зенон доказывал невозможность движения. На самом деле элеаты отрицали не движение, а его мыслимость, то есть, на современном языке, соответствие бытия и его научных моделей, которые, по мнению элеатов, невозможны без противоречий - в то время как рационально-логический подход позволяет этих противоречий избежать.
    По мнению большинства комментаторов, цель апорий — показать, что наше (математическое) представление о движении противоречиво. Вероятно, поэтому элеатов в древности называли афизиками, то есть противниками науки о природе.
Одно из возможных объяснений апории: в природе нет физического аналога математическим понятиям точки пространства и момента времени.
    ПАРАДОКС СОРИТА: допустим, песочная куча состоит из миллиона песчинок. Если убрать одну из них, куча останется кучей. После изъятия второй песчинки куча все равно не потеряет свой статус. А что будет, когда останется последняя песчинка? По идее куча – уже не куча.  Чтобы утверждение было логичным, необходимо либо изначально лишить миллион песчинок статуса кучи, либо назвать ею одну песчинку.
   КВАНТОВЫЙ ПАРАДОКС ЗЕНОНА - квантовый эффект Зенона - метрологический парадокс квантовой механики, заключающийся в том, что время распада метастабильного квантового состояния некоторой системы с дискретным энергетическим спектром прямо зависит от частоты событий измерения её состояния. В предельном случае нестабильная частица в условиях частого наблюдения за ней никогда не может распасться.   
Впервые эффект предсказан в 1954 году Аланом Тьюрингом, позже, в 1957 году, советским физиком Леонидом Халфиным.

ПАРАДОКСЫ В НАУКЕ.
  Современные науки, использующие логику в качестве инструмента познания, нередко наталкиваются на теоретические противоречия либо на противоречия следствий из теории с вербализованными результатами опыта, эксперимента. Это бывает обусловлено логическими ошибками в построении суждений, несовершенством существующих в настоящее время научных методов или недостаточной точностью используемых в опытах инструментов, а также неадекватностью принятой идеализации, то есть неверной аксиоматизацией теорий.
   НАЛИЧИЕ ПАРАДОКСА СТИМУЛИРУЕТ к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру.
   Примерами парадоксов в науке могут служить ПАРАДОКС РАССЕЛА, ПАРАДОКС БАНАХА - ТАРСКОГО, ПАРАДОКС СМЕЙЛА, ПАРАДОКС ХАУСДОРФА, ЭПР-ПАРАДОКС, КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ - затруднения (противоречия), возникающие при распространении законов физики на Вселенную в целом или достаточно большие её области.
    ФОТОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС (ПАРАДОКС ШЕЗО — ОЛЬБЕРСА, название по имени швейцарского астронома Ж. Шезо, 1744, и немецкого астронома Г. В. Ольберса, 1826) состоит в том, что классическая физика затрудняется объяснить, почему ночью темно: если повсюду в бесконечном пространстве стационарной Вселенной (или хотя бы в достаточно большой её области) имеются излучающие звёзды, то в любом направлении на луче зрения должна оказаться какая-нибудь звезда и вся поверхность неба должна представляться ослепительно яркой, подобной, например, поверхности Солнца. Это противоречие с тем, что наблюдается в действительности, и называлось фотометрическим парадоксом. Парадокс решается при учёте конечного возраста Вселенной, благодаря которому (вследствие конечности скорости света) доступная наблюдениям часть Вселенной ограничена горизонтом частиц.
    ГРАВИТАЦИОННЫЙ ПАРАДОКС (ПАРАДОКС НЕЙМАНА - ЗЕЛИГЕРА, название по имени немецких учёных К. Неймана и Х. Зелигера, XIX в.) имеет менее очевидный характер и состоит в том, что закон всемирного тяготения Ньютона не даёт какого-либо разумного ответа на вопрос о гравитационном поле, создаваемом бесконечной системой масс (если только не делать очень специальных предположений о характере пространственного распределения этих масс).  Для космологических масштабов ответ даёт теория А. Эйнштейна, в которой закон всемирного тяготения уточняется для случая очень сильных и бесконечных гравитационных полей.
   Другие парадоксы: при распространении на Вселенную второго начала термодинамики (без учёта гравитации) в прошлом (Р. Клаузиусом в 1865 г.) делался вывод о необходимости тепловой смерти Вселенной. Возраст Метагалактики в теории нестационарной Вселенной до 1950-х гг. оказывался меньше возраста Земли.
    ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ – рассуждение либо высказывание, в котором, пользуясь средствами, не выходящими (по видимости) за рамки логики, и посылками, которые кажутся заведомо приемлемыми, приходят к заведомо неприемлемому результату. Ввиду того, что парадоксы обнажают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они, согласно законам творческого мышления, помогают при развитии новых идей и концепций.
Английский логик Рамсей предложил отличать ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ от ПАРАДОКСОВ СЕМАНТИЧЕСКИХ, основанных не только на логике, но и на конкретной интерпретации понятий. Многие (причем самые принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, напр., известный с эпохи античности ПАРАДОКС «ЛЖЕЦ».
   Критический шаг логического рассуждения, применяющегося в знаменитом ПАРАДОКСЕ КАНТОРА о множестве всех множеств, имеет ту же логическую форму.
    Более тонко выявлена крайняя опасность автореференции (предложений, ссылающихся на самих себя) в ПАРАДОКСЕ КАРРИ («Если это утверждение верно, то русалки существуют»), выявляющем глубинные логические корни, в частности парадоксов лжеца и Рассела. «Пусть A – произвольное высказывание. Пусть B – высказывание «Если B, то A». Допустим B. Тогда B = A. Значит, из B следует A в силу правила дедукции, и B доказано без всяких допущений. Но тогда доказано и A».
Таким образом, Карри показал, что обычная импликация в любой системе с автореференцией позволяет вывести любое предложение, что является грубой формой противоречия (противоречивость по Карри.)
     ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ доказывается при помощи построения, по сути дела являющегося одним из ПАРАДОКСОВ АВТОРЕФЕРЕНЦИИ. А именно, строится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость. Она не может быть доказана, потому что тогда мы получили бы прямое противоречие, она не может быть и опровергнута, потому что тогда мы получили бы доказательство ее недоказуемости и, следовательно, ее обоснование.
    НОВЫЙ КЛАСС ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ, также лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости, был открыт Берри, который ввел в рассмотрение сложность объекта.
ПАРАДОКС БЕРРИ: Фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами.
Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число. Поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел. Поэтому есть наименьшее число n0, не определимое таким способом. Но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет n0.
Конструкция Парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной.
   Примером НЕРЕФЛЕКСИВНОГО ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА является следующий парадокс:
«Необходимо, что 9 больше 7. Число больших планет – 9. Значит, необходимо, что число больших планет больше семи».
Данный парадокс также лежит на грани между семантическими и логическими. Конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Райса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой – тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, т.е. оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь.
Этот парадокс сыграл громадную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством. Ту же логическую структуру при формализации приобретает и известный парадокс утренней звезды, относящийся к семантическим.
Как ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ часто трактуются ЗАКОНЫ МАТЕРИАЛЬНОЙ ИМПЛИКАЦИИ – «из лжи следует все, что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы A ; B, в которых A и B никак не связаны по смыслу.

ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКОГО ВСЕВЕДЕНИЯ:
Если мы знаем A и A ; B, то мы знаем В. Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо).
Эти аномалии явились стимулом для развития модальных, паранепротиворечивых, эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным огрублением.
   
КЛАСС ПАРАДОКСов, возникающих на границе логики и математики, основан на применении точных методов к неточным понятиям.
   «Человек, у которого на голове нет ни одного волоса – лыс. Если у лысого вырастет еще один волосок, он останется лысым. Значит, все люди лысые».
Рассуждение, примененное в данном парадоксе (опять-таки восходящее к античности), интенсивно используется при развитии ультраинтуиционистской математики, имеющей дело с процессами, завершимыми в реальное время. Оно отграничивает реально осуществимые объекты от потенциально осуществимых, и тем самым «шуточный» парадокс приобретает глубокий математический смысл.
   Развитие современных логических методов привело к новым ЛОГИЧЕСКИМ ПАРАДОКСАМ. Например, Брауэр указал на следующий-
ПАРАДОКС КЛАССИЧЕСКОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ;хA(х) /существует для всех хA(х)/, для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t).
   В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать существование таких моделей. Этот ПАРАДОКС показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике.
   Нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему ПАРАДОКСУ:
«Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Таким образом, бесконечное может быть частью конечного».
Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть (не)стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный ПАРАДОКС СТАЛ ОСНОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛУМНОЖЕСТВ, в которой классы могут быть подклассами множеств.
  И наконец, последний КЛАСС ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ возникает на границах между формализованными и неформализуемыми понятиями.
   Рассмотрим один из них (АРГУМЕНТ САЙМОНА): «Все, что может быть выражено точно, может быть выражено на языке машин Тьюринга. Поэтому в гуманитарных науках могут рассматриваться лишь те модели, которые выразимы на языке машин Тьюринга. Более того, согласно методу диагонализации, любое точное возражение против данной точки зрения само переводится на язык машин Тьюринга и включается в неё».   
Этот ПАРАДОКС стимулировал появление ТЕОРИИ НЕФОРМАЛИЗУЕМЫХ ПОНЯТИЙ, но ввиду того, что он не был сразу осознан как парадокс, заодно привел к печальным последствиям, поскольку этот софизм, в котором спутаны принципиальная выразимость (требующая нереальных ресурсов) и реальные описания, был воспринят как точное рассуждение и, как отмечено в трудах по когнитивной науке, парализовал почти на 10 лет западную психологию. Отрицание аргумента Саймона после осознания его софистической природы было построено так, что привело к полному отказу от точных понятий и тем самым по существу послужило мотивом для течений типа постмодернизма. В данном случае была допущена логическая ошибка подмены противоречащего суждения противоположным.

ПАРАДОКСЫ В ИСКУССТВЕ.
Парадокс как художественный приём. ПАРАДОКСАЛЬНОСТЬ - чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства. В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре.
   Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.
   ПАРАДОКСАЛЬНЫ МНОГИЕ АФОРИЗМЫ известных мыслителей. Например, высказывания ВОЛЬТЕРА:
«Ваше мнение мне глубоко враждебно, но за ваше право его высказать я готов пожертвовать своей жизнью»
или НИЦШЕ: «Нищих надобно удалять — неприятно давать им и неприятно не давать им», 
или ФРУМКЕРА: «Мужчина от женщины отличается тем, что перед совершением ошибки он всё тщательно продумывает».
Парадоксальностью отличаются и афоризмы КОЗЬМЫ ПРУТКОВА, БЕРНАРДА ШОУ.

ПАРАДОКСЫ В МУЗЫКЕ.
   В классической музыке парадоксом принято называть изысканные, странные произведения или фрагменты, отличающиеся от традиционного звучания.
  Также парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

ПАРАДОКСЫ ПОСТУЛАТОВ ЕВКЛИДА.
   Постулат 1. Из каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую.
А если точки бесконечно удалены друг от друга, то провести прямую не удастся из-за нехватки времени достичь бесконечно удалённую точку – жизни не хватит дойти.
   Постулат 2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределённо.
Но если не определено, где её искать, то кому она нужна в бесконечности (якобы, неопределённо), до которой никому не дойти за всю жизнь. А если она там во что-нибудь упрётся нежелательное, где мы тогда будем при негативном варианте исхода? И кто беседовать с тем этим будет?
    Постулат 3. Из любого центра можно описать окружность любого радиуса.
Но определить, что это – окружность из бесконечно удалённых точек – невозможно, поскольку достичь бесконечно удалённых точек не хватит жизней конечного числа жителей, измеряющих радиусы. Бесконечного числа жителей пока не родили.
   Правда, есть один парадокс:
представим, что всю бесконечность превратили в шар конечного радиуса,  в плоскости, проходящей через центр шара, на поверхности шара начертили  прямую линию бесконечное число раз, которая равна по длине измеряемому нами бесконечному   радиусу, и край этой линии достиг какой-то  другой точки внутри шара в этой же плоскости, проходящей через центр шара, и эта точка показала, что она есть конец бесконечной прямой в какой-то определённый момент времени i.
Потом мы как бы вернулись в первую точку начала измерения бесконечной линии и в тот же момент времени, с которого начали первое измерение,   повернули плоскость следующего измерения на бесконечно малый градус и провели точно такое же бесконечное число раз точно такую же по длине ( как и в первый раз) бесконечную линию с окончанием ее в следующей точке шара и точно в такой же момент времени, который был и при измерении первой длины бесконечной линии. В общем получим окружность на поверхности шара (внутри или извне). Если число раз проведения линии будет кратно длине окружности, то диаметр линии будет равен диаметру шара, умноженному на бесконечное число раз.
Итак, получили выводы:
    А. Много людей не надо, если заставить конечную  точку бесконечно длинной прямой  линии вращаться, как электрон, по круговой орбите с центром  в центре шара.
   Б. Любую бесконечную длину можно превратить в конечное расстояние от начальной точки измерения (неподвижного нуля отсчёта) до конечной точки  измерения на поверхности  шара конечного радиуса в определённый момент времени i. При этом скорость вращения конечной точки должна быть конечной, но вращаться конечная точка будет бесконечное число раз . Главное, не запутаться в числе бесконечных кружений по шару – величина их можно определить мощностью бесконечности, в том числе скоростью вращения. То есть при разных скоростях полёта по поверхности шара разные точки будут чертить линии разной мощности (по длине). Получается, что длина, как геометрическая характеристика, стала обладать мощностью.
Интересная граница между геометрией и физикой точек (траекторией движения частиц).
   В. Евклид с детства был на пенсии, иначе откуда у него столько времени для размышления? И где бы он взял деньги на пропитание? Возможно, ум был сверхбыстрый или море выбросило перед ним на берегу клад. Вот почему он думал о бесконечном счастье и как измерить длину этой бесконечности? Конечно, во времени, как и мощность (стоимость) клада, когда время - деньги!
    Постулат 4. И чтобы все прямые углы были равны друг другу.
Но парадокс в том, что прямые углы могут быть не равны друг другу, если учесть их параметр ориентировки в пространстве.
В таком случае они не только не равны, а ещё к тому же могут быть и противоположно направленными.
Так что ж это за равенство, если не все прямые углы равны, а только по параметру:  число градусов, да и то с точностью до погрешности системы измерения их.
  Возможно, в том и смысл парадоксов геометрии, чтобы заставить человека думать и вращать предметы в пространстве, не видя предмета, либо не имея возможности поворачивать или переворачивать его???
    Постулат 5. И если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, эти две прямые при их неограниченном продолжении встречаются с той стороны, с которой углы меньше двух прямых углов.
  А если там плоскость изогнута? Где же в формулировке фраза о  неизгибаемой плоскости?
А если прямые начинаем вести по прямой на шаре типа Земли, а проще говоря – на фигуре похожей на яблоко?  Тогда получится парадокс пятого постулата: куда кривая выведет, то есть получится нечто из железнодорожной терминологии, где пересекаются не две прямые с третьей, а четыре, когда две прямых одного пути (два рельса) пересекается  с двумя рельсами второго пути, но потом ни в одной точке не встречаются, как написано в пятом постулате, поскольку  встречаются в четырёх точках, то есть в точках пересечения двух рельсов с двумя рельсами. То есть пятый постулат геометрии превращается в железнодорожном варианте в таблицу странного умножения арифметики, так как три рельса, пересекающие другие три рельса, дают тридцать шесть точек пересечения, что означает девять в пересчете на основной элемент железнодорожного постулата: два на два будет четыре (точки пересечения), но три на три – тридцать шесть точек, но делённых на основной элемент. Правда, непонятно: зачем прямые, как сказано в формулировке бесконечно продолжать, если их необходимо и достаточно для пересечения довести до точки пересечения, а то ведь если до бесконечности вести, то параллельные прямые получим, то есть два рельса! Не о них ли и мечтал Евклид? О поездах на прямых параллельных неизгибающихся рельсах, но до бесконечности, то есть в космос, к другим планетам! Но почему по рельсам? Неужели он мечтал о космическом лифте с двумя канатами, один их которых был бы страховочным? 
Вот это мыслитель!
   
МИФ О ПЕЩЕРЕ.
Миф о пещере — знаменитая аллегория, использованная Платоном в диалоге «Государство» для пояснения своего учения об идеях. Считается краеугольным камнем платонизма и объективного идеализма в целом.
Представьте себе племя, которое приговорено жить в глубокой пещере. На ногах и руках у его членов оковы, которые мешают двигаться. В этой пещере родилось уже несколько поколений, единственным источником знаний для которых являются слабые отблески света и приглушённые звуки, достигающие их органов чувств с поверхности.
А теперь представьте, что эти люди знают о жизни снаружи?
И вот один из них снял с себя оковы и добрался до входа в пещеру. Он увидел солнце, деревья, удивительных животных, парящих в небе птиц. Затем он вернулся к своим соплеменникам и рассказал им об увиденном. Поверят ли они ему? Или сочтут более достоверной ту мрачную картину подземного мира, которую всю жизнь видят своими глазами?

ПАРАДОКС ВСЕМОГУЩЕСТВА или ПАРАДОКС БОГА.
   Этот парадокс заключается в попытке понять, может ли существо, которое в состоянии выполнить любое действие, сделать что-либо, что ограничило бы его способность выполнять действия.
    Может ли всемогущий Бог создать такой камень, который он не сможет поднять?
В обоих случаях (если он создать такой камень сможет или же не сможет) ставится под вопрос понятие всемогущества. То есть, если всемогущее существо создает камень, которое не может поднять, оно уже не может являться всемогущим, если же оно такой камень создать может, но поднять его не в состоянии, то его всемогущество тоже весьма сомнительно. Философы по-разному пытались разрешить этот парадокс. Августин Блаженный утверждал, что Бог не может создать такую ситуацию, которая в действительности сделает Бога не-Богом. Рене Декарт, несмотря на очевидную проблему, полагал, что Бог является абсолютно всемогущим и вообще находится вне человеческой логики.
(Серж Пьетро: БОГ - Бесконечное Обогащение Гармонией - поток созидания прекрасного.)

ПАРАДОКСЫ ЖИЗНИ.
    Все грехи в жизни имеют одно начало – глупость. Второе, третье и другие  начала жизни – от умных мыслей о лучшем (по О. Уайльду- Серж Пьетро.).
   Счастье женатого человека во многом зависит от тех, на ком он не женат (О. Уайльд).
   Жить нужно не в роскоши, а среди полезных для здоровья вещей, поскольку роскошь - это топкое болото, затягивающее дороговизной. Польза для здоровья от затягивания в болото - никакая!
ПАРАДОКС СОВРЕМЕННОЙ ЖИЗНИ состоит в том, что люди изучили и применяют не все те закономерности и случайности, что действуют в природе, Вселенной, а лишь те, что удалось понять и придумать умом Человека. Других сущностей или процессов, умеющих писать и говорить по-человечески внятно, думающих или двигающихся, не найдено, но есть те, что подают нам различные знаки. Их наиболее  интересно изучать и интерпретировать философски.
ГЛАВНЫЙ ПАРАДОКС ЖИЗНИ – теплота отношений. Младенцы знают почти ничего, почти ничего в жизни осмысленно не видят – им почти ничего не надо, кроме теплоты. Молодость знает всё, что-то в жизни видит – им всё надо, даже теплота. Во вторую молодость (в средние года) люди знает многое, многое осмысленно видят – и им ещё многое надо, особенно теплота. В последнюю молодость люди помнят всё, всё в жизни видят, но им ничего не надо, кроме теплоты. Критерии смысла жизни – наслаждение жизнью и теплотой отношений – с годами возвращаются.

