Французский дворик - 18 - Тридцать девять

Всю ночь лобзались Высь с Землёю.
Мой Дворик вдосталь напоён.
Струятся ручейки змеёю.
Росинок... где-то с квантильён*!

То есть достаточно для счастья.
Всем хватит: Розам и Коту.
Мной зачарованный участок
В подарочном застыл цвету.

Вот-вот очередная Веха:
День заключенья Брачных Уз!
Миг сотворения Успеха...
О! как ПРЕКРАСЕН наш Союз!!!

*Определение

Рас­смот­рим ве­ро­ят­ност­ное;про­стран­ство (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} ) и \mathbb {P} ^{X} — ве­ро­ят­ност­ная;мера, за­да­ю­щая рас­пре­де­ле­ние неко­то­рой слу­чай­ной;ве­ли­чи­ны X. Пусть фик­си­ро­ва­но \alpha \in (0,\;1). Тогда \alpha -кван­ти­лем (или кван­ти­лем уров­ня \alpha ) рас­пре­де­ле­ния \mathbb {P} ^{X} на­зы­ва­ет­ся число x_{\alpha }\in \mathbb{R} , такое что

    {\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha } ,
    {\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .}

В неко­то­рых ис­точ­ни­ках (на­при­мер, в ан­гло­языч­ной ли­те­ра­ту­ре) k-м q-кван­ти­лем на­зы­ва­ет­ся кван­тиль уров­ня k/q, то есть (k/q)-кван­тиль в преды­ду­щих обо­зна­че­ни­ях.
Замечания

    Если распределение непрерывно, то \alpha -квантиль однозначно задаётся уравнением

    F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,

где F_{X} — функ­ция;рас­пре­де­ле­ния \mathbb {P} ^{X}.

    Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных;интервалов равенство:

    {\mathbb {P}}\left(x_{{{\frac {1-\alpha }{2}}}}\leqslant X\leqslant x_{{{\frac {1+\alpha }{2}}}}\right)=\alpha .

    Для эмпирического;распределения \alpha -квантиль можно задать следующим способом:

    составляем вариационный ряд значений V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{{N-1}} (выборка имеет объём N), а также считаем, что V_{N}=V_{{N-1}} (это необходимо при вычислении 100% квантили по приводимым ниже формулам);
    находим величину K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor ;
    сравниваем K и \alpha \cdot N:

        a) если K+1<\alpha N, то полагаем x_{\alpha }=V_{{K+1}};
        б) если K+1=\alpha N, то полагаем x_{{\alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2;
        в) если K+1>\alpha N, то полагаем x_{{\alpha }}=V_{K}.

За­дан­ный таким об­ра­зом \alpha -кван­тиль удо­вле­тво­ря­ет при­ве­ден­но­му выше опре­де­ле­нию.

В неко­то­рых слу­ча­ях (при боль­шом объ­ё­ме вы­бор­ки и эм­пи­ри­че­ском рас­пре­де­ле­нии, близ­ком к непре­рыв­но­му) вме­сто ра­вен­ства K+1=\alpha N можно ис­поль­зо­вать при­бли­жён­ное срав­не­ние |K+1-\alpha N|<1/N (это поз­во­лит, на­при­мер, кван­тиль уров­ня 1/3 пред­став­лять как 0,33…333 при ком­пью­тер­ной об­ра­бот­ке дан­ных).

...блин... и всё это я пппонимаю... болею наверно...