Уроки физики в стихах для школьников и взрослых 21

КОЛЕБАНИЕ СТРУН

Колебание струны определённой частоты
Представляет волн сложение
Пучности содержат усиления,
и  содержат неподвижные узлы.
Слух  ласкает колебание струны
Но интересно, что движение фотона в яме и движение струны родны.
Чудны в природе волн сплетения
Законы многие сходны
И все мы знаем без сомнения
Что  музыка приятна для души.

Колебание струны в гитаре или в рояле создаёт стоячую волну, то есть волна распространяясь  до опор струны, отражается от них (при этом теряется полволны, так как отражённая волна идёт уже в противофазе) и уже две волны идут навстречу друг к другу, и наслаиваются друг на друга. При этом,  в стоячей волне есть узлы,  где колебаний струны не происходит,  и пучности, где амплитуда колебаний струны максимальны (что-то вроде интерференции волн). Если сложить два уравнения плоской волны Sx =A cos (;t-kx), то получим в итоге уравнение стоячей волны  Sx =Вх cos (;t+ф/2),где Вх=2A cos (kx-ф/2) и если   для удобства предположить, что струна закреплена в начале координат,  т.е.  х=0, и что разность фаз равна ;, тогда   получим  Sx =Вх cos (;t+п/2)=Вх sin;t ,где Вх=2A cos (kx-п/2)=2А sinkx –это пространственная составляющая, зависящая от координаты   х, и исходя из неё можно вычислить координаты узлов стоячей волны, при этом Вх должно быть равным 0, так как амплитуда не может быть равной 0, то sinkx должен быть равен 0, а мы знаем, что волновое число связано с длиной волны формулой  k=2п/л, соответственно  получим sin2пx/л=0 , а чтобы sin был равен 0 аргумент под ним должен быть равен любому целому числу  ; , т.е. 2 ; х/л=m ;, отсюда х=mл/2=2mл/2 - это координата узлов.  А чтоб найти координаты пучностей, синус должен быть равен 1, а аргумент под синусом должен быть для этого равен  ; /2+m ; =2 ; х/л, соответственно х=(m+1/2)л/2=(2m+1)л/2 . Более красиво считать, что в струне пучности соответствуют нечётному числу полуволн, а узлы чётному. Соответственно расстояние между соседним пучностями (так же как и между соседними узлами) равно одной полуволне л/2, а расстояние между пучностью и узлом равно четвёртой части волны, то есть л/4
Интересно, что график  движения микрообъекта в бесконечно глубокой потенциальной яме             (получается микрообъект то же как-будто закрыт между опорами гитары), такой же как и график движения стоячей волны в струне, и волновая функция то же имеет пучности и узлы. В данном случае сложное уравнение Шрёдингера можно преобразовать в более простое уравнение, похожее на уравнение стоячей волны, где волновая функция вычисляется по формуле:                Y=c sin( ;nx/a), где Y- волновая функция, с- амплитуда,  х- координата, n-главное квантовое число, а- ширина потенциальной ямы. Исходя из формулы видно, что в макромире при возрастании а - ширины потенциальной ямы, квантовое число n- стремится к бесконечности, и нам кажется, что электрон находится везде.