ПАРАДОКСЫ ПРОИЗНОШЕНИЯ
   Парадокс произношения состоят в том, что произнесённые неправильно слова воспринимаются через подобные близкие по набору слогов.
(при ошибке компьютера + ошибка при произношении:  разовьём - разобьём).

ПАРАДОКСЫ ВОСПРИЯТИЯ.
Ошибки моего компьютера:   печатал - умрозаключение, на экране -  умозлоключения.

ПАРАДОКС ВОСПРИЯТИЯ РЕЧИ
Сказали «выбьем», а слышится «выпьем»

ПАРАДОКСЫ КОМАНД
По местам стоять, полный вперёд!
Напра-…нале-…шагом…отставить.

ПАРАДОКСЫ БЕЗГРАМОТНОСТИ.
Казнить нельзя помиловать.

ПАРАДОКСЫ СМЫСЛА.
   Смысл – это внутреннее содержание, значение чего-н., постигаемое разумом.
Он дожил до самой смерти, а потом умер.
   Не будь цветов, все ходили бы в одноцветных одеяниях.
   Силлогизмы: из «все жидкости несжимаемы», «ртуть – жидкость», следует – «ртуть несжимаема».
   Только пустые люди знают о себе всё, поскольку пустота – ничто / Серж Пьетро, по Оскару Уайльду/
   Познать себя возможно в данное мгновение, но познать себя полностью – стать равным Богу.
    Лишь Вселенная видит и чувствует то, что несёт она человеку на многие годы вперёд.
    Парадокс Хинтикки (финский философ Яако Хинтикки – философия «конкурирующих миров») : «Уместно ли считать предосудительным то, что человек не в состоянии сделать?» – Серж Пьетро: парадокс разрешим вполне:
Всё, что негативно или растлевающе - влияет на ум человека, всё это не должно применяться и предосудительно, но что недостижимо, но позитивно и созидательно для развития прекрасного – может быть одобрено; всё, что пока не в состоянии сделать – возможно создать в фантастике на сегодняшний день).

ПАРАДОКСЫ ИСТОРИИ.
    История многому может научить, но почему-то чаще делает наоборот. Парадокс – в отсутствии у истории голоса.
   Парадокс Гегеля: «История учит человека тому, что человек ничему не учится из истории»
    Один их главных парадоксов нашей историографии Средних веков в том, что тогда не все русские люди подозревали, что они живут «под игом».  Латинское слово и понятие «иго» (по-современному: Иностранное ГОсподство ) в значении «угнетение» по отношению к Руси впервые появилось в одном из европейских источников во второй половине XV века. В русских памятниках письменности - во второй половине XVII века, в одном-единственном списке (копии) «Сказания о Мамаевом побоище». В 2017 году уже Святейший Патриарх Кирилл на первом заседании Оргкомитета по подготовке 800-летнего юбилея святого благоверного князя Александра Невского обозначил решительный поворот в историографии Средневековой Руси:   «Александр Невский сумел выстроить такие отношения с Ордой, которые обеспечивали сохранение Руси… В результате Русь не потеряла своей идентичности, она не потеряла своей веры, не потеряла даже своего государственного устройства…».
   Парадокс Несуэцкого канала – Египетский канал тянулся к Красному морю не непосредственно от Средиземного, а от Нила древнефиникийские и египетские суда заходили из Средиземного моря в Нил и уже из реки по каналу доплывали до Красного моря и выходили в Индийский океан.

ПАРАДОКСЫ МАССЫ
   Масса живого или движущегося должна быть больше, тогда всем всего хватит, однако масса живого и движущегося не должна быть больше опасного предела, когда живое заполонит всё и вымрет от нехватки питательной среды.
   Масса Земли все время растет, но она при этом она становится больше в диаметре, т.е. больше пространства для жизни и роста живого – хорошо, но при этом Земля начинает вращаться медленнее, Солнце греет одну сторону планеты всё дольше, всё живое будет испытывать всё больше неудобств от чрезмерной жары, рост массы Земли дальше приведёт к испепеляющей жаре – плохо.
   Парадокс недоношенности (недостатка массы тела): Низкий вес при рождении и курение матери приводят к большой смертности. Дети курящих родителей имеют более низкий вес при рождении, однако маловесящие дети курящих родителей имеют более низкую смертность, чем другие маловесящие дети. 
На первый взгляд, эти данные свидетельствуют о том, что, по крайней мере, для некоторых детей наличие курящей матери может быть полезным для здоровья. Однако парадокс можно объяснить статистически, обнаружив скрытую переменную между курением и двумя ключевыми переменными: весом при рождении и риском смертности. На обе переменные влияют независимо курение и другие неблагоприятные условия - снижается масса тела при рождении и повышается риск смертности. Однако каждое условие не обязательно влияет на обе переменные в одинаковой степени.
  Распределение веса при рождении детей курящих матерей смещается в сторону снижения веса благодаря действиям их матерей. Следовательно, в противном случае здоровые дети (которые весят больше, если бы не курила их мать) рождаются с недостаточным весом. Тем не менее, они по-прежнему имеют более низкий уровень смертности, чем дети, у которых есть другие, более серьезные, медицинские причины, по которым они рождаются с недостаточным весом.
   Короче говоря, курение вредно в том смысле, что оно способствует снижению массы тела при рождении, которая имеет более высокую смертность, чем нормальная масса тела при рождении, но другие причины низкой массы тела при рождении, как правило, более вредны, чем курение.

ПАРАДОКСЫ ФИЛОСОФИИ.
     Философия (др.-греч.  дословно «любомудрие; любовь к мудрости») - особая форма познания мира, вырабатывающая систему знаний о наиболее общих характеристиках, предельно-обобщающих понятиях и фундаментальных принципах реальности (бытия) и познания, бытия человека, об отношении человека и мира. К задачам философии на протяжении её истории относились как изучение всеобщих законов развития мира и общества, так и изучение самого процесса познания и мышления, а также изучение нравственных категорий и ценностей. К числу предельных философских вопросов относятся, например, вопросы «Познаваем ли мир?», «Существует ли Бог?», «Что такое истина?», «Что такое хорошо?», «Что есть Человек?», «Что первично — материя или сознание?» и другие. Новейшая философия так же партийна, как и две тысячи лет тому назад. Борющимися партиями по сути дела… являются материализм и идеализм.
   Парадоксом принято называть утверждение, отличающееся от общепринятого, или явление, кажущееся невероятным и неожиданным.

БУРИДАНОВ ОСЁЛ.
Буриданов осёл - философский парадокс, названный по имени Жана Буридана несмотря на то, что был известен ещё из трудов Аристотеля.
Осёл стоит между двух совершенно одинаковых стогов сена. Не в силах выбрать ни один из них, он теряет время, оценивая каждый из вариантов. В результате промедления осёл становится всё голоднее, а цена решения всё возрастает. Так и не сумев выбрать ни один из равнозначных вариантов, осёл в конце концов умирает от голода. 
    Очень ярким примером ПАРАДОКСАЛЬНОГО ВЫВОДА служит размышление Алисы из сказки Льюиса Кэролла: «Чем больше сыра, тем больше в нем дырок, но ведь, чем больше дырок, тем меньше сыра. Получается, чем больше сыра, тем меньше сыра?» «Теории и практики» попытались разобраться в самых интересных логических, философских и математических парадоксах.
   Философия поверхностных знаний о жизни – философия высшего света, познавшего всё обо всём, но из-за недостатка времени только поверхностно.

ПАРАДОКС ИМПЛИКАЦИИ.
Парадокс импликации: Несовместные посылки делают аргумент верным.
 Парадоксы импликации - это парадоксы, возникающие в связи с содержанием условных утверждений классической логики. Главная функция этих утверждений — обоснование одних утверждений ссылкой на другие.
В классической логике условное утверждение имеет форму «Если {A}, то {B}». Оно ложно только в том случае, если {A}истинно, а {B}ложно, и истинно во всех остальных случаях. Содержание утверждений {A} и {B} при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом по смыслу, составленное из них условное утверждение может быть истинным.
Так истолкованное условное утверждение носит название «материальной импликации». Оно характеризуется следующими парадоксами:
Если {B} истинно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {A}. То есть истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег белый» является истинным.
Если {A} ложно, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {B}. То есть с помощью ложного утверждения можно обосновать всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно пяти, то снег красный» является истинным.
Если {A} является противоречивым (тождественно ложным) утверждением, то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {B}.
То есть из противоречивого утверждения можно вывести всё что угодно. Пример: утверждение «если дважды два равно четырём и дважды два не равно четырём, то Луна сделана из зелёного сыра» является истинным.
Если {B} является тавтологией (то есть утверждением, истинным при любом содержании; такие утверждения выражают логические законы), то истинность всего условного утверждения уже не зависит от истинности {A}. То есть логические законы следуют из любых утверждений. Пример: утверждение «Если снег белый, то дважды два равно четырём или дважды два не равно четырём» является истинным.
Эти парадоксы материальной импликации являются прямым следствием двух основных постулатов классической логики:
Всякое утверждение либо истинно, либо ложно, а третьего не дано;
Истинностное значение сложного утверждения зависит только от истинностных значений входящих в него простых утверждений, а также от характера связи между ними, и не зависит от их содержания.
В рамках этих двух допущений адекватное построение условных утверждений невозможно.
Ясно, что материальная импликация не выполняет свою функцию обоснования. Подобное положение дел, отстаиваемое классической логикой, получило название «парадоксов материальной импликации».
С целью решения этих парадоксов в 1912 году американский логик К. И. Льюис (Clarens Irving Lewis) предложил заменить материальную импликацию так называемой «строгой импликацией», которая как-то отражает связь простых утверждений, составляющих условное утверждение, по смыслу. Правда, потом оказалось, что строгая импликация сама не свободна от парадоксов. Поэтому в 1950-е годы немецкий логик В. Аккерман и американские логики А. Андресон и Н. Белнап предложили другой вариант условной связи — «релевантную импликацию», — которая разрешает не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Этой импликацией можно связывать только те утверждения, которые имеют общее содержание.

ПАРАДОКС САТАНИНСКОЙ БУТЫЛКИ СТИВЕНСОНА.
  В сказке Стивенсона «Сатанинская бутылка» безмятежный гаваец Кэаве становится обладателем cтеклотары с чёртом, выполняющим любые желания владельца. За это, правда, хозяин после смерти непременно попадает в ад, если только не сможет продать бутылку дешевле, чем покупал её сам.
Парадокс в том, что, потребовав за неё, допустим, 100 рублей, продать её можно, теоретически, кому угодно. Однако, условием черта была честная сделка, то есть покупатель должен знать о последствиях. Если же купить бутылку по максимальной цене (до этого по словам автора она стоила миллионы и владели ей такие личности, как Наполеон и Кук), денег может элементарно не хватить, да и найти покупателей будет нелегко. Логически очень сложно просчитать формулу, при каком соотношении сил бутылка будет иметь оптимальную низкую цену для продажи.
Сам писатель в сказке задачу решил просто. На выбор предлагалось три варианта: курс валют разных стран (против этого чёрт не возражал), самопожертвование близкого человека, готового купить бутылку, чтобы снять с хозяина проклятие, и последнее — покупательская алчность и наплевательское отношение к загробной жизни. В любом случае, загадку Стивенсона до сих пор считают одной из самых интересных задачек на сообразительность для студентов экономических вузов.

ПАРАДОКС ВОРОНОВ.
Парадокс воронов (или Вороны Хемпеля): Существование красного яблока увеличивает вероятность того, что все вороны чёрные.
Доказательство одноцветности всех лошадей методом математической индукции.
Парадо;кс во;ронов (англ. Raven paradox), известный также как парадокс Гемпеля (нем. Hempels paradox) или во;роны Гемпеля — парадокс подтверждения[1], сформулированный немецким математиком Карлом Густавом Гемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная логика иногда входит в противоречие с интуицией. Наиболее распространённый метод разрешения этого парадокса состоит в применении теоремы Байеса, которая соотносит условную и предельную вероятность стохастических событий. Гемпель описал этот парадокс следующим образом. Предположим, что существует теория, согласно которой все вороны чёрные. Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что все предметы, не являющиеся чёрными, не являются воронами. Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все нечёрные предметы не являются воронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все нечёрные предметы не являются воронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вороны чёрные.
Парадокс сатанинской бутылки Стивенсона описывается схожей логикой.

ПАРАДОКС ПЬЯНИЦЫ.
Парадокс пьяницы — утверждение, которое утверждает что в любом кабаке существует по крайней мере один такой человек, что если он пьёт, то пьют все (предполагается, что в кабаке есть по крайней мере один человек). Это утверждение, сформулированное в формальной логике, оказывается верным.
Допустим: утверждение, что в кабаке пьют все, истинно. Выделим среди всех, кто пьёт в кабаке, какого-то одного человека. Назовём его Джоном. Тогда верно утверждение, что если пьют все, то пьёт и Джон. И наоборот, если пьёт Джон, то пьют и все.
Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть неверно, что в кабаке пьют все. Тогда в кабаке существует по крайней мере один человек, который не пьёт. Назовём его, опять же, Джоном. Поскольку неверно, что Джон пьёт, то верно, что если он пьёт, то пьют все. То есть опять получается, что если Джон пьёт, то пьют все.
Последнее умозаключение основано на том допущении классической логики, что из ложного утверждения следует всё что угодно. То есть если утверждение, что Джон пьёт, ложно, а также если следующее из него утверждение, что все остальные посетители кабака пьют, тоже ложно, то всё условное (сложное) утверждение считается в классической логике истинным.
Аналогичная натянутость доводов есть и в первом умозаключении. А именно, если верно, что если в кабаке пьют все, то пьёт и Джон, то не обязательно верно, что если пьёт Джон, то пьют не все. Если заранее не известно, что в кабаке пьют все, тогда то, что вместе с Джоном пьют все, нужно оговаривать (или проверять) специально. В классической логике такие нюансы не принимаются во внимание (принцип исключения среднего), поэтому в ней при обращении истинного условного утверждения также получается истинное (условное) утверждение.
В данном случае мы имеем дело с вариантом парадоксов импликации, возникающих из-за того, что классическая логика абстрагируется от смыслового содержания высказываний. Такие парадоксы решаются в релевантной логике (см. парадокс импликации), в которой имеются средства, учитывающие то содержание высказываний, от которого абстрагируется классическая логика и неучёт которого ведет к парадоксам.

ПАРАДОКС КЭРРОЛА.
   Парадокс Кэррола (англ.): Момент инерции палочки должен быть равен нулю, но он не равен.
   В физике парадокс Кэрролла возникает при рассмотрении движения падающего жесткого стержня, который специально ограничен. С одной стороны, момент импульса остаётся постоянным; рассматривается по-другому, он меняется. Он назван в честь Майкла М. Кэрролла, который впервые опубликовал его в 1984 году.
   Рассмотрим две концентрические окружности радиуса{r_{1}} и {r_{2}}как можно было бы нарисовать на лице настенные часы. Предположим, что однородный жёсткий тяжелый стержень длины{l = |r_ {2} -r_ {1}|  как-то ограничен между этими двумя кругами, так что один конец стержня остается на внутреннем круге, а другой остается на внешнем круге. Движение стержня вдоль этих кругов, выступающего в качестве направляющих, происходит без трения. Стержень удерживается в положении «три часа», чтобы он был в горизонтальном положении, а затем отпускается.
Теперь рассмотрим момент импульса относительно центра стержня:
После освобождения стержень (стрелка) падает. Будучи ограниченным, он должен вращаться при движении. Когда он достигает вертикального положения в шесть часов, он теряет потенциальную энергию и, поскольку движение без трения, приобретет кинетическую энергию. Следовательно, он обладает моментом импульса.
Сила реакции на стержень от любой круговой направляющей не имеет трения, поэтому она должна быть направлена вдоль стержня; не может быть компонента силы реакции, перпендикулярного стержню. Принимая моменты вокруг центра стержня, не может быть никакого момента, воздействующего на стержень, поэтому его угловой момент остается постоянным. Поскольку стержень начинается с нулевого момента импульса, он должен продолжать иметь нулевой момент импульса в течение всего времени.
Очевидное разрешение этого парадокса состоит в том, что физическая ситуация не может возникнуть. Для удержания стержня в радиальном положении окружности должны оказывать бесконечное усилие. В реальной жизни было бы невозможно создать направляющие, которые не оказывают значительного реактивного усилия перпендикулярно стержню. Виктор Намиас, однако, оспаривал, что возникают бесконечные силы, и утверждал, что стержень конечной толщины испытывает крутящий момент вокруг своего центра масс даже в пределе при приближении к нулевой ширине.
Парадокс Кэррола : «Whatever Logic is good enough to tell me is worth writing down…»
«Любая логика, которая хороша достаточно, чтобы рассказать мне, стоит того, чтобы записать…»   

ПАРАДОКС ЛОТЕРЕИ.
  Вполне ожидаемо (и философски проверяемо (англ.)), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.
   Парадокс лотереи состоит в том, что вероятность выигрыша каждого билета в отдельности ничтожно мала, и рациональным будет считать, что ни один из всех билетов не выиграет. То есть невозможно знать заранее, какой конкретный билет выиграет, но что один билет выиграет мы знаем наверняка. То есть парадокс лотереи возникает из-за неправильной исходной посылки: распределение вероятности не равномерно в рамках отдельного периода, а изменчиво. И если принять за отдельный период один тираж, то в нем не могут выпасть все возможные варианты, а выпадет только один. Поэтому противоречивое понимание вероятности исчезает: вероятность выпадения абсолютного большинства вариантов будет равна нулю, и лишь вероятность одного варианта будет равна единице.

ПАРАДОКСЫ САМОРЕФЕРЕНЦИИ (САМООТНОСИМОСТИ)
  Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающих в высказываниях, которые содержат определение чего-либо, неявно ссылающееся на само себя.
Самореференция (самоотносимость)— явление, которое возникает в системах высказываний в тех случаях, когда некое понятие ссылается само на себя. Иначе говоря, если какое-либо выражение является одновременно самой функцией и аргументом этой функции.
Самореференция в математике и логике всегда означает нарушение предикативности и обычно вызывает логические парадоксы. Причина в том, что объект (субъект), указывающий сам на себя во множестве (системе, теории) и несущий оценку (действие) самому себе, благодаря самому себе, ведёт к логическому парадоксу. Все индуктивные логические выводы рано или поздно подтверждают собой ценность того множества (системы, теории), в котором они находятся, либо само множество подтверждает их ценность. Все индуктивные выводы, из оснований которых следует ценность (действие) систем, которые указывают сами на себя, благодаря самим себе — логические парадоксы.

