Математические истории - Часть 2

ВЕЧНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Похожи "вечность", "бесконечность"
И также мозгу непонятны -
Одно понятие - конечно
Про – “без конца” и про – “без старта”,

Другое – “без начала”, “края”
Оно везде, оно повсюду...
Ну как понять умом внимая?
Представить даже как-то трудно.

А вот ещё - "ничто" понятие,
Попробуйте, представьте сами...
Платон и даже Аристотель
"Ничто" вообще не принимали.

Теперь мы знаем - не бывает
Пустот в пространстве, есть частицы,
Поля пространство занимают
Там гравитация резвится