ПАРАДОКС БРАДОБРЕЯ.
   Рассел упоминает следующий вариант парадокса, сформулированный в виде загадки, которую ему кто-то подсказал.
Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их.
Бреет ли брадобрей сам себя?
Любой ответ приводит к противоречию. Рассел замечает, что этот парадокс не эквивалентен его парадоксу и легко решается[6]. Действительно, точно так же, как парадокс Рассела показывает, что не существует расселовского множества, парадокс брадобрея показывает, что такого брадобрея просто не существует. Разница состоит в том, что в несуществовании такого брадобрея ничего удивительного нет: не для любого свойства найдётся брадобрей, который бреет людей, обладающих этим свойством. Однако то, что не существует множества элементов, заданных некоторым вполне определённым свойством, противоречит наивному представлению о множествах и требует объяснения
   Наиболее близким по формулировке к парадоксу Рассела является следующий вариант его изложения:
Библиографические каталоги — это книги, которые описывают другие книги. Некоторые каталоги могут описывать другие каталоги. Некоторые каталоги могут описывать даже сами себя. Можно ли составить каталог всех каталогов, которые не описывают сами себя?

ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА -  назван в честь открывшего его немецкого математика Курта Греллинга.
Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как «многосложное», «русское» и «трудновыговариваемое» принадлежат к числу самодескриптивных. А такие как «немецкое», «однокоренное» и «невидимое» — к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное «несамодескриптивное»?

ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА — НЕЛЬСОНА.
    Этот парадокс был сформулирован немецкими математиками Куртом Греллингом[de] и Леонардом Нельсоном в 1908 году. Он фактически является переводом первоначального варианта парадокса Рассела, изложенного им в терминах логики предикатов, на нематематический язык.
Будем называть прилагательное рефлексивным, если это прилагательное обладает свойством, определяемым этим прилагательным. Например, прилагательные «русское», «многосложное» - обладают свойствами, которые они определяют (прилагательное «русское» является русским, а прилагательное «многосложное» является многосложным), поэтому они являются рефлексивными, а прилагательные «немецкое», «односложное» — являются нерефлексивными.
Будет ли прилагательное «нерефлексивное» рефлексивным или нет?
Любой ответ приводит к противоречию. В отличие от ПАРАДОКСА БРАДОБРЕЯ, решение этого парадокса не такое простое. Нельзя просто сказать, что такого прилагательного («нерефлексивный») не существует, так как мы его только что определили. Парадокс возникает из-за того, что определение термина «нерефлексивный» некорректно само по себе. Определение этого термина зависит от значения прилагательного, к которому оно применяется. А так как слово «нерефлексивный» само является прилагательным в определении, возникает порочный круг.
ПАРАДОКС ГРЕЛЛИНГА-НЕЛЬСОНА (англ.): Является ли слово «гетерологичный», означающее «неприменимый к самому себе», гетерологичным словом? (Близко к Парадоксу Рассела).
   В парадоксе Рассела нет ошибки: он действительно доказывает противоречивость наивной теории множеств. Чтобы избавиться от противоречия, нужно исправить теорию множеств, так, чтобы она не допускала расселовское множество. Это можно сделать несколькими способами. Наиболее естественным путём является запрещение тем или иным способом множеств, которые могут содержать себя в качестве элемента. Таким образом будет запрещено и множество всех множеств (по крайней мере, совокупность всех множеств не будет сама являться множеством). Однако необходимо иметь в виду, что, с одной стороны, просто одного запрещения множеству иметь себя в качестве элемента недостаточно, чтобы избавиться от противоречия (как показала первая попытка Фреге исправить свою систему). С другой стороны, само по себе разрешение множествам включать себя в качестве элемента не приводит к противоречиям. Например, ничто не мешает создать каталог, который будет включать в себя все каталоги, в том числе описывать самого себя. Многие языки программирования позволяют контейнерам включать себя в качестве элемента. Существуют логические системы, свободные от ПАРАДОКСОВ ТИПА РАССЕЛОВСКИХ, которые позволяют множествам содержать себя (например, new foundations[en] У. В. О. КУАЙНА).

ПАРАДОКС ЭПИМЕНИДА: Критянин говорит: «Все критяне — лжецы»
Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием.
Суть парадокса — самореференция, то есть указание предложения на самого себя.
Подобные парадоксу лжеца утверждения часто использовались на протяжении истории философии: он был известен древним грекам и использовался как головоломка средневековыми логиками, а также стал основополагающим объектом исследования современной логики.

ПАРАДОКС ИСКЛЮЧЕНИЙ: «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?
Парадокс исключений — логический парадокс, который формулируется следующим образом: «Каждое правило имеет исключения».
Рассуждаем: если каждое правило имеет исключения, тогда должно существовать и исключение из правила, что каждое правило имеют исключения. Оно должно утверждать, как минимум, что не каждое правило имеет исключения, а как максимум — что исключений из правил нет. Парадоксальной форме больше соответствует второй вариант.
Эти рассуждения можно рассматривать как доказательство того, что предложение «Каждое правило имеет исключения» является ложью — классический пример такой хорошо известной техники доказательства, как reductio ad absurdum (сведение к противоречию).
Парадокс исключений только похож на парадокс лжеца, но сам парадоксом не является. В парадоксе лжеца рассуждения можно начинать с любого предположения (что утверждение «я лгу» является истинным или ложным) — в результате мы приходим к противоположному выводу и начинаем рассуждать уже исходя из него, снова приходя к противоположному выводу. В парадоксе исключений, чтобы прийти к противоположному выводу, начинать рассуждения нужно с предположения, что «Каждое правило имеет исключения». Предположение, что «Исключений из правил нет», никаких рассуждений не предполагает и ни к какому выводу не ведет. Это всего лишь предположение, истинность или ложность которого можно установить только опытным путем.
Другим подтверждением, что парадокс исключений не является настоящим парадоксом, является неоднозначность заключительного вывода из приведенных выше рассуждений.

ПАРАДОКС ПЛАНКТОНА
 Парадокс планктона (планктонный парадокс) — описание такой ситуации в водной экосистеме, при которой ограниченный круг ресурсов поддерживает неожиданно широкий спектр видов планктона, по-видимому, нарушая принцип конкурентного исключения.

ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ КОМБИНАТОР.
Y-комбинатор в лямбда-исчислении и комбинаторной логике был назван ПАРАДОКСАЛЬНЫМ КОМБИНАТОРОМ так как он связан с самоотносимостью.
Лямбда-исчисление — формальная система, разработанная американским математиком Алонзо Чёрчем для формализации и анализа понятия вычислимости.
Чистое лямбда-исчисление, термы которого, называемые также объектами («обами»), или лямбда-термами, построены исключительно из переменных применением аппликации и абстракции. Изначально наличие каких-либо констант не предполагается.
В языках программирования под «{lambda }-исчислением» зачастую понимается механизм «анонимных функций» - callback-функций, которые можно определить прямо в том месте, где они используются, и которые имеют доступ к локальным переменным текущей функции (замыкание. Замыкание — это особый вид функции. Она определена в теле другой функции и создаётся каждый раз во время её выполнения.).

ПАРАДОКС ПЕТРОНИЯ: «Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении»
Если вы должны ограничивать себя в ограничении, то значит, не должны ограничивать себя ни в чём. Но если вы не ограничиваете себя ни в чём, то значит, должны ограничивать себя во всех вещах.  Этот парадокс является разновидностью парадокса лжеца. Здесь также имеются два класса поведения – ограничение себя во всех вещах и неограничение себя ни в чём,  – а также особый объект – человек, ограничивающий себя в ограничении, – который принадлежит каждому классу лишь в той мере, в какой не принадлежит противоположному классу.

ПАРАДОКС КВИНА (англ. Quine's paradox): «возвращает ложь, когда ей предшествует его цитата» - возвращает ложь, когда ей предшествует его цитата.
Парадокс Куайна - это парадокс в отношении истинных ценностей, заявленный Уиллардом Ван Орманом Куайном .  Это связано с парадоксом лжеца, как с проблемой, и оно имеет целью показать, что предложение может быть парадоксальным, даже если оно не ссылается на себя и не использует демонстративные или индексные обозначения (то есть оно явно не ссылается на себя). Можно заметить, чтобы утверждать следующее: предложение подразумевает, что оно ложно, что парадоксально, поскольку, если оно ложно, то всё, что оно утверждает, на самом деле верно.

ПАРАДОКС ЭВАТЛА (софизм Эватла): Протагор взял ученика Эватла при условии, что тот ему заплатит, когда выиграет первое дело. Случилось так, что Протагор подал иск на Эватла за то, что тот ему долго не платит. Должен ли Эватл заплатить, если он выиграет это дело (хотя выигрыш означает, что Эватл ничего не должен Протагору)?

    ПАРАДОКС РАССЕЛА: Содержит ли множество всех таких множеств, которые не содержат себя, самого себя? Рассел популяризовал его в форме парадокса брадобрея: «Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?»
   
  ПАРАДОКС РИШАРА.
Парадокс Ришара - семантический парадокс -  с помощью некоторых фраз какого-либо языка могут быть охарактеризованы те или иные вещественные числа. Например, фраза «отношение длины окружности к длине её диаметра» характеризует число «пи», а фраза «две целых и три десятых» характеризует число 2,3. Все такие фразы этого языка можно пронумеровать определённым способом (например, если упорядочить фразы по алфавиту как в словаре, то каждая фраза получит тот номер, на каком месте она находится). Теперь оставим в этой нумерации фраз только те фразы, которые характеризуют одно вещественное число (а не два и более). Число, которое охарактеризовано при такой нумерации фразой номер n, назовем n-м числом Ришара.
Рассмотрим такую фразу: «Вещественное число, у которого n-й десятичный знак равен 1, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак не равен 1, и n-й десятичный знак равен 2, если у n-го числа Ришара n-й десятичный знак равен 1». Эта фраза определяет некоторое число Ришара, допустим, k-е; однако, согласно определению, оно отличается от k-го числа Ришара в k-м десятичном знаке. Таким образом, пришли к противоречию.
    Если сопоставить все свойства чисел с числами, то можно определить такое свойство, которому не будет соответствовать никакое число.
   Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, слушаясь Вас.

АНТИНОМИЯ РИШАРА (критерий осмысленности текста – соответствие (достаточность) полноты описания текста ранее известному понятию либо вновь создаваемому текстом понятию – достижение точки пространства расположения понятий в памяти человека с последующим сравнением их на логическую или иную (вероятностную) достоверность).
   
ПАРАДОКС ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, само понятие определения остается неизвестным.
ПАРАДОКСЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ. Корабль Тесея Если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?
Согласно греческому мифу, пересказанному Плутархом, корабль, на котором Тесей вернулся с Крита в Афины, хранился афинянами до эпохи Деметрия Фалерского и ежегодно отправлялся со священным посольством на Делос. При починке в нём постепенно заменяли доски, до тех пор, пока среди философов не возник спор, тот ли это ещё корабль или уже другой, новый? Кроме того, возникает вопрос: в случае постройки из старых досок второго корабля какой из них будет настоящим? Разгадка парадокса — в неопределенности понятия «тот же». В зависимости от того, как его задать, будут разные ответы. Можно лишь обсуждать, какие определения соответствуют тем или иным представлениям о тождестве.

ПАРАДОКС БЕРТРАНА - проблема классического определения теории вероятностей. Жозеф Бертран описал парадокс в своей работе Calcul des probabilit;s (1888) в качестве примера того, что вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины.   Различные определения случайной величины, основанные на «здравом смысле», дают различные результаты.
ПАРАДОКС БЕРТРАНА в экономической теории — ситуация, когда два олигополиста, конкурируя между собой и достигнув равновесия Нэша, оказываются с нулевой полной прибылью. Парадокс проявляется в модели Бертрана, описывающей конкуренцию в олигополии. Модель в простейшем варианте, в котором и проявляется парадокс, рассматривает очень упрощённый рынок и использует очень сильные допущения:

ПАРАДОКС ТРИСТРАМА ШЕНДИ — рассуждение, предложенное Расселом в книге «Мистицизм и логика» («Mysticism and Logic») в связи с понятием равномощности множеств, демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.  В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и ещё один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет её завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».
Действительно, события {n}-го дня Шенди мог бы описать за {n}-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатлённым. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.
Аналогия: Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:
1 2 3 4 5 …
1 4 9 16 25 …
2 4 8 16 32 …
1 2 6 24 120 …
Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.
Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.

ПАРАДОКС ПРЕДОПРЕДЕЛЕНИЯ (англ.): Человек попадает в прапрапрапра-прошлое, имеет связь со своей прапрапрапра-предком женского пола и создаёт своего прапрапра-предка мужского пола. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

ПАРАДОКС ЛЫСОГО — «Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»

ПАРАДОКС ИНТЕРЕСНЫХ ЧИСЕЛ. Наименьшее неинтересное натуральное число интересно само по себе этим фактом, но тогда оно не относится к неинтересным.
 Полуюмористический парадокс, который возникает из-за попыток классифицировать натуральные числа как «интересные» и «скучные». Согласно этому парадоксу, все натуральные числа являются интересными. Доказательство этого утверждения осуществляется методом «от противного»: если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то в этом множестве существует наименьшее число, но наименьшее неинтересное число уже само по себе интересно — что и создаёт противоречие.  Более строго сформулированное «доказательство» парадокса может выглядеть следующим образом.
Теорема. Неинтересных натуральных чисел нет.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна, то есть существует непустое множество натуральных чисел, которые неинтересны. В связи с тем, что множество натуральных чисел является вполне упорядоченным, должно быть некоторое самое маленькое число в ряде неинтересных чисел. Обладая такой уникальной особенностью, это число более не может быть названо неинтересным, следовательно, не может находиться в ряду неинтересных чисел.
Попытки разделить все числа на «интересные» и «неинтересные» ведут к парадоксу или антиномии определения. Любая попытка разделения натуральных чисел на два множества: «интересных» и «скучных» ведёт к провалу. Поскольку определение чего-либо как интересного является субъективным, здесь оно может быть рассмотрено как полушутливое применение самореференции, используемое с целью получения парадокса. Парадокс снимается, если понятие «интересно» определить объективно, например:
самое маленькое натуральное число, которое не имеет посвящённой ему страницы в Википедии;
наименьшее число, отсутствующее в интернет-энциклопедии целочисленных последовательностей;
наименьшее число, принадлежащее какой-либо последовательности или обладающее каким-либо свойством, 
и т. д.
Поскольку существует много значимых работ в области математики, которые используют самореференцию (например теорема Гёделя о неполноте), описываемый парадокс затрагивает серьёзные проблемы во многих областях исследований.
Эта версия парадокса распространяется только на вполне упорядоченные множества с естественным порядком, такие как натуральные числа; аргумент неприменим в отношении действительных чисел.
Одно из предложенных решений парадокса утверждает, что первое неинтересное число сделано интересным уже одним этим обстоятельством. К примеру, если бы 39 и 41 были двумя неинтересными числами, число 39 можно было бы считать интересным, тогда как 41 осталось бы неинтересным, ведь оно не первое неинтересное число. Однако это решение является неверным, ведь парадокс доказывается от противного: предположив, что какое-то число неинтересно, мы приходим к тому, что это же число именно этим и интересно, следовательно, неинтересное число не может существовать. Целью решений является, в частности, не выявление интересных или неинтересных чисел, но поднятие вопроса о том, могут ли числа обладать такими свойствами в принципе.
Слабое место доказательства — отсутствие ясности в том, что считать «интересностью» числа. Однако, если положить, что «предикат интересности» связан с определённым конечным списком «интересных свойств натуральных чисел», и этот список содержит в себе свойство «наименьшее число, не имеющее ни одного свойства из данного списка», то возникает парадокс. Похожим образом самореференция используется в близкородственном  ПАРАДОКСЕ БЕРРИ. Так как парадокс лежит в определении понятия «интересно», он применяется только к людям с определённым взглядом на числа; если для кого-то все числа представляются скукой смертной и он не находит интересным факт, что ноль является первым неинтересным числом (в мировоззрении данного конкретного человека), тогда парадокс не возникает.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ.

ЗАГАДКА МОНТИ ХОЛЛА : какую дверь вы выберете? ПАРАДОКС МОНТИ ХОЛЛА — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Эта задача не является парадоксом в узком смысле этого слова, так как не содержит в себе противоречия, она называется парадоксом потому, что её решение может показаться неожиданным. Более того, многим людям бывает сложно принять правильное решение даже после того, как его им рассказали.
Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).
Наиболее популярной является задача с дополнительным условием[5] — участнику игры заранее известны следующие правила:
автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
ведущий знает, где находится автомобиль;
ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

ПАРАДОКСЫ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВА В США:
Некоторые системы представительства могут иметь последствия, идущие против интуиции:
ПАРАДОКС АЛАБАМЫ. Парадокс Алабамы (англ. Alabama paradox) — первый обнаруженный парадокс пропорционального распределения (системы выборов). После переписи населения 1880 года главный клерк Бюро переписи населения США, вычисляя распределение мест в Конгрессе при изменении их количества от 275 до 350 обнаружил, что штат Алабама получает 8 мест из 299 и только 7 из 300. Вообще Алабамский парадокс относится к любому виду пропорционального распределения, где увеличение общего количества приводит к уменьшению одной из долей. Причина кроется в том, что увеличение общего числа на долю более населённых («больших») штатов приходится больший прирост, чем для менее населённых («маленьких»). Большие штаты A и B получили увеличение своего числа мест на большую величину, чем маленький штат C. Таким образом, у маленького штата после округления по методу Гамильтона пропадает голос.
Парадокс возникает из-за методов округления, а именно из-за применения метода Гамильтона.

ПАРАДОКС НОВЫХ ШТАТОВ.
Парадокс новых штатов (англ. New States Paradox) наблюдался в США, где при добавлении новых штатов некоторые прежние штаты получали больше представителей в конгрессе, хотя естественно было ожидать, что, поскольку число членов конгресса возрастает пропорционально населению нового штата, его добавление не повлияет на число представителей существующих штатов. Оклахома стала штатом в 1907 году. До её вступления, с 1900 года в палате представителей было 386 мест. Общее число избирателей составляло 74 562 608 человек, и каждый депутат представлял 193 167 человек.
В Оклахоме было около миллиона жителей, имевших право голоса. Ожидалось, что она просто получит 5 представителей, увеличив их общее число до 391, не повлияв на распределение представителей от других штатов. Однако, при использовании метода Гамильтона возникла парадоксальная ситуация. Применив его к 391 месту, получили 5 мест для Оклахомы, 4 для штата Мэн и 37 для штата Нью-Йорк. До вступления Оклахомы в союз, штат Нью-Йорк имел 38 мест, а штат Мэн всего 3. Таким образом, присоединение Оклахомы привело к переходу одного места в конгрессе от штата Нью-Йорк к штату Мэн.
Парадокс возникает из-за методов округления, а именно из-за применения метода Гамильтона.

 ПАРАДОКС ГОЛОСОВАНИЯ (ПАРАДОКС КОНДОРСЕ/Arrow’s paradox(англ.)): Нельзя совместить все требования к избирательной системе в одной системе.  Парадокс Кондорсе - парадокс теории общественного выбора, впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году.
Он заключается в том, что при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть цикличной (не транзитивна), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.
Обобщён теоремой «о невозможности» Эрроу в 1951 году.
На практике идея о необходимости ранжирования кандидатов реализована в голосовании по методу Шульце.

ПАРАДОКС ЛИФТА (англ.): Лифты чаще всего ходят в одном направлении — от середины здания вниз к подвалу и вверх к чердаку. Парадокс лифта — парадокс, впервые отмеченный Марвином Стерном и Георгием Гамовым, физиками, которые работали в офисах на разных этажах многоэтажного здания. Гамов, офис которого располагался в нижней части здания, заметил, что лифт, первым приезжающий на его этаж, чаще всего двигается вниз. В то время как Стерн, с офисом в верхней части здания, заметил, что первый лифт, который останавливается на его этаже, чаще всего идёт вверх.
На первый взгляд, это создавало впечатление, что кабины лифта создавались в середине здания и отправлялись вверх на крышу и вниз в подвал, где демонтировались. Очевидно, что это было не так. В настоящих зданиях присутствуют сложные факторы, такие как тенденция в работе лифтов, когда они часто требуются на нулевом или первом этаже, и возвращаются туда, когда простаивают. Эти факторы приводят к сдвигу частот наблюдаемых прибытий, но не устраняют парадокс полностью. В частности, пользователь ближе к верхнему этажу будет наблюдать парадокс ещё сильнее, так как лифты нечасто присутствуют или необходимы выше его этажа.
Есть и другие отличия реального здания. Например, однобокий спрос — когда все хотят спускаться вниз в конце рабочего дня, пропуск полными лифтами дополнительных остановок или влияние коротких поездок, когда лифт бездействует.
   
 ПАРАДОКС ОЖИДАНИЯ: Почему иногда приходится ждать автобус дольше, чем нужно. (пояснение смотрите в англ. статье Renewal theory). Инспекционный парадокс [ править ]
Любопытная особенность процессов обновления заключается в том, что если мы подождем некоторое заранее определенное время t, а затем увидим, насколько велик интервал обновления, содержащий t , мы должны ожидать, что он обычно больше интервала обновления среднего размера.  Математически парадокс проверки гласит: для любого t> 0 интервал обновления, содержащий t, стохастически больше, чем первый интервал обновления. То есть для всех x > 0 и для всех t > 0:

 ИГРА В НЕТРАНЗИТИВНЫЕ КОСТИ (англ.): существует набор из 3 костей А, В и С таких, что чаще всего на А выпадает бо;льшее число, чем на В; на В чаще выпадает бо;льшее число, чем на С; на С чаще выпадает бо;льшее число, чем на А.
Набор игральных костей нетранзитивен, если он состоит из трёх игральных костей A, B и C, для которых результат бросания кости A с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости B, результат бросания кости B с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости C, однако утверждение о том, что результат бросания кости A с вероятностью свыше 50 % больше результата бросания кости C, является ошибочным. То есть набор игральных костей нетранзитивен, если для него бинарное отношение «выпадения большего числа с вероятностью более 50 %» не является транзитивным.
Существуют наборы игральных костей с более выраженным свойством, в которых для каждой кости есть другая, при бросании которой с вероятностью более 50 % будет получено большее число. При использовании транзитивных костей преимущество в игре имеет первый игрок, который может выбрать кость, результат броска которой с вероятностью минимум 50 % будет больше результата броска любой другой кости из набора. В случае же использования набора нетранзитивных костей, приведенного выше, преимущество получает второй игрок, который, независимо от выбора первого игрока, может выбрать из оставшихся костей такую, бросание которой с вероятностью 5/9 превысит результат первого игрока.

    ПАРАДОКС ЛИНДЛИ (англ.): маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам. Парадокс Линдли — это контринтуитивная ситуация в статистике, при которой байесовский и частотный подходы к задаче проверки гипотез дают различные результаты при определённых выборах априорного распределения. Проблема разногласия между двумя подходами обсуждалась в книге Гарольда Джеффриса 1939 года. Проблема стала известна как парадокс Линдли после того, как Деннис Линдли высказал несогласие с парадоксом в статье 1957.
Хотя ситуация описывается как парадокс, различие байесовского и частотного подходов можно объяснить как использования их для ответа на фундаментально различные вопросы, а не действительного разногласия между двумя методами.
Как бы то ни было, для большого класса априорные разности между частотным и байесовским подходами вызваны сохранением уровня значимости. Как Линдли понял: «теория не может обосновать практику сохранения уровня значимости» и даже «некоторые вычисления, сделанные профессором Пирсоном в обсуждении этой статьи подчёркивают, насколько уровень значимости может меняться с изменением размера выборки, если потери и априорные вероятности остаются неизменными»[2]. Фактически, если критичное значение растёт с ростом размера выборки достаточно быстро, рассогласование между частотным и байесовским подходами становится ничтожным[3][4].
   
ПАРАДОКС ПРОПАВШЕГО ДОЛЛАРА (англ.): Неправильная логика приводит к тому, что один доллар «пропадает».
Отсутствующий доллар загадка известная загадка , которая включает в себя неформальную ошибочность . Это относится, по крайней мере, к 1930-м годам, хотя подобные головоломки гораздо старше.
Хотя формулировка и особенности могут измениться, головоломка проходит по следующим направлениям:
Трое гостей заселяются в гостиничный номер. Менеджер говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже менеджер понимает, что счет должен был составить всего 25 долларов. Чтобы исправить это, он дает посыльному 5 долларов в виде пяти однодолларовых банкнот для возвращения гостям.
По пути в комнату гостей, чтобы вернуть деньги, посыльный понимает, что он не может поровну разделить пять однодолларовых банкнот между тремя гостями. Поскольку гости не знают об общей сумме пересмотренного счета, посыльный решает просто вернуть каждому гостю 1 доллар и оставить себе 2 доллара в качестве чаевых для себя, и приступает к этому.
Поскольку каждый гость получал 1 доллар обратно, каждый гость платил только 9 долларов, в результате чего общая сумма уплачивалась до 27 долларов. Посыльный сохранил 2 доллара, которые, если прибавить к 27 долларам, доходят до 29 долларов. Так что, если гости первоначально передали 30 долларов, что случилось с оставшимися 1 долларом?
Кажется, есть расхождение, поскольку не может быть двух ответов (29 и 30 долларов) на математическую задачу. С одной стороны, это правда, что 25 долларов в регистре, 3 доллара возвращаются гостям, а 2 доллара, хранящиеся у посыльного, составляют до 30 долларов, но с другой стороны, 27 долларов, выплачиваемых гостями, и 2 доллара, оставленные посыльный составляет всего 29 долларов.
Решение: Неверное направление в этой загадке находится во второй половине описания, где несвязанные суммы складываются вместе, и слушатель предполагает, что эти суммы должны составлять до 30, а затем удивляется, когда их нет ; - на самом деле, нет причины, по которой сумма (10 ; 1)  ; 3  + 2 = ;29 должна составлять до 30.

ПАРАДОКС КОРРЕЛЯЦИИ: Вполне возможно сделать ложные заключения из корреляции. К примеру, города с бОльшим количеством церквей имеют больше преступлений, потому что оба фактора следуют из бОльшего населения. Это называется ложной корреляцией.
Корреляция (от лат. correlatio «соотношение, взаимосвязь»), или корреляционная зависимость — статистическая взаимосвязь двух или более случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

ФЕНОМЕН УИЛЛА РОДЖЕРСА: математическое понятие среднего, определённое как среднее арифметическое, или как медиана — неважно, приводит к ПАРАДОКСАЛЬНОМУ РЕЗУЛЬТАТУ — например, возможно переместить статью из Википедии в Викицитатник так, чтобы средняя длина статьи увеличилась на обоих сайтах! Феномен Уилла Роджерса — кажущийся парадокс, заключающийся в том, что перемещение (численного) элемента из одного множества в другое может увеличить среднее значение обоих множеств.
Название основывается на цитате, приписываемой американскому комику Уиллу Роджерсу: «Когда оки покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, то повысили средний интеллект обоих штатов».

ПАРАДОКС РАЙТА (англ.): Ребёнок стареет быстрее, чем старик, так как удвоение возраста — более частое явление в начале процесса, чем в конце.

ПАРАДОКС МАЛЯРА: Бесконечную по площади пластинку можно окрасить конечным количеством краски. Утверждение «для того, чтобы покрасить фигуру бесконечной площади, необходимо бесконечное количество краски» исходит из того, что фигура покрывается слоем краски одинаковой толщины.
Предлагаемый же способ окраски предполагает, что каждый следующий сегмент будет покрыт всё более тонким слоем, так что бесконечная сумма объёмов краски, ушедших на каждый сегмент площадью в 3,14  кв. см, будет сходиться к конечному значению.
При этом нужно иметь в виду, что предложенное математическое решение не учитывает тот физический факт, что слой краски не может иметь толщину меньше размера одной молекулы краски. Так как построенный описанным способом сосуд будет книзу сужаться до бесконечно малых диаметров, то при «заливке» краски в такой сосуд эта краска просто не «затечёт» в те его области, диаметр которых меньше диаметра молекулы краски. И тем не менее, с точки зрения математической модели, не учитывающей физические аспекты устройства нашего мира, описанное решение является верным, несмотря на парадоксальность.
Возможно, может показаться абсурдным, что сосуд бесконечной длины может иметь конечный объём (в данном случае 2*3,14), да при этом ещё и вмещать в себя пластинку, площадь которой бесконечна. Но дело в том, что длина, площадь и объём — это разные величины. В математических моделях вполне возможны фигуры, имеющие бесконечную площадь при конечном объёме (или бесконечную длину при конечной площади).

ПАРАДОКС ПАРРОНДО. Возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры. Более точная с точки зрения математики версия парадокса звучит следующим образом:
В двух играх с зависимыми исходами, в каждой из которых вероятность проигрыша больше вероятности выигрыша, можно построить выигрышную стратегию, манипулируя очерёдностью между ними.
   Парадокс заключается в следующем: играя в две специально подобранные игры А и Б, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно. То есть, играя в одну игру, в которой на 5 проигрышей выпадает 4 выигрыша, игрок неизбежно проиграет по итогам большого количества розыгрышей. Затем, играя в другую, в которой на 10 проигрышей выпадает 9 выигрышей, игрок также проиграет. Но если чередовать эти игры, например АББАББ и т. п., то общая вероятность выигрыша может оказаться больше вероятности проигрыша.
Условием возникновения парадокса Паррондо является связь между результатами игр А и Б (игры с «капиталом» игрока), либо общий предмет в правилах игры. Играя в одну из этих игр в долгосрочной перспективе, игрок в среднем будет проигрывать, играя же в эти игры поочерёдно (или каждый раз выбирая случайным образом одну из двух игр), игрок получает возможность выбраться из неблагополучной для него конфигурации.
Применение парадокса. Парадокс Паррондо в настоящее время широко используется в теории игр. Также в настоящее время рассматривается возможность его применения в технике, динамике популяций, оценке финансовых рисков и т. д. Однако этот парадокс приносит мало пользы в большинстве практических ситуаций, например, в инвестировании в фондовый рынок, так как парадокс требует, чтобы выигрыш по меньшей мере в одном из вариантов игры зависел от капитала игрока. А это представляется невозможным.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПАРАДОКСЫ.
ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  (PROBABILITY PARADOXES)
   Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами — истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. Прекрасный пример этому — ПАРАДОКС С ДНЯМИ РОЖДЕНИЯ. Выберем наугад 24 человека. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что двое или большее число из них родились в один и тот же день одного и того же месяца (но, быть может, в разные годы)? Интуитивно чувствуется, что вероятность такого события должна быть очень мала. На самом же деле она оказывается равной 27/50, то есть чуть выше 50%!
   Вероятность того, что дни рождения любых двух людей не совпадают, очевидно, равна 364/365 (поскольку лишь в одном случае из 365 возможных дни рождения совпадают). Вероятность несовпадения дня рождения третьего человека с днем рождения любых двух других членов отобранной группы составляет 363/365. Для четвертого человека вероятность того, что его день рождения отличается от дней рождения любых трех людей, равна 362/365 и т. д. Дойдя до двадцать четвертого участника эксперимента, мы увидим, что вероятность несовпадения его дня рождения с днями рождения остальных двадцати трех участников равна 342/365. Таким образом, мы получаем набор из 23 дробей. Перемножив их, мы найдем вероятность того, что все 24 дня рождения различны. Сократив числитель и знаменатель произведения двадцати четырех дробей, мы получим дробь 23/50. Иначе говоря, заключая пари на то, что среди 24 по крайней мере двое родились в один и тот же день, вы будете выигрывать в 27 и проигрывать в 23 случаях из 50. (Проведенный нами подсчет вероятности не совсем точен, он не учитывает того, что год может быть високосным — то есть в феврале может быть 29 дней — и что дни рождения чаще приходятся на одни месяцы и реже на другие. Первое обстоятельство уменьшает вероятность интересующего нас события, второе — увеличивает.)
   Приведенные цифры настолько неожиданны, что экспериментальная проверка их в классе или среди сослуживцев может явиться отличным развлечением. Если присутствует более 23 человек, попросите каждого написать на листке бумаги его день рождения. Соберите и сложите листки. Скорее всего по крайней мере две даты совпадут, что обычно вызывает невероятное удивление даже у людей, знакомых друг с другом в течение многих лет. Результат не изменится, если кто-нибудь схитрит, написав неправильную дату. Вероятность совпадения остается и в этом случае.
   Ещё проще проверить парадокс, выбирая случайным образом даты рождения 24-х людей из книги «Кто есть кто» или какого-нибудь другого биографического справочника. Естественно, что чем большее число имен превышает 24, тем больше вероятность совпадения. На рис. 21 изображена кривая, показывающая рост вероятности с увеличением числа людей. График обрывается, когда число людей достигает 60, потому что дальше вероятность уже слишком близка к достоверности (то есть к значению 1) и кривую практически невозможно отличить от прямой. В действительности даже для 23-х людей вероятность совпадения по крайней мере одного дня рождения превышаети равна 0,507... Обратите внимание, как круто поднимается кривая примерно до числа 40 и как она выходит на плато по мере приближения к достоверности. Взяв 100 человек, вы сможете заключить пари, выигрывая в 3 299 000 случаях из 3 300 000. Конечно, абсолютная достоверность достигается лишь тогда, когда взято 366 человек.
    Прекрасной иллюстрацией парадокса могут служить даты рождения и смерти 33 президентов Соединенных Штатов. В каждом случае вероятность совпадения (33 даты рождения, 30 дат смерти) близка к 75%. И действительно, Полк и Хардинг родились 2 ноября, а три президента — Джефферсон, Адаме и Монро — умерли 4 июля.
    Может быть, еще более удивителен ПАРАДОКС СО ВТОРЫМ ТУЗОМ. Представьте себе, что вы играете в бридж. Сдав колоду и посмотрев на свои карты, вы говорите: «У меня туз». Можно точно вычислить вероятность того, что у вас на руках окажется и второй туз. Можно доказать, что она равна 5359/14498, то есть меньше 1/2. Допустим теперь, что мы выбрали, например, туза пик. Будем продолжать игру до тех пор, пока, взяв карты, вы не сможете сказать: «Туз пик у меня». Вероятность того, что у вас найдется еще один туз, составляет теперь 11686/20825, то есть немногим больше 1/2! Почему изменяется вероятность, если вы заранее называете масть выбранного туза?
    В обоих только что рассмотренных примерах — дело долгое и скучное, но разобраться, отчего возникает парадокс, нетрудно, если оставить в колоде всего лишь четыре карты: туза пик, туза червей, двойку треф и валета бубен. Если в игре участвуют двое, то при сдаче карт на руках у любого из игроков оказывается одна из шести возможных комбинаций (рис. 22). В пяти случаях игрок имеет право заявить, что у него туз, но только в одном случае у него будет еще и второй туз. Следовательно, вероятность появления второго туза равна 1/5. С другой стороны, в трех случаях игрок с полным основанием может утверждать, что у него есть туз пик. В одном из этих трех случаев у него на руках оказывается еще и второй туз, поэтому при такой постановке задачи вероятность появления второго туза становится равной 1/3.
   Очень похож на парадокс со вторым тузом ПАРАДОКС СО ВТОРЫМ РЕБЕНКОМ. Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик? Первое, что приходит в голову, — это сказать, что вероятность равна 1/2, но, перебрав три равновероятных возможности — ММ, МД, ДМ, — мы видим, что ММ — только одна из них, следовательно, искомая вероятность равна 1/3 [Если дети не близнецы!]. Ситуация резко изменилась бы, если бы Смит сказал, что мальчиком является старший (или тот, кто повыше ростом, или тот, чей вес больше) из его детей. В этом случае допустимые комбинации исчерпываются двумя — ММ и МД — и вероятность того, что другой ребенок мистера Смита мальчик, возрастает до 1/2. Не будь этого обстоятельства, мы могли бы очень просто угадывать, какой стороной упала и скрытая от нас монета, причем с вероятностью, превосходящей вероятность отгадывания вслепую. Для этого нам нужно было бы бросить свою монету и, если бы она упала вниз решкой, рассуждать так: бросали две монеты, одна из них (наша) выпала вверх орлом, поэтому вероятность того, что другая монета также выпала вверх орлом, равна всего лишь 1/3, и мы смело можем утверждать, что другая монета выпала вверх решкой. Ошибка этого рассуждения заключается, конечно, в том, что нам точно известно, какая именно монета упала орлом вверх. Ситуация здесь аналогична ситуации в предыдущей задаче, когда мистер Смит сообщает, кто из детей мальчик, поэтому и вероятность правильного ответа в обеих задачах меняется одинаково.
   Самым знаменитым среди парадоксов теории вероятностей следует считать ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС (САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПАРАДОКС), впервые изложенный в «Мемуаре», который знаменитый математик Даниил Бернулли представил Санкт-Петербургской Академии. Предположим, что я бросаю монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки я бросаю монету второй раз и плачу вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, я бросаю монету в третий раз и плачу вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом я удваиваю выплачиваемую сумму. Бросать монету я продолжаю до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите мне расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить мне, чтобы я согласился играть с вами в эту «одностороннюю игру», а вы не остались в убытке?
   В ответ трудно поверить: сколько бы вы мне ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна 1/2, вероятность выиграть два доллара равна 1/4, четыре доллара — 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8) ... Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать мне перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что мой капитал неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь орлов. Если же мой капитал, как это имеет место в действительности, ограничен, то и разумная плата за право сыграть партию также должна иметь верхний предел. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками. Подробный анализ этого парадокса приводит ко всякого рода тонким вопросам обоснования теории вероятностей.
     Карл Хемпель, глава школы «логических позитивистов», профессор философии Принстонского университета, открыл еще один удивительный парадокс. Со времени первой публикации (в 1937 году) и поныне «ПАРАДОКС ХЕМПЕЛЯ» неизменно служит предметом высокоученых споров между специалистами по философии науки, ибо он затрагивает самую сущность научного метода. Предположим, пишет Хемпель, что ученый хочет исследовать гипотезу «все вороны черные». Его исследование состоит в изучении как можно большего числа ворон. Чем больше он найдет черных ворон, тем более вероятной становится его гипотеза. Таким образом, каждая черная ворона может рассматриваться как пример, подтверждающий гипотезу. Большинство ученых считает, что они отчетливо представляют себе, что такое подтверждающий пример. Парадокс Хемпеля мгновенно рассеивает их иллюзии, так как с помощью железной логики мы можем легко доказать, что красная корова тоже является подтверждающим примером гипотезы «все вороны черные»! Вот как это делается.
Утверждение «все вороны черные» можно преобразовать в логически эквивалентное ему утверждение «все нечерные предметы — не вороны» способом, который в логике принято называть «прямым доказательством через обращение». Второе утверждение по смыслу тождественно первому; оно просто иначе сформулировано. Очевидно, что существование любого объекта, подтверждающего второе утверждение, должно также подтверждать и первое.
    Предположим, ученый ищет нечерные предметы для подтверждения гипотезы о том, что все такие предметы не являются воронами. Он сталкивается с каким-то красным предметом. Более близкое знакомство показывает, что это не ворона, а корова. Красная корова, безусловно, является подтверждающим примером положения «все нечерные предметы — не вороны» и поэтому увеличивает вероятность того, что логически эквивалентная гипотеза «все вороны черные» справедлива. Подобная аргументация, безусловно, применима и к белому слону, и к красной селедке, и к зеленому галстуку самого ученого. Как выразился недавно один философ, орнитолог, изучающий цвет ворон, мог бы продолжить свои исследования и в дождливый день, даже не замочив при этом ног. Для этого ему достаточно оглядеться в собственной комнате и отметить примеры всех нечерных предметов, не являющихся воронами!
Как и в предыдущих примерах парадоксов, трудность здесь, по всей видимости, кроется не в ошибочном рассуждении, а в том, что Хемпель называет «заблуждением интуиции».
    Все сказанное приобретает еще больший смысл, если рассмотреть пример попроще. В фирме работает много машинисток, у некоторых из них рыжие волосы Мы хотим проверить гипотезу о том, что все рыжие машинистки замужем. Проще всего подойти к каждой рыжей машинистке и спросить, есть ли у нее муж. Но есть и другой способ, может быть, даже более эффективный. Мы берем в отделе кадров список всех незамужних машинисток, затем подходим к девушкам из этого списка, чтобы увидеть, какого цвета у них волосы. Если ни одна из обследуемых не будет рыжей, то гипотеза полностью подтверждена. Никто не станет возражать против того, что каждая незамужняя машинистка, цвет волос которой отличается от рыжего, будет подтверждающим примером теории о том, что все служащие в данной фирме рыжие машинистки замужем.
     Согласившись с предложенной выше программой обследования нечерных предметов, не являющихся в то же время воронами, или цвета волос машинисток, мы столкнемся с небольшим затруднением: малым числом обследуемых объектов. Если же мы попытаемся установить, все ли вороны черные, то обнаружится огромная диспропорция между числом всех ворон на земле и числом нечерных предметов. Каждый согласится, что проверка всех нечерных предметов представляет собой весьма неэффективный способ исследования. Наш вопрос несколько тоньше: есть ли рациональное зерно в утверждении о том, что обнаружение красной коровы в том или ином смысле может служить примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу? Становится ли наша первоначальная гипотеза хоть немного более правдоподобной при обнаружении подтверждающего примера, по крайней мере если речь идет о конечных множествах (рассмотрение бесконечных множеств завело бы нас слишком далеко)? Одни логики считают, что подтверждающий пример увеличивает правдоподобие гипотезы, другие в этом сомневаются. Они замечают, например, что красную корову точно с таким же основанием можно считать подтверждающим примером гипотезы «все вороны белые». Каким образом обнаружение отдельного объекта может изменить правдоподобие одной из двух взаимоисключающих гипотез?
    Некоторые пытаются отделаться от парадокса Хемпеля смущенной улыбкой и недоуменным пожиманием плечами. Не следует забывать, однако, что многие логические парадоксы, которые долгое время считались пустыми забавами, безделушками, сыграли чрезвычайно важную роль в развитии современной логики. Точно так же анализ парадокса Хемпеля уже позволил глубоко проникнуть в существо некоторых сложных проблем индуктивной логики, основного средства получения всех научных результатов.

   ПАРАДОКС БЕРКСОНА: два независимых события становятся условно зависимыми при условии, что хотя бы одно из них произошло. Парадокс Берксона или ошибка Берксона — положение математической статистики, сформулированное Дж. Берксоном. Формулировка: два независимых события могут становиться условно зависимыми, если произошло некоторое событие. Этот вывод является контр-интуитивным для некоторых людей, и таким образом может быть описан как парадокс. Парадокс Берксона часто описывается в области медицинской статистики или биостатистики. Он является усложняющим фактором, появляющимся в статистических проверках соотношений.
Этот же парадокс упоминается в теории искусственных нейронных сетей как попутное объяснение, эффект оправдания или редукция причины (англ. explaining away).
  Описанный результат математически полностью корректен, его «парадоксальность» связана с особенностями восприятия людей, которые склонны интуитивно полагать, что если два параметра независимы, то они остаются таковыми в любой выборке. В действительности же в случае предвзятости отбора выборки между независимыми параметрами могут возникать условные зависимости, приводящие, при распространении их на всю генеральную совокупность, к грубым ошибкам анализа.

    ПАРАДОКС БОРЕЛЯ (англ.): Плотность условной вероятности не инвариантна при преобразованиях координат.

   ПОЛ ВТОРОГО РЕБЁНКА (ПАРАДОКС) (англ.): Если один из двух детей в семье — мальчик, какова вероятность того, что второй ребёнок — девочка?  Парадокс заключается в том, что при различном подходе к анализу искомая вероятность различна. ... Однако этот ответ очевиден лишь в том случае, когда из каждого из вопросов следует, что есть два равновероятных исхода для пола второго ребёнка (мальчик или девочка) и что вероятности этих исходов безусловны.
Впервые задача была сформулирована в 1959 году, когда Мартин Гарднер опубликовал один из самых ранних вариантов этого парадокса в журнале Scientific American под названием «The Two Children Problem», где привёл следующую формулировку: 
У мистера Джонса двое детей. Старший ребёнок — девочка. Какова вероятность того, что оба ребёнка — девочки?   У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?
Сам Гарднер изначально давал ответ 1/2 и 1/3 соответственно, но впоследствии понял, что ситуация во втором случае неоднозначна. Ответом на второй вопрос может быть и 1/2 в зависимости от того, как было выяснено, что один из детей — мальчик. Неоднозначность в зависимости от конкретного условия задачи и сделанных допущений была подтверждена позднее в 1982 году  и в мае 2004 года. Другие варианты этого парадокса с разной степенью неопределённости в недавнем времени приобрели популярность. Психологическое восприятие данного парадокса также представляется интересным. Научное исследование, проведённое в 2004 году, показало, что при идентичной исходно заданной информации, но различных вариациях в формулировке задачи, подталкивающей к выбору определённой точки зрения, доля студентов программ MBA, дававших ответ 1/2 на второй вопрос колеблется от 85;% до 39;%. Парадокс зачастую вызывает множество противоречий. Много людей являются ярыми сторонниками каждого из вариантов ответа, при этом они отрицают и иногда презирают противоположную точку зрения. Парадокс заключается в том, что при различном подходе к анализу искомая вероятность различна. Наиболее очевидный ответ на оба вопроса — 1/2. Однако этот ответ очевиден лишь в том случае, когда из каждого из вопросов следует, что есть два равновероятных исхода для пола второго ребёнка (мальчик или девочка) и что вероятности этих исходов безусловны.

ПАРАДОКС СИМПСОНА: Основные интересы подобщества могут оказаться совсем не основными во всём обществе. Поэтому если два ряда данных соответствуют одной определённой гипотезе, будучи объединёнными, они могут соответствовать противоположной гипотезе.
Парадокс Симпсона (также Парадокс Юла — Симпсона или парадокс объединения) — эффект, явление в статистике, когда при наличии двух групп данных, в каждой из которых наблюдается одинаково направленная зависимость, при объединении этих групп направление зависимости меняется на противоположное.
Это явление было описано Эдвардом Симпсоном (англ.) в 1951 году и Удни Юлом в 1903 году. Название «парадокс Симпсона» впервые предложил Колин Блайт в 1972 году. Однако, так как Симпсон не был первооткрывателем этого эффекта, некоторые авторы используют безличные названия, например, «парадокс объединения».
Первый раз рассматриваемая ситуация отмечена Карлом Пирсоном в статье «Математический вклад в теорию эволюции»[1]. Он рассматривает зависимость признаков разнородных групп лошадей. У. Юл делает более подробный анализ подобных популяционных изменений, изучая механизмы наследственности. Симпсон рассматривает то, что он называет «любопытным случаем» в нескольких разделах статьи «The Interpretation of Interaction in Contingency Tables»[2]. Симпсон был первым автором, изучавшим это явление с точки зрения статистики. Поэтому впоследствии математик К. Р. Блайт в статье «On Simpson’s Paradox and the Sure-Thing Principle»[3] вводит термин «парадокс Симпсона».
Причина парадокса заключается в некорректном усреднении двух групп данных с различной долей контрольных наблюдений (нерепрезентативная выборка). Поскольку интуитивно предполагается, что при применении найденных зависимостей доля контрольных будет одинаковой в обеих группах, а в исходных данных это не выполняется, то к ним нельзя применять арифметическое усреднение.
Для устранения проблемы, при усреднении необходимо использовать веса, устраняющие перекос доли контрольных. 
Парадокс Симпсона иллюстрирует неправомерность обобщений по нерепрезентативным выборкам, иногда опасных для жизни. Так, например, в ходе эксперимента в группе мужчин и группе женщин, больных одной и той же болезнью, к стандартному лечению прибавили новый лекарственный препарат. Результат по обеим группам в отдельности подтверждал эффективность нового средства.
Интуитивно предполагается, что если в обеих группах прослеживается зависимость, она должна проявиться и при объединении этих групп. Но хотя соотношение выздоровевших и больных среди и женщин, и мужчин, принимавших лекарство, больше, чем среди тех из них, кто его не использовал, в связи с нерепрезентативностью контрольной группы в агрегированных данных эта закономерность не сохраняется.
Соотношение взвешенного количества выздоровевших к не выздоровевшим среди не принимавших лекарство в этом случае составит 0,685, то есть ниже, чем у принимавших лекарство. Это устраняет парадокс и показывает отношение выздоровевших к не выздоровевшим без приема лекарства для такой же пропорции мужчин и женщин, как у принимавших лекарство, что позволяет сравнивать эти цифры.

  ПАРАДОКС (ЗАДАЧА) СПЯЩЕЙ КРАСАВИЦЫ: Вероятностная задача, которая может иметь в качестве ответа 1/2 или 1/3 в зависимости от того, с какой стороны рассматривать вопрос. парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.
Формулировка: Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?
А 2/3 в таком случае это действительная доля пробуждений с решкой с учётом того, что каждая решка даёт два пробуждения, а каждый орёл — одно.
Подобные взвешенные проценты часто встречаются и в жизни. Например: в странах СНГ более 40 % проездов в муниципальном транспорте совершается пенсионерами[3]. Действительно ли 40 % населения на пенсии? Конечно же, нет. Из-за бесплатного проезда, большого количества свободного времени и слабого здоровья пенсионеры — намного более активные пассажиры, чем все остальные. Количество пенсионеров среди пассажиров оценивается в 20 % или даже меньше[4].
Другими словами, если регистрировать каждый проезд, удаляя все предыдущие проезды пассажира, если таковые есть (как стирают память Спящей красавице), то получается, что 20 % ездящих — пенсионеры. Если ничего не удалять — 40 %. Какое из этих двух чисел правильное — зависит от приложения. Специалистам по рекламе нужно число 20 %: «какая часть из увидевших объявление — пенсионеры»[4]. Транспортникам важнее 40 % — «какая часть пассажиропотока ездит бесплатно».
Спящая красавица 2
Спящая красавица уже много месяцев живёт в лаборатории (память ей не стирают). Рядом с её кроватью стоит прозрачный ящик, в котором она видит монету, но не может трогать. Через некоторое время она замечает, что решка всегда следует парами: если сегодня выпала решка, то завтра будет решка, а послезавтра — орёл или решка с вероятностью 1/2.
Однажды экспериментатор приходит со стирающим кратковременную память уколом (долговременные наблюдения остались). Считаем, что день выбирается наугад независимо от результатов выпадения монеты. Красавица просыпается — какова вероятность решки?[2]
Ответ 1: 5/8. Вероятностное пространство таково:
орёл, решка — 1/4;
орёл, орёл — 1/4;
решка, память стёрта в первый день — 1/4;
решка, память стёрта во второй день, орёл — 1/8;
решка, память стёрта во второй день, решка — 1/8.
Ответ 2: 2/3 (так как 2/3 дней Красавица просыпалась с решкой, и 1/3 — с орлом).
Здесь нет никакой неоднозначности, правильный ответ 2. Вероятность стирания памяти под решкой всё те же 2/3 (а не 1/2, как полагает 1-й ответ), и вероятностное пространство будет соответственно 1/6, 1/6, 1/3, 1/6, 1/6. Нас устраивают 1-й, 3-й и 5-й исходы, что и даёт 2/3.

ПАРАДОКС РАССЕЯННОГО ВОДИТЕЛЯ
Рассеянный профессор, засидевшись на кафедре до поздней ночи, садится в машину и возвращается домой. Правильный путь — свернуть направо на втором перекрёстке (штраф 0). Если он свернёт на первом перекрёстке, он попадёт в криминальный район — штраф 4. Если пропустит второй перекрёсток, через 20 километров будет мотель, в котором можно переночевать — штраф 3. Проблема в том, что из-за рассеянности и усталости профессор не помнит, проехал он первый перекрёсток или нет, а в свете фар перекрёстки неразличимы.
Стратегия «как только увидишь перекрёсток, поворачивать направо», конечно же, была отброшена — получается штраф 4. Куда полезнее стратегия «пропустить оба перекрёстка», со штрафом 3.
Итак, профессор решил воспользоваться второй стратегией. Подъезжает к перекрёстку, и у него возникает мысль: «Вероятность 1/2, что я на первом перекрёстке, и 1/2 — что на втором. Тогда средний штраф первой стратегии 1/2;;;4 + 1/2;;;0 = 2 — лучше, чем ехать в мотель». Парадокс?
Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом».

   ЗАДАЧА ТРЁХ КАРТОЧЕК (англ.): Истинная вероятность того, что обратная сторона случайно выбранной карты окажется того же цвета, что и верхняя, противоречит интуитивной оценке такой вероятности некоторыми людьми.
ПАРАДОКС КОРОБОК БЕРТРАНА (задача карточек Бертрана) — парадокс теории вероятности, впервые описанный Жозефом Бертраном в его работе «Вычисление вероятностей» в 1889 году. Есть три коробки:
первая содержит две золотых монеты, вторая содержит две серебряные монеты, третья содержит одну золотую и одну серебряную монету.
Парадокс заключается в следующем: после выбора случайной коробки и случайной монеты из нее, выбранная монета оказалась золотой. Какова вероятность того, что вторая монета в выбранной коробке также золотая?
Может показаться, что такая вероятность равна 1/2, но на самом деле ответ — 2/3. Дело в том, что если выбрана золотая монета, то вероятность того, что она в коробке номер 1 — 2/3, так как в ней 2 золотых монеты, а всего золотых — три.
Эту задачу используют в качестве примера для обучения теории вероятности. Также она иллюстрирует такие базовые принципы, как, например, аксиомы Колмогорова.

ПАРАДОКС ПАРИ (англ.). В некоторых ситуациях выгодно спорить обоим противникам, ибо оба имеют большие шансы на победу, чем на проигрыш.  Галстука парадокс является загадкой или парадокс в субъективистской интерпретации по теории вероятностей , в которой два человека вейджер над которой галстуком является дешевым, с владельцем более дорогой галстук , давая его к другому человеку. Оба мужчины считают, что в такой ставке они могут выиграть больше, чем проиграли бы. Парадокс галстука - это вариация (и исторически происхождение) парадокса с двумя конвертами .
Двое мужчин получают в подарок от своих жен галстук в качестве рождественского подарка. За напитками они начинают спорить, у кого дешевле галстук. Они согласны сделать ставку на это. Они проконсультируются со своими женами и узнают цены на галстуки. Условия ставки таковы, что человек с более дорогим галстуком должен отдать его другому в качестве приза.
Первый человек объясняет это следующим образом: выигрыш и проигрыш одинаково вероятны. Если я проиграю, то потеряю ценность своего галстука. Но если я выиграю, то выиграю больше, чем ценность моего галстука. Таким образом, ставка в мою пользу. Второй человек может рассматривать пари точно так же; таким образом, как это ни парадоксально, кажется, что оба мужчины имеют преимущество в ставке. Это, очевидно, невозможно.
Двое мужчин получают в подарок от своих жен галстук в качестве рождественского подарка. За напитками они начинают спорить, у кого дешевле галстук. Они согласны сделать ставку на это. Они проконсультируются со своими женами и узнают цены на галстуки. Условия ставки таковы, что человек с более дорогим галстуком должен отдать его другому в качестве приза.
Первый человек объясняет это следующим образом: выигрыш и проигрыш одинаково вероятны. Если я проиграю, то потеряю ценность своего галстука. Но если я выиграю, то выиграю больше, чем ценность моего галстука. Таким образом, ставка в мою пользу. Второй человек может рассматривать пари точно так же; таким образом, как это ни парадоксально, кажется, что оба мужчины имеют преимущество в ставке. Это, очевидно, невозможно.
Первый мужчина имеет 50% -ный шанс на нейтральный исход, 25% -ый шанс получить галстук стоимостью 40 $ и 25% -ый шанс потерять галстук стоимостью 40 $. Обращаясь к сценариям проигрышей и выигрышей: если мужчина теряет 40 долларов, то верно, что он потерял ценность своего галстука; и если он получит 40 долларов, то это правда, что он получил больше, чем стоимость его галстука. Победа и проигрыш одинаково вероятны, но то, что мы называем «стоимостью его галстука» в проигрышном сценарии,  равнозначно тому, что мы называем «больше, чем стоимость его галстука» в выигрышном сценарии. Соответственно, ни один человек не имеет преимущества в пари.
Этот парадокс является перефразировкой простейшего случая проблемы двух конвертов (ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ), и объяснение резолюции по сути то же самое.

   ПАРАДОКС ХОДЖСОНА (англ.): Отношение двух распределённых гауссово случайных переменных не имеет ни математического ожидания, ни дисперсии.

ОШИБКА ИГРОКА (gambler’s fallacy) - (ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ЛОЖНЫЙ ВЫВОД МОНТЕ-КАРЛО) о том, что выгодно ставить на красное, если чёрное выпало 10 раз подряд. «Ошибка игрока» представляет собой ошибочное понимание случайности событий, что приводит к убеждению в том, что если в повторяющихся независимых исходах случайного процесса наблюдалось отклонение от ожидаемого поведения, тогда будущие отклонения в противоположном направлении становятся более вероятны. Однако такое умозаключение противоречит теории вероятности, изучающей случайные события, случайные величины. Согласно этой теории необходимо рассматривать каждое событие по отдельности, как статистически независимое от предыдущих, а не в цепи событий. Также в теории вероятности описывается закон больших чисел, формулирующий результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно этому закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Симуляция подбрасываний монеты, которая с одной стороны красная, с другой стороны синяя. Исход каждого подбрасывания добавляется как цветная точка в соответствующий столбик. Круговая диаграмма показывает, что соотношение красного и синего приближается к 50-50 (закон больших чисел).
В случае с подбрасыванием монеты много раз вполне может произойти такая ситуация, когда выпадет 9 «решек» подряд. Если монета «нормальная» («правильная»), то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения «орла» будет больше: сложно поверить, что «решка» может выпасть десятый раз подряд. Тем не менее, такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по-прежнему остаётся 1/2.
Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» { n} раз подряд (например, два раза подряд или десять раз подряд). Последняя будет равна {(1/2)^{n}=1/(2в степени {n})} (для случаев с двумя или десятью выпадениями подряд — соответственно {1/4} или {1/1024}). Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из «орлов» и «решек» при {n} бросках монеты.
Происхождение названия такого когнитивного заблуждения как «ложный вывод Монте-Карло» связывают с событиями, произошедшими 18 августа 1913 года, когда за одним из игровых столов с рулеткой в казино Монте-Карло шарик останавливался на чёрном поле рулетки 26 раз подряд. Как известно, на стандартном колесе рулетки число красных и чёрных ячеек (карманов) одинаковое; следовательно вероятность выпадения одного из цветов равняется 50 %. Однако тогда в Монте-Карло чёрный цвет выпал 26 раз подряд, в связи с чем игроки ставили на красное, надеясь, что последовательность выпадения чёрного прервётся, и проигрывали. Эту историю часто приводят исследователи, занимающиеся психологией азартных игр. Наблюдения за современными игроками в рулетку показывают, что «ошибка игрока» до сих пор оказывает влияние на выбор, который они делают. В литературе отмечается, что такой распространённый среди азартных игроков ложный вывод приводит к его использованию в качестве «стратегии Монте-Карло», что является абсолютно неверным умозаключением. Такое заблуждение иногда ещё называют ошибкой зрелости шансов (англ. fallacy of the maturity of chances).
Аналогичный хрестоматийный случай имел место в Италии и получил название «лихорадка 53 номера» (итал. la febbre per il 53). Начиная с 2003 года на протяжении многих розыгрышей итальянской лотереи перестал выпадать выигрышный номер 53. Это совпадение заставило многих людей ставить на эту цифру больше. По наблюдению психолога Дэвида Робсона (англ. David Robson), автора книги «Ловушка интеллекта: почему умные люди делают глупости», в этом случае имело место также «ошибка игрока»: «…ведь, казалось бы, это очевидно: если цифра не выпадает так долго, то она должна выпасть вот-вот!» По его словам, к началу 2005 года «лихорадка 53» привела к банкротству многих людей, некоторые люди кончали жизнь самоубийством, так как упорно ставили на 53-й номер значительные суммы денег и проигрывали: «Массовая истерия завершилась только после того, как 9 февраля цифра 53 наконец выпала — после того, как не выпадала 182 тиража подряд. За это время на неё было поставлено в общей сложности 4 миллиарда евро. Четыре проигранных миллиарда». По мнению Робсона: «Какими бы ни были причины такой фальшивой интуиции, исследования показывают: ошибка игрока может иметь самые серьёзные последствия — не только в казино». Такие интуитивные искажения действительности присущи людям не только в сфере азартных игр, но и в других областях человеческой деятельности. Так, зафиксированы случаи применения этой ошибочной стратегии при инвестировании, игре на фондовом рынке, в банковской сфере, в судебной практике, при наборе персонала, в спортивных соревнованиях и т. д. Согласно исследованиям отмечается, что люди с более высоким коэффициентом интеллекта предрасположены к этому когнитивному искажению более других, что объясняют тем, что они придают большее значение закономерностям и, таким образом, склонны верить в то, что могут предугадать, какое событие может произойти в следующий раз.

ПАРАДОКС ЗАКОНОМЕРНОСТИ — наблюдение, заключающееся в том, что большинство людей, увидев явную закономерность в результатах серии испытаний (например, выпадение 10 раз подряд одного и того же исхода из двух равновероятных), будут склонны считать, что испытания не являются случайными, потому что появление этой последовательности в случайных испытаниях является маловероятным событием. Однако вероятности появления любой последовательности из 10 значений в независимых случайных испытаниях с двумя равновероятными исходами одинаковы и равны {; в степени {10}}, то есть настолько же маловероятны.
Парадокс может быть проиллюстрирован с помощью следующей игры с двумя участниками. Первый участник подбрасывает монету 50 раз и записывает результаты бросаний на листе бумаги (пусть орёл обозначается 1, а решка — 0). Второй участник не видит результатов этих испытаний. На втором листе бумаги первый участник пишет любую последовательность такой же длины из нулей и единиц (его мотивы и способ формирования этой последовательности преднамеренно не раскрываются). Затем листы бумаги перемешиваются и отдаются второму участнику. Оказалось, что на одном из них написано:
00111100000100110100000111010111101000111101011010 (последовательность A),
а на другом:
11111111111111111111111111111111111111111111111111 (последовательность B).
Второй участник должен угадать, на каком из листов записан результат бросания монеты. Для идеальной монеты, у которой вероятность выпадения орла в каждом бросании равна точно 1/2, все возможные последовательности равновероятны. Поэтому, если он выберет лист произвольно, то вероятность правильного ответа будет 1/2. Есть ли у него возможность увеличить шансы правильного ответа?
Парадокс возникает между следующими утверждениями:
Выбрав лист с последовательностью A, второй участник может значительно увеличить свои шансы на успех.
Для идеальной монеты вероятности последовательностей A и B одинаковы, поэтому вероятность правильного ответа составляет 1/2.
Разрешение парадокса: Вероятности получения любой последовательности — последовательности A, B, последовательности, состоящей из одних нулей, совпадают и равны {1/(2в степени {50}) }

ПАРАДОКСЫ, СВЯЗАННЫЕ С БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ:
ПАРАДОКС БУРАЛИ-ФОРТИ: Если бы все порядковые числа (в том числе и трансфинитные) образовывали множество, тогда существовало бы порядковое число, которое меньше самого себя.

ПАРАДОКС ГАЛИЛЕЯ: Хотя большинство чисел не является квадратами, всех натуральных чисел не больше, чем квадратов (если сравнивать эти множества по мощности).

ПАРАДОКС ГИЛЬБЕРТА (англ.): Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число.

ПАРАДОКС ДЬЯВОЛЬСКОГО МОНТИ (англ.): Положительная прибыль каждый день приводит к нулевому балансу в (бесконечном) пределе.

ПАРАДОКС СКОЛЕМА: Счётное количество бесконечных моделей теории множеств содержит несчётные множества.

Многие БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ (англ.) приводят к ПАРАДОКСАМ, например:
    ЗАДАЧА ОБ АПЕЛЬСИНАХ (англ.) – Два отца и два сына пришли делить три апельсина. Эрудит поделил три апельсина так, что каждому досталось по одному. Эрудит апельсин не разрезал, не ел и т.п. 
Как это ему удалось так поделить?
  (Два отца и два сына - это были дед, отец и сын. Думаю, что поделить три апельсина между тремя людьми Эрудиту не составило труда!)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИЛИ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ.
ПАРАДОКС БАНАХА - ТАРСКОГО: Шар может быть разложен на несколько частей, из которых потом можно сложить два точно таких же шара. 
Парадокс Банаха — Тарского: Возможно разрезать шар на 5 частей, сложить их по-другому и получится два шара такого же радиуса, как и первоначальный.   
Парадокс Банаха — Тарского (также называется парадоксом удвоения шара и парадоксом Хаусдорфа — Банаха — Тарского) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям. Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить  на конечное  число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут).
Доказано, что для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно.
Верен также более сильный вариант парадокса:
Любые два ограниченных подмножества трёхмерного евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными.
Ввиду того, что вывод этой теоремы может показаться неправдоподобным, она иногда используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.
Удвоение шара, хотя и кажется весьма подозрительным с точки зрения повседневной интуиции (в самом деле, нельзя же из одного апельсина сделать два при помощи одного только ножа), тем не менее не является парадоксом в логическом смысле этого слова, поскольку не приводит к логическому противоречию наподобие того, как к логическому противоречию приводит так называемый парадокс брадобрея или парадокс Рассела.

РОГ ГАВРИИЛА (АНГЛ.) ИЛИ «ТРУБА ТОРРИЧЕЛЛИ»: Простое тело, имеющее конечный объём, но бесконечную площадь поверхности. Множество Мандельброта и различные другие фракталы имеют конечную площадь, но бесконечный периметр. Более того на границе множества Мандельброта не существует двух различных точек, между которыми конечное расстояние по периметру, что можно понять так: если Вы пойдёте вдоль границы этого множества, Вы нисколько не сдвинетесь из одной точки.
Множество Мандельброта - это множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение {z{n+1}-ое={z{n}-ое} в степени{2}+c} при {z{0}=0} задаёт ограниченную последовательность. То есть, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство |z{n-ое}|<R} выполняется при всех натуральных n. Определение и название принадлежат Дуади (англ.)русск., в честь математика Бенуа Мандельброта

ПАРАДОКС ХАУСДОРФА: Существует счётное подмножество C на сфере S такое, что S\C можно разбить на две копии самого себя. ПАРАДОКС ХАУСДОРФА  ТЕОРЕМА (ИЛИ ПАРАДОКС) ХАУСДОРФА — доказываемое в теории множеств   утверждение  о существовании счётного подмножества T двумерной сферы (S в квадрате), дополнение (S в квадрате)/T   которого может быть представлено в виде объединения трёх непересекающихся множеств A, B и C, конгруэнтных друг другу и множеству (B дизъюнкция C). Впервые опубликована  в 1914 году Ф. Хаусдорфом. Эта теорема (как и основанная на её идеях более поздняя теорема Банаха — Тарского) демонстрирует несоответствие теоретико-множественных представлений обычной геометрической практике (утверждая, в частности, что две копии (не S в квадлрате) можно разбить  на шесть кусков  (не S в квадлрате) и составить из них три копии). Поэтому иногда называется «парадоксом».

ПАРАДОКС ПОБЕРЕЖЬЯ (англ.): периметр континента не может быть корректно определён (не может быть сопоставлен конкретному числу). Парадокс береговой линии — противоречивое наблюдение в географических науках, связанное с невозможностью точно определить длину линии побережья из-за её фракталоподобных свойств. Первое задокументированное описание данного феномена было сделано Льюисом Ричардсоном; впоследствии оно было расширено Бенуа Мандельбротом.
Длина береговой линии зависит от способа её измерения. Поскольку для участка суши можно выделить изгибы любого размера, от сотен километров до долей миллиметра и меньше, нельзя очевидным образом подобрать размер наименьшего элемента, который должен быть взят для измерения. Следовательно, нельзя однозначно определить и периметр данного участка. Существуют различные математические приближения при решении данной задачи.
Незадолго до 1951 года Льюис Фрай Ричардсон в ходе исследования предполагаемого влияния длины государственных границ на вероятность начала военных конфликтов заметил следующее:
Португалия заявила, что её сухопутная граница с Испанией равна 987 км, а Испания определила её равной 1 214 км. Этот факт послужил отправной точкой для изучения проблемы береговой линии, Наиболее поразительным для Ричардсона оказалось то, что когда величина l стремится к нулю, длина побережья стремится к бесконечности. Изначально Ричардсон полагал, опираясь на Евклидову геометрию, что эта длина достигнет фиксированной величины, как это происходит в случае с правильными геометрическими фигурами. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к длине самой окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины каждой стороны). В теории геометрических измерений такая гладкая кривая, как окружность, которая может быть приближённо представлена в виде небольших отрезков с заданным пределом, называется спрямляемой кривой.  Спустя более десяти лет после завершения Ричардсоном своей работы Мандельброт разработал новую ветвь математики — фрактальную геометрию — для описания таких неспрямляемых комплексов, существующих в природе, как бесконечная береговая линия[4]. Его собственное определение фрактала как основы его исследования таково: Я придумал слово фрактал, взяв за основу латинское прилагательное fractus. Соответствующий латинский глагол frangere означает ломать: создавать нерегулярные фрагменты. Поэтому разумно, что, помимо «фрагментный», fractus также должно означать и «нерегулярный».
 Ключевым свойством фракталов является самоподобие, заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры на любом масштабе. Береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов. Гипотетически, если данная береговая линия имеет свойство самоподобия, то независимо от того, насколько сильно масштабируется та или иная часть, всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на бОльшие заливы и мысы, вплоть до песчинок. На таких масштабах береговая линия оказывается мгновенно изменяющейся, потенциально бесконечной нитью со стохастическим расположением заливов и мысов.
Из практических соображений выбирают минимальный размер деталей равным порядку единиц измерения. Так, если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие изменения линий, гораздо меньшие одного километра, просто не принимаются во внимание. Для измерения береговой линии в сантиметрах должны быть рассмотрены все небольшие вариации размером около одного сантиметра. Однако на масштабах порядка сантиметров должны быть сделаны различные произвольные нефрактальные допущения, например, там, где устье присоединяется к морю, или в тех местах, где должны быть проведены измерения на широких ваттах. Кроме того, использование различных методов измерения для разных единиц измерения не позволяет сделать преобразование этих единиц с помощью простого умножения.
Для определения государственных территориальных вод строят так называемые прямые исходные линии, соединяющие официально установленные точки побережья. Длину такой официальной береговой линии тоже не составляет труда измерить.
Предельные случаи парадокса береговой линии включают побережья с большим числом фьордов: это побережья Норвегии, Чили, северо-западное побережье Северной Америки и другие.
От южной оконечности острова Ванкувер в северном направлении до южной оконечности Юго-Восточной Аляски изгибы побережья канадской провинции Британская Колумбия составляют более 10 % длины канадской береговой линии (с учётом всех островов Канадского Арктического архипелага) — 25 725 км из 243 042 км на линейном расстоянии, равном всего 965 км.

ПАРАДОКС СМЕЙЛА утверждает, что можно вывернуть (с самопересечениями, но без складок) сферу в 3-мерном пространстве.  Сфера, топологически, может быть вывернута наизнанку.
Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.
Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом. Представить конкретный пример такого преобразования достаточно сложно, поэтому этот результат называют парадоксом Смейла. Для наглядности объяснения было создано множество визуализаций.  H-принцип — общий способ решения подобных задач.

ГОЛОВОЛОМКА С ПРОПАДАНИЕМ КВАДРАТА: Две похожие фигуры имеют различные площади, хотя составлены из одинаковых элементов.
Исчезновение клетки (появление клетки) — известный класс задач (оптических иллюзий) на перестановку фигур, обладающих признаками математических софизмов: изначально в их условие введена замаскированная ошибка. Некоторые из этих задач тесно связаны со свойствами последовательности чисел Фибоначчи.

ПАРАДОКС АБИЛИНА: Парадокс заключается в том, что группа людей может принять решение, противоречащее возможному выбору любого из членов группы, из-за того что каждый индивидуум считает, что его цели противоречат целям группы, а потому не возражает.
   Имя парадоксу дано по мотивам анекдота, описанного в этой статье:
«В один жаркий техасский вечер некая семья играла в домино на крыльце до тех пор, пока тесть не предложил съездить в Абилин отобедать. Жена сказала: «Звучит неплохо». Муж, несмотря на то, что поездка обещала быть долгой и жаркой, подумал, что надо бы подстроиться под других, и произнёс: «По-моему, неплохо; надеюсь, что и твоя мама не откажется». Тёща же ответила: «Конечно, поехали! Я не была в Абилине уже давно». Дорога была жаркой, пыльной и долгой. Когда же они наконец приехали в кафетерий, еда оказалась невкусной. Спустя четыре часа они, измученные, вернулись домой.
Один из них произнёс неискренне: «Верно, неплохая была поездка?». Тёща на это сказала, что, на самом деле, она бы лучше осталась дома, но поехала, раз уж остальные трое были полны энтузиазма. Муж сказал: «Я был бы рад никуда не ездить, поехал лишь чтобы доставить остальным удовольствие». Жена произнесла: «А я поехала, рассчитывая на радость остальных. Надо было быть сумасшедшим, чтобы добровольно отправиться в эту поездку». Тесть ответил, что он предложил это лишь потому, что ему показалось, что остальным скучно.
И они сидели, ошеломлённые тем, что поехали в поездку, которой никто из них не хотел. Каждый из них предпочёл бы спокойно наслаждаться тем днём.»
Этот феномен настолько похож на групповое мышление, что иногда даже исследователи этих двух явлений могут принять одно за другое. Однако парадокс Абилина имеет целый ряд существенных отличий от группового мышления — ученые называют не менее семи. Например, в случае проявления группового мышления член группы подвержен её «тирании»: он становится конформистом и следует за группой из-за давления, которое группа на него оказывает («вообще-то он хороший мальчик, но связался с плохими парнями»). В случае парадокса Абилина член группы может думать, что на него оказывается давление, явное или неявное, хотя на самом деле давления нет — есть только недостаток коммуникации. Даже если результаты группового действия при групповом мышлении и в случае парадокса оказываются одинаковыми, они являются следствиями разной динамики, в частности, плохого управления согласием, в случае парадокса. Кроме того, при групповом мышлении участники группы, хотя и не могут правильно учесть свои разногласия, в целом остаются довольны результатом; в случае парадокса Абилина участники не могут правильно озвучить свои предпочтения другим членам группы и остаются исходом недовольны. Парадокс легко объясняется различными социологическими науками, подтверждающими, что человек редко совершает поступки, противоречащие поступкам его группы. Социальные сдерживающие факторы часто подавляют проявление истинных чувств и реализацию желаний отдельного индивидуума.
Парадокс Абилина широко применим к принятию управленческих и маркетинговых решений, в тимбилдинге известен как «обманчивый успех единодушного принятия решения в команде».

ПАРАДОКС КОНТРОЛЯ (англ.): Человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя.
 Человек, конечно, может быть свободным от контроля вообще. Потеряв самоконтроль, он рискует перестать быть человеком. Потому что человек - это разумное существо.
Если не будет разумной составляющей в поведении, то есть самоконтроля, то остаётся лишь составляющая безумного существа. А значит, свободным от контроля скорее всего, не человек, а безумец.

ВИЛКА МОРТОНА: Выбор из двух плохих альтернатив («выбор из двух зол»). Ви;лка Мо;ртона (англ. Morton's Fork) — выражение (дилемма), описывающее ситуацию выбора между двумя одинаково неприятными альтернативами, или же ситуацию, в которой две ветви рассуждения ведут к одинаково неприятным выводам.
Исходно выражение появилось из-за политики сбора налогов, разработанной Джоном Мортоном, лордом-канцлером Англии в 1487 году в соответствии с законами Генриха VII (отменившего benevolences — поборы с населения под видом добровольного приношения, - но нуждавшегося в деньгах на войну с Францией). Его подход заключается в том, что если некто живёт в роскоши и, несомненно, тратит много денег на себя, то он, безусловно, обладает достаточным доходом, чтобы не жалеть его для короля. Если же кто-то живёт экономно, то у него, опять же, должны иметься деньги для передачи в казну, так как благодаря экономии он неизбежно накопил определённый излишек.
Эти два аргумента — как зубцы одной вилки, благоприятный выбор исключён вне зависимости от материальной обеспеченности.
Название «Вилка Мортона» (en:Morton's fork coup) также носит один из приемов розыгрыша в бридже.

ЗАГАДКА КАВКИ О ЯДЕ (англ.): Может ли человек быть намеренным выпить смертельный яд, если намерение — единственная вещь, которая нужна для получения награды?
Токсиновая головоломка Кавки - это мысленный эксперимент о возможности сформировать намерение совершить действие, которое, исходя из разума, является действием, которое на самом деле нельзя было бы выполнить. Он был представлен моральным и политическим философом Григорием С. Кавкой в «Головоломке токсинов» (1983) и вырос из его работы в области теории сдерживания и взаимного гарантированного уничтожения.
   Одним из центральных принципов головоломки является то, что для разумного человека:
а) У этого человека есть разумные основания для намерения выпить токсин, поскольку может быть получена некоторая награда.
б) Придя к вышеизложенному выводу, у этого лица нет разумных оснований для того, чтобы выпить токсин, поскольку дальнейшая награда не может быть получена, и ни один разумный человек не будет участвовать в причинении себе вреда без какой-либо выгоды.
  Таким образом, разумный человек должен намереваться выпить токсин по первому аргументу, но если этот человек намеревается выпить токсин, он рассуждает вторым аргументом.


 ХИМИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ
SAR-ПАРАДОКС (англ.): Исключения из правила, что малое изменение в молекуле влечёт за собой малое изменение в химическом поведении, часто очень глубоки по смыслу.

ПАРАДОКС ЛЕВИНТАЛЯ: Промежуток времени, за который протеиновая цепочка приходит к своему скрученному состоянию, на много порядков меньше, чем оно могло бы быть, если бы она просто перебирала все возможные конфигурации.

 ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ
Смотрите статью Физические парадоксы (англ.).

ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ПАРАДОКС АРХИМЕДА: Огромный корабль может плавать в нескольких литрах воды.

ПАРАДОКС БЕЛЛА: Разорвётся ли струна, соединяющая релятивистские объекты?

ПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА-ПОДОЛЬСКОГО-РОЗЕНА: Могут ли далёкие друг от друга события влиять друг на друга (в квантовой механике)?

ГЗК-ПАРАДОКС: Наблюдаемые высокоэнергетичные космические лучи, похоже, нарушают предел Грайзена-Зацепина-Кузьмина, который является следствием СТО.

ПАРАДОКС ЛЕСТНИЦЫ (англ.): Может ли лестница за счёт релятивистского сокращения длины поместиться в меньший по размеру гараж?

КОТ ШРЁДИНГЕРА. КВАНТОВЫЙ ПАРАДОКС: кот жив или мёртв перед тем, как мы на него посмотрим?

ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ: Когда близнец-путешественник вернулся, он стал моложе или старше, чем его брат, который оставался на Земле?

ПАРАДОКС СУБМАРИНЫ: Сила Архимеда на релятивистский (англ.) объект (типа пули) изменяется при переходе от системы отсчёта, в которой покоится пуля, в систему отсчёта, в которой покоится жидкость.

ПАРАДОКС ЭРЕНФЕСТА о кинематике абсолютно твёрдого вращающегося диска.
Исчезновение информации в чёрной дыре: Чёрная дыра нарушает общепризнанную научную догму — что информация не уничтожается.


 ПАРАДОКСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПУТЕШЕСТВИЯМИ ВО ВРЕМЕНИ
ПАРАДОКС ПРОИСХОЖДЕНИЯ (англ.) ставит вопрос о происхождении объектов или информации при путешествиях в прошлое.

ПАРАДОКС ДЕДУШКИ (англ.): Вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку.


 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ
ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА (англ.): Идеальная жидкость не оказывает сопротивления шару, движущемуся в ней.
Один из «вечных двигателей»: чаша Роберта Бойля, наполняющая себя.

ПАРАДОКС БРАЕСА (англ.): Устройство, добавляющее мощность сети, может уменьшить общую производительность. ПАРАДОКСЫ. УПРАВЛЕНИЕ ПО БРАЕСУ
   Парадокс Браеса*:  устройство, добавляющее мощность сети, может уменьшить общую производительность.
    И действительно: если устройством, добавляющим мощность сети в сложной системе, назначить команду некомпетентных управленцев, то они всегда будут уменьшать общую производительность системы некомпетентными решениями,   с помощью которых будут  добавлять финансовую или энергетическую мощность с приоритетом интересов отдельной (своей) сети в ущерб общей системе, поэтапно заявляя о повышении эффективности отдельных параметров сети и замалчивая общее понижение эффективности системы на конкретном этапе добавления мощности.
   Настоящее Евроуправление по Браесу под диктовку Воссоединённых Штатов Ам.
–––
*Парадокс Браеса – парадокс, приписываемый немецкому математику Дитриху Браесу, гласящий, что добавление дополнительных мощностей в сеть при условии, что двигающиеся по сети сущности сами выбирают свой маршрут, может снизить общую производительность. Происходит это по той причине, что равновесие Нэша** для таких систем не обязательно оптимально.
    Парадокс можно изложить на примере построенной недавно платной дорожной сети. Пусть задана сеть дорог, для каждого её узла известно количество автомобилей, выезжающих оттуда, и пункты назначения этих автомобилей. Одна дорога может оказаться предпочтительнее другой благодаря качеству покрытия  и благодаря меньшей плотности потока. Если каждый водитель выберет маршрут, который выглядит наиболее благоприятным для него, полученное время нахождения в пути не обязательно будет минимальным ввиду перегруженности желающими ехать именно по хорошей дороге. Более того, перераспределение трафика в ответ на создание дополнительных дорог приведёт к тому, что время нахождения в пути только возрастёт при увеличении потока машин.
_______
**Равновесие Нэша – ключевое понятие теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют.


ПАРАДОКС ДЕННИ: Живущие на поверхности воды членистоногие, согласно расчётам, не могут двигаться по поверхности, что противоречит природе.

ПАРАДОКС ИНТЕРНЕТА: Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается.

ПАРАДОКС ФЕРМИ: Если многие другие разумные существа присутствуют во Вселенной, как это можно предположить, тогда где они? Почему они не дают о себе знать (намеренно или случайно, искусственными излучениями)?

ПАРАДОКС ГИББСА: В идеальном газе является ли энтропия экстенсивной (аддитивной) переменной?

ПАРАДОКС ЛОШМИДТА (англ.): Почему есть неизбежный рост энтропии, хотя физические законы инвариантны относительно инверсии времени?

ПАРАДОКС ПЕРЕМЕШИВАНИЯ (англ.) — относительно энтропии системы до и после перемешивания.

ПАРАДОКС МПЕМБЫ: Горячая вода (при некоторых условиях) может замёрзнуть быстрее, чем холодная. Хотя при этом она должна пройти температуру холодной воды в процессе замерзания.

ФОТОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС (ПАРАДОКС ЗВЁЗДНОГО НЕБА, ПАРАДОКС ШЕЗО-ОЛЬБЕРСА): Почему ночное небо — чёрное, хотя в нём бесконечное число звёзд?
Тепловая смерть вселенной: В 1850 г. немецкий физик Р. Клаузиус «… пришел к выводу, что в природе теплота переходит от теплого тела к холодному… состояние Вселенной должно все больше изменяться в определенном направлении… Эти представления развил английский физик Уильям Томсон, согласно которому все физические процессы во Вселенной сопровождаются превращением световой энергии в теплоту». Следовательно, Вселенную ожидает «тепловая смерть», поэтому бесконечное существование Вселенной во времени невозможно.

 ФИЛОСОФСКИЕ ПАРАДОКСЫ
ТОТАЛЬНАЯ КАЗНЬ, ИЛИ ПАРАДОКС СМЕРТНОЙ КАЗНИ: Убийство в некоторых странах карается смертной казнью. Но совершая её, государство (то есть все его жители) становятся убийцами и должны быть приговорены к смерти.

ПАРАДОКС НЕОЖИДАННОЙ КАЗНИ: Если сказать осуждённому на казнь, что она произойдёт в неожиданный для него день этой недели, то он логически придёт к выводу, что она не может произойти ни в один из дней недели. Тогда она и будет сюрпризом

ПАРАДОКС ЭПИКУРЕЙЦЕВ, ИЛИ ПРОБЛЕМА ЗЛА (англ.): Кажется, что существование зла несовместимо с существованием всемогущего и заботливого Бога.

ПАРАДОКСЫ ВСЕЗНАНИЯ:
Парадокс Ньюкома — парадоксы всезнания:
Если существует знающее всё существо (Бог), то невозможно иметь свободную волю, так как это существо будет знать, что вы хотите предпринять, а значит вы не можете принять решение, потому что оно уже сделано до вас.
Почему можно выиграть у противника, знающего всё?

ПАРАДОКС ХАТТОНА (англ.): Если кто-то спрашивает себя «Сплю ли я?», то это доказывает, что он спит, то что это доказывает во время бодрствования?

ПАРАДОКС ЛИБЕРАЛЬНОСТИ (англ.): «Минимальная свобода» не является равновесной по Парето.

АДДИТИВНОСТЬ СЧАСТЬЯ (англ.): Что лучше: большая группа людей, живущая сносной жизнью, или небольшая, живущая счастливо?

ПАРАДОКС МУРА (англ.): «Идёт дождь, но я не верю в это»

ПАРАДОКС НИГИЛИЗМА (англ.): Если правда не существует, то утверждение «правда не существует» верно, что доказывает его неверность.

ПАРАДОКС НЕПРЕОДОЛИМОЙ СИЛЫ (англ.): Что будет, если непреодолимая сила подействует на несдвигаемый объект? (Оба эти парадокса, после некоторого анализа, могут быть признаны парадоксами противоречивых посылок (англ.), либо в житейском смысле посылки будут уточнены как «непреодолимая ранее сила» воздействуя на «несдвигаемый ранее объект» даст невиданное ранее)

ПАРАДОКС ГЕДОНИЗМА: Когда человек занимается только своим счастьем, он несчастен; но, занимаясь другими вещами, он может быть счастливым.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ.
ПАРАДОКС БЕРТРАНА — ситуация, когда два олигополиста, конкурируя между собой и достигнув равновесия Нэша, оказываются с нулевой прибылью.

ПАРАДОКС АЛЛЕ: Изменение возможного дохода, который разделён между несколькими альтернативами, влияет на выбор людей между этими альтернативами, что противоречит теории ожидаемой пользы (англ.).

ПАРАДОКС ЦЕННОСТИ: Почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?

ПАРАДОКС ЭДЖВОРТА (англ.): Может не существовать равновесия, если мощности производств ограничены.

ПАРАДОКС ЭЛСБЕРГА (англ.): Люди предпочитают известный, хотя и бОльший, риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы (англ.).

ПАРАДОКС ГИБСОНА (англ.): Почему процентные ставки и цены скоррелированы?

ПАРАДОКС ГИФФЕНА: Если цены на хлеб начнут повышаться, люди станут покупать его больше.

ПАРАДОКС ДЖЕВОНСА (англ.): Повышение эффективности ведёт к ещё бо;льшему повышению спроса.

ПАРАДОКС ЛЕОНТЬЕВА: Некоторые страны экспортируют трудозатратные товары, а импортируют капиталозатратные, что является контрпримером к теории Хекшера — Олина(Теория Хекшера - Олина -(теория соотношения факторов производства) - утверждение, в соответствии с которым страна экспортирует товар, для производства которого интенсивно используется её относительно избыточный фактор производства, и импортирует товары, для производства которых она испытывает относительный недостаток факторов производства. Теория названа в честь создателей Эли Хекшера и Бертиля Олина и является составной частью общей модели международной торговли Хекшера - Олина - Самуэльсона.).

ПАРАДОКС БЕРЕЖЛИВОСТИ: Если каждый будет экономить деньги во время экономического спада, то совокупный спрос упадёт и в результате уменьшатся суммарные накопления населения.
Все знакомы с высказыванием Брежнева о том, что экономика должна быть экономной. Однако, иногда экономия может нанести ощутимый вред. Если все люди начнут экономить во время кризисной ситуации (а люди в кризис обычно не склонны тратить много денег), то это приведет к снижению спроса, разорению предприятий и, как следствие, к снижению заработной платы и росту безработицы. Возникает замкнутый круг, удерживающий экономику в состоянии стабильного спада. Таково видение парадокса бережливости в кейнсианской модели, которая возникла как реакция на Великую депрессию и, соответственно, не настраивала на радостные мысли о будущем. Но существует и другая точка зрения на этот вопрос. В классической модели считается, что чем больше доходов идет на сбережение, тем выше темпы экономического роста.

ПАРАДОКС ПРОДУКТИВНОСТИ (англ.): Продуктивность работника уменьшается, несмотря на улучшения в технологиях.

ПАРАДОКС БАЗЕРМАНА - назван по имени преподавателя Harvard Business School Макса Базермана. Каждый год Макс Базерман продает своим студентам двадцатидолларовую купюру намного выше номинала. Его рекорд – продажа $20 за $204. А делает он это так. Он показывает классу купюру и сообщает, что отдаст $20 человеку, который даст за нее больше всего денег. Правда, есть небольшое условие.
Человек, который будет сразу за победителем, должен отдать профессору ту сумму, которую он был готов отдать за $20. То есть, если две самых высоких ставки были $15 и $16, то победитель получает $20 за $16, а второй человек отдает профессору $15. Торги начинаются с одного доллара и быстро достигают $12-16. В этот момент большинство студентов выпадают из аукциона, и остаются только два человека с самыми высокими предложениями.
Медленно, но уверенно аукцион подходит к цифре $20. Понятно, что выиграть уже невозможно, однако аукцион продолжается и быстро доходит до $50 и выше. Почему люди неизменно платят за $20 больше денег? Потому что у человека есть слабое место – боязнь потери, и он ведет себя крайне нерационально, когда начинает терять деньги.
Так, как только торги доходят до $12-$16, второй человек понимает, что ему грозит потеря, поэтому он начинает ставить больше, чем собирался, пока аукцион не доходит до $21. На этом этапе оба участника потеряют деньги, но кто-то потеряет всего доллар, а кто-то двадцать. Чтобы минимизировать потери, каждый человек старается отыграться, и эта гонка приводит к еще большим потерям.
 
 ЮРИДИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ.
ПАРАДОКС НЕПОДСУДНОГО ДОГОВОРА: Если существует процессуальное правило о том, что судья, рассматривающий дело, должен быть незаинтересован в исходе его рассмотрения, то дело, имеющее в себе договор, содержащий следующее условие: «Каждый судья, который будет рассматривать дело, в котором этот договор является доказательством, в случае признания его ничтожным имеет право получить от каждой из его сторон по 1 копейке», не может быть рассмотрено никаким судьёй.

ПСИХОФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ:
  ОПТИЧЕСКАЯ ИЛЛЮЗИЯ.
  ЭФФЕКТ ШЕПАРДА.
  ГОЛОВОЛОМКА.
  ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА.
  НЕВОЗМОЖНАЯ ФИГУРА.
  ПАРАДОКС КОШКИ С МАСЛОМ.
  ПАРАДОКС СЛАБОГО МОЛОДОГО СОЛНЦА.
  ПАРАДОКС ЛЕВИНТАЛЯ (беседы ГОРДОНА).
  РОБЕРТ БОЙЛЬ. Схема доказательства того, что вечного двигателя не существует.
  ЗАДАЧА О РЮКЗАКЕ.

ПОЛУПАРАДОКСЫ СЕРЖА ПЬЕТРО:
    Читать вредно … без пользы.
     Очень мало плохого в очень большом – хорошо.
     Если есть понятие «всё» и оно материально, то понятие «ничего» как отсутствие материального не может входить во «всё». Решение парадокса – признание наличия нематериального «ничего» везде, в каждой точке пространства (т.е. ничто в любой точке – это когда в любой точке отсутствует практически всё, кроме принадлежащего этой точке), т.к. ничего иного там нет, кроме всего там существующего. Т. о. понятие «ничего» не есть единое понятие, оно состоит из частей ничего: ничего чёрного, ничего белого, ничего тяжёлого, т.е. ничего – в смысле «ничего конкретного», в отличие от «ничего вообще», хотя и «ничего вообще» существует как «наличие отсутствия вообще» или «наличие отсутствия чего-бы то ни было где бы то ни было». Понятие «ничего» в физическом смысле означает отсутствие всего по любому параметру в любой точке, что невозможно, т.к. в точке всегда есть координата, температура, потенциал (нулевые, но есть); если понятием «ничего» обозначить «0», и этот «ноль» воспринимать как разность двух одинаковых объектов, явлений или воздействий, то в таком случае ничего и будет нулём, но ноль – это уже точка отсчёта, а она есть реально представимая и обозначаемая величина, а ни «ничего» или «ничто». Т.е. «ничего в реальном мире – это отсутствие чего-то (но не всего), что важно для данного реального мира». Однако отсутствие всего быть не может.
Истинные высказывания:
   Два плюс два равно нулю или не равно нулю.
Выводы (умозаключения по логическому квадрату): из «Некоторые металлы – жидкости» следует «некоторые жидкости металлы».
Из «Все тигры – не птицы» : «Неверно, что все тигры – птицы»

ПАРАДОКС АНТИБЛИЗНЕЦОВ.
Ничего как совокупность двух одинаковых противоположностей, уничтоживших друг друга до нуля и взявших для этого всю энергию соединения, есть идеальные физические антиблизнецы! (Куда чего девалось? - говорим мы.) Но есть ли такие частицы, а если есть, то не в них ли исчезает материя как в чёрных дырах (сгорает без возможности определить её во имя жизни чего-то третьего – огромной чёрной дыры)?

ПАРАДОКС КУРИЦЫ И ЯЙЦА.
Об этом парадоксе, вероятно, слышали все. Впервые обсуждение этой задачки появилось в трудах классических философов Древней Греции.
Что было раньше: курица или яйцо?
На первый взгляд, задача кажется неразрешимой, так как появление одного элемента невозможно без существования другого. Однако сложность этого парадокса заключается в расплывчатой формулировке. Решение задачи зависит от того, что вкладывается в понятие «куриное яйцо». Если куриное яйцо — это яйцо, снесённое курицей, то первой была, естественно, курица, вылупившаяся не из куриного яйца. Если куриное яйцо — яйцо, из которого вылупляется курица, то первым было куриное яйцо, снесённое не курицей.
Каждый раз, когда перед вами ставят неразрешимую задачу, внимательно вчитайтесь в её условие. Иногда именно здесь и находится путь к ответу.

АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА
Этот парадокс приписывают Зенону Элейскому — древнегреческому философу, знаменитому представителю Элейской школы. С его помощью он пытался доказать противоречивость концепций движения, пространства и множества.
   Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в 1 000 шагов. Пока Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползёт ещё 10 шагов и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

ПАРАДОКС ДВУХ КОНВЕРТОВ.
Перед тобой лежат два конверта. В одном из них находится определенная сумма денег, а в другом она в два раза больше. Естественно, сколько лежит в каком из конвертов, тебе неизвестно. Что нужно сделать тебе? Взять один из конвертов и проверить, что в нем находится. После этого у тебя есть выбор: оставить себе этот конверт или же взять и открыть другой. Какой из них принесет тебе сумму побольше, ты знать наверняка не можешь, так как одним из условий стоит неизвестность суммы в обоих конвертах.   
    Парадокс заключается в том, что больше денег ты получишь только в том случае, если сделаешь бесконечное число выборов, переходя от одного конверта к другому. Но оставим эту задачу ученым. Какой вывод можем из нее сделать мы?
Иногда нужно умерить свои аппетиты и довольствоваться малым. Правда, ты никогда не узнаешь, было ли в другом конверте больше денег либо же ты вытянул такой. Но согласись: порой лучше думать, что ты все сделал правильно, чем опозориться, чтобы убедиться в этом. А вообще, деньги — это не главное, ты это знаешь. Как и то, что с ними, конечно, жить проще.

Парадокс «Яйцо-сюрприз» или «казнь врасплох» (см. Гарднер М. Математические досуги, М. Мир, 1972, с.95-109, глава 8) – Рэймонд Р. Смаллиан «Алиса в стране смекалки», М.Мир, 1987, стр. 10



++==
ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ:
Парадоксами теории множеств называют рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как
ПАРАДОКС БУРАЛИ-ФОРТИ (1897) (Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.),
ПАРАДОКС КАНТОРА (1899),  парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно. Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств.

ПАРАДОКС РАССЕЛА (1901) - рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или «парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием аксиом формальной теории множеств, включая:
предложенный Бертраном Расселом - «ПАРАДОКС ТРИСТРАМА ШЕНДИ», демонстрирующий нарушение принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств. Нетривиальные следствия аксиомы выбора:   ПАРАДОКС БАНАХА - ТАРСКОГО (ТАКЖЕ НАЗЫВАЕТСЯ ПАРАДОКСОМ УДВОЕНИЯ ШАРА И ПАРАДОКСОМ ХАУСДО;РФА — БАНАХА — ТАРСКОГО) — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число (не обязательно связных) попарно непересекающихся частей, передвинуть их и составить из них второе (в промежуточном положении части могут пересекаться, а в начальном и конечном не могут) ),

  Особое место занимает ПАРАДОКС СКУЛЕМА, представляющий собой ошибочное рассуждение, которое может быть допущено неспециалистом при применении теоремы Лёвенгейма - Скулема к аксиоматической теории множеств. Теорема Лёвенгейма — Скулема — теорема теории моделей о том, что если множество предложений в счётном языке первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет счётную модель. Эквивалентная формулировка: каждая бесконечная модель счётной сигнатуры имеет счётную элементарную подмодель.
Это утверждение впервые сформулировано в работе Леопольда Лёвенгейма 1915 года, доказано Туральфом Скулемом в 1920 году. Теорема часто называется теоремой Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности (англ. downward L;wenheim — Skolem theorem), чтобы отличать её от похожего утверждения, называемого теоремой Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности: если множество предложений счётного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то оно имеет модель произвольной бесконечной мощности 

ПАРАДОКСЫ ГЕОМЕТРИИ. ТОЧКА И ЕЁ ОТСУТСТВИЕ.
Точка – фигура (круг, квадрат, прямоуголник, треугольник и пр.) с длиной периметра и площадью поверхности, почти равной нулю – логическая единица физического объёма.
Нечто с размерами, равными нулю, – отсутствие точки – ничто – логический ноль физического пространства.
И вообще - любая плоская фигура - это двухсторонняя объёмная фигура (видимая сторона фигуры и обратная) с толщиной, равной нулю!

ПАРАДОКСЫ ЛЮБВИ.
Фигура у женщины - это только красивый коврик у её порога, главное у неё - умение влюбить в себя любимого, но навсегда!

ПАРАДОКСЫ ШКОЛЫ. НУЛЕВАЯ МАССА ЧАСТИЦ.
   Невесомость есть - во Вселенной! То есть масса у неё там как бы отсутствует, если никто в ней не присутствует, но на самом деле масса в пространстве, видимо, есть, но невозможно взвесить - нет таких весов, которые бы ноль массы представили в виде плюс-минус ненулевая величина, которую можно выразить лишь через объём пространства, который занимает эта ноль-масса, и плотность её, которую создаёт мощь сжимающих в этом пространстве сил и волновых полей, нейтрализующих друг друга до нуля!
ПАРАДОКСЫ ШКОЛЫ. ПРИТЯЖЕНИЕ.
   Притяжение - это совокупность поле-волновых воздействий объектов, предметов и пространств на волновом, полевом, атомарном, молекулярном и полимолекулярном уровне, то есть физически  природа любого притяжения имеет поле-волновые физические носители информационных воздействий, осуществляющих поле-волновой и тактильный уровень порядка в природе и обществе и в каналах передачи информации и чувств природы и человека. И вообще, притяжение -  это информационно-созидающая основа общения с иными мирами. Без притяжения даже человек был бы невозможен! Разве что на атомарном уровне, но  на полимолекулярном уровне - никак!

ПАРАДОКСЫ ВЛАСТИ.
    Власть вообще - это не нечто прекрасное и светлое, а дела  вполне конкретных людей с фамилиями и адресами проживания, которые верно (а иногда  и великолепно) или с ошибками (а иногда и с преступлениями) выполняют законы и иные документы и решения, разработанные и принятые представителями власти или ими самими.
   Как оценить парадоксальные дела власти?
Только по конкретному результату каждого, кто достигает при той или иной власти хорошего или иного положения.
Отсюда - от способности власти предугадать будущее и делать его  лучше или иначе -  и революции, и недовольство, и усилия скрыть свои незаконные  доходы или гордиться на весь мир своими достижениями!
    А вообще власть - это и наша заслуга (или наоборот), раз мы или кто-то (без нашего участия) её избрал именно такую!
   Другое дело, что прежняя наша власть шла последние десятилетия с плановой экономикой, как все передовые государства, а теперь - даже Госплана нет, одни возможные рыночные прогнозы!  Но рынок - это не телега, спущенная с обрыва без лошади по накатанной кем-то колее и неизвестно куда ведущая, а глубоко научная, достоверно прогнозируемая система личных и корпоративных потоков знаний, умений, общений и умение эти знания и потоки подчинять главному - приоритету развития людей и каждого человека в своей стране!
   А мировая власть - это несколько иная система, где мир разделён на невеликое число умеющих добывать сначала для укрепления себя и своей финансовой и иной мощи, а потом, что останется, и в интересах глобальных приоритетов, а также великое множества тех, кто умеет трудиться и выживать за мизерную плату.
Осталось решить простую задачу: кто сколько должен получать, чтобы жить, а не выживать и при этом быть не агрессивным?
Задача простая и решена несколькими талантами.
Осталось решить вторую задачу: как мирно трудиться  без войн, как источника великих доходов для мировой власти, если она существует в мире? 

ПАРАДОКСЫ СИСТЕМ.
Капитализм – это поток для вымывания денег отовсюду ради намыва денег себе, всё остальное для него – лишь ступени, по которым он скользит (ради намыва новых собственных денег) всё глубже на дно, чтобы там и застрять.

ПАРАДОКСЫ ВОРОН.
  Оказавшись в воронье стае, надо представиться всем им таким же, как они - вороной, но не забывать быть лисой, чтоб не проворонить обед!
  При этом  надо успеть вовремя исчезнуть, чтобы ненароком не заклевали, когда станут пересчитываю своих!
Вороны умеют считать!!!
Правда, до четырёх.

ПАРАДОКСЫ. ХОМО ИЛИ ХОМА?
Хомо-сапиенс, потому сапиенс, что личинок шелкопряда разводит, а личинок колорадского жука уничтожает. Но не наоборот.
____
Вышеизложенное - докторская нанодиссертация, но по объёму, в чём её и новизна!

ПАРАДОКСЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ.
Быстрее бы...
_____
В изложенной выше нанотехнологии изложен глубоко научное, перспективное ноу-хау, и, главное, чтобы никто не понял троеточие, - нано!

ПАРАДОКСЫ ПОГОВОРОК О МЫШЛЕНИИ.
  Мы не настолько богаты, чтобы отдать норковую шубу на съедение моли. (Поговорка.)
А чё? Нихай гнида подавицьця!        (Ответ-поговорка).

ПАРАДОКСЫ ВОПРОСОВ И ОТВЕТОВ.
  Какой русский не любит вкусной еды?
Так это же тот, кто уже лыка не вяжет!

ПАРАДОКСЫ ВЕСЕННИХ ОТВЕТОВ.
Вы спрашиваете: есть ли у меня и у неё роман?
Отвечаю: есть! И даже не один! Особенно нам нравится - Война и мир - Льва Николаевича Толстого!

ПАРАДОКСЫ. ВСЁ, НО НИ О ЧЁМ!
  Если хотите сказать всё ни о чём, то скажите: да, это весьма!
Если хотите сказать ещё больше, но с глубоким содержанием, то повествуйте:
это - весьма и весьма, однако!

ПАРАДОКСЫ. ПРАВО ЕСТЬ, А ГДЕ ЛЕВО?
  Если мне не разрешать иметь право (идти по жизни как хочу), как разрешено Конституцией - не в ущерб другим, имеющим такое же право, - то можно взять любую другую сторону, кроме права - как  законами не запрещено - на север, на юг, на запад, на восток, вверх, но только не вниз. Кому падать охота? А чтобы устранить парадокс "право, где нет лево" - просто разъяснить, что в русском языке одно и тоже слово имеет столько понятий, что некоторые право путают с браво и начинают такое вытворять, что прямо вниз скатываются. Вот это уже второй парадокс - сменишь букву и в том регионе, где нет прАва, появляется орАва - группа лиц, не признающих правА.

ПАРАДОКСЫ. БУДУЩЕЕ - ИЗ ОБЕЩАНИЙ ПРОШЛОГО?
    Всё будущее, в том числе в технике, - от приоритетов талантливого человека или энергичных групп людей, приоритеты - от желаний имеющих финансовые рычаги или сильные убеждающие воздействия, желания  - из чувств, чувства - из навеваемых знаний о степени воспитанности и реальности желаний, воспитанность и желания - от направленности воздействий окружающих, последние - от прошедшего будущего, называемого теперь настоящим, созданного намеченными в прошлом личными приоритетами и обещаниями энергичных (в прошлом) людей, не созданными для всех каждого по их способностям и затраченному труду. 
Таким образом, сегодня будущее для всего - от обещаний, которые дают очередные энергичные люди!
  А как же каждый человек - сам творец своей судьбы?

ПАРАДОКСЫ ВОСПИТАННОСТИ.
   Воспитанность человека зависит от состояния культуры вообще, но в основном от окружающей действительности - от воспитанности рядом находящихся, от пейзажей, звуков, от ритма жизни, но в основном -  от направленности культуры - направленности всего, что перед глазами и выражено  в звуках - направленности на лучшее и прекрасное для каждого нас или наоборот, как сейчас - всё перемешивается специально или  кем-то как-бы специально, а получается разрушающе случайно.

ПАРАДОКСЫ НЕСУЩЕСТВУЮЩЕГО
Ищу тёщу: тише воды, ниже травы.

ПАРАДОКСЫ ХВАСТУНОВ.
Знания хвастунов настолько глубоки, что, если их копнуть, ничего не достанешь.

ПАРАДОКСЫ. САМОВЛЮБЛЁННОСТЬ И ЦЕНА
Любить себя – неблагодарное занятие. Невозможно получить взаимность. Но вот ценить себя просто необходимо, для этого надо лишь высоко взлететь. Человек высокого полёта дорого ценится – подобно шедевру.


ПАРАДОКСЫ ВОСПИТАНИЯ.
Воспитывать нужно несознательных людей, а сознательных – шлифовать докладными записками!

ПАРАДОКС  ПРОСЯЩЕГО И ПОЛУЧАЮЩЕГО.
   Говорят, что всякий просящий получает.
Но парадокс в том, что слова эти справедливы и несправедливы для любого случая жизни, поскольку не сказано в них: что просящий получает в ответ на просьбу – добро или зло, что-то или ничто? И получает от подающего или получает лишь информацию о том, что подающего нет?
   Вот, например, «ничто» получить  невозможно, поскольку когда кто-то в отчет на просьбу ничего не даёт, он в любом случае оставляет впечатление о себе, неважно какое. А это уже не ничто, а мысль в уме просящего. А мысль –   это не ничто, а кое-что – источник к дальнейшему размышлению  или действию: просить, сидя или стоя, дальше или уходить? 
     Проход иного, великого человека, например, рядом с просящим даёт такую силу иному просящему, что он сам себя исцеляет... так говорят.
   Человек похож на электростанцию: бежит мощный поток мимо – есть энергия,  кончается поток – нет энергии. Вот потому и ходят люди – просят себе энергии. Одни просят на вечный двигатель, другие – на изобретение, третьи – знают, что дадут не им, а они – дадут деньги за билеты, чтобы увидеть, услышать хотя бы, – того, кто заряжает их  своим талантом,  энергией и воспоминаниями на десятилетия.
Вот потому лучше не просить, а давать, но лучшим из лучших, гениальным людям, гениальным исполнителям, художникам, поэтам, музыкантам, изобретателям, мастерам всего лучшего. А для этого надо не смотреть только на тех, кто просит, и не ходить только там, где просят. Всех надо видеть, о всех мыслях всё знать.
    Этим занимаются сейчас учёные и не только они. Для этого немного надо.  Создать нечто, что о всём лучшем сразу бы сообщало тем, кто даёт поддержку.
    Возможно, это и есть прототип интернета будущего, этакая электронная база перспектив развития, в которую почти все почти всюду посылают и из которой все всё (за различную плату или бесплатно) принимают, но с различной степенью доступа к сведениям.
   Хотя очень многие хотят получать за то, что не их, не ими создано, не им принадлежит или вообще за то, чего нет и быть не может. Здесь уже нужен контроль, защита, противодействие и т.п.
   Но это уже второй рассказ. Рассказ о том, как создать Всемирное справочное бюро первооткрывателей лучшего с переводчиками, с составителями формул изобретений или матриц изобретений и сведениями о настоящих, не виртуальных, изобретателях. А ведь тогда изобретательские машины создавать можно! В знаниях обо всём – сила. В умении обучать лучшему – будущее.
   Вот и получается парадокс, что просят одни, а получать могут совершенно другие, проходящие мимо просящего и получающие от него энергию мысли: как сделать, чтобы он не просил, а создавал. Это ведь возможно!

ПАРАДОКСЫ. ГОВОРИТЬ ИЛИ МОЛЧАТЬ?
Если бы люди стали говорить, что они думают и выполнять, что хотят, то мир превратился бы в поля сражений, но в любом случае победили бы умеющие молчать.
Об их намерениях никто бы не знал - они б объяснялись взглядами.

ПАРАДОКСЫ КРАСОТЫ!
   Когда видишь очаровательный лик, то кажется, что за ним обязательно скрывается шоколадная конфетка и никогда не приходит в голову, что там может быть сверхтвёрдый леденец, о который сразу же, не зная, можно обломать зубки.

ПАРАДОКСЫ ИСТИНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.
   Трижды три – десять… но без единицы. /Серж Пьетро./
   Два плюс два равно нулю или не равно нулю.
   Короля делает свита, поэтому (с точки зрения свиты) король – ничто, свита – всё, но на эшафот ведут только королей. /Серж Пьетро./
   Время – это течение мгновений жизни внутри нас, вокруг нас и на границе с нами. Но течение жизни – это не только время (а ещё изменчивость и неизменность чувств, стремлений, волн, полей, частиц и даже других жизней /Серж Пьетро./
   Некомпетентность плюс некомпетентность равно некомпетентности /следствие 6 из принципа Питера/

ПАРАДОКС ЛЮБВИ к СЕБЕ.
Любить себя – любить многих в себе
Любовь к себе – собственные правильные мысли, правильные чувства, правильное хорошее самочувствие,

ЛИТЕРАТУРА о ПАРАДОКСАХ:
Бочвар Д. А. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. // Математический сборник.1944.Т.15 (57). Вып.3. С.369-384.
Бочвар Д. А. К вопросу о парадоксах и к проблеме расширенного исчисления предикатов Математический сборник.,1957. Вып.1. № 42 (84). С. 3-10.
Чупахин И. Я. Теория понятия и парадоксы // Вестник Ленинградского университета. Серия Экономика, философия, право. 1975. № 5. Вып. 1.С.55-63.
Ханагов А. А. Существуют ли в формальной логике парадоксы? // Природа. 1978.№ 10. С.118-124.
Костюк В. Н. Парадоксы: логико-семантический анализ // Системные исследования. Ежегодник-1979.М.,1979.С.344-357.
Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Пер. с английского В. В. Ульянова под редакцией В. В. Сазонова. М.,1990. 240 с., ил.
Грязнов А. Ф. «Скептический парадокс» и пути его преодоления // Вопросы философии.1989. № 12. С.140-150.
Пигулевский В. О. Символ, пародия и парадокс в неклассической философии // Эстетические категории и искусство. Кишинев,1989.-С.115-135.
Смирнова Е. Д. К вопросу об анализе семантических парадоксов // Вестник МГУ. Сер.8.Философия. 1993.№ 5. С.37-43.
Черепанов С. К. Основания и парадоксы: новый подход к решению проблемы логического обоснования математики. Красноярск,1995.
Козлова М. С. Джон. Уиздом. Концепция философских парадоксов // История философии.№ 1. М., 1997. С.111-120.
Панфилов В. С. Парадоксы Дао дэ цзина //Петербургское востоковедение Альманах. Выпуск 9, 1997. С.436-446.
Хлебалин А. В. Проблема основания и условия решения парадокса Крипке //Философия: история и современность.2004-2005. Сб. науч.тр. Новосибирск-Омск, 2005. С.3-13.
Анисов А. М. Логика. Парадоксы. Наука. // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С.156- 188.
Драгалина-Черная Е. Г. Путь к очевидности: парадокс и докса. // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С.234-242.
Краснопольская А. П. Роль парадоксов в дискуссионных моделях образования // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С.392-412.
Крушинский А. А. Парадоксы ГСЛ как рефлексия над спецификой китайского обобщения // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С.205-215.
Майданов А. С. Коаны чань-буддизма как парадоксы // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С. 318—353.
Новосёлов М. М. Аргументы от абстракции и парадоксы (интервальный подход) // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С. 243—286.
Шалак В. И. Против апорий // Противоположности и парадоксы (методологический анализ) М., 2008. С.189-204.
Chung-Ying Cheng. On Zen (Ch’an) Language and Zen Paradoxes // Journal of Chinese Philosophy. V. 1 (1973) pp. 77-102
Butzenberger Klaus. Some general remarks on negation and paradox in Chinese logic // Journal of Chinese Philosophy 20: 313—347 (1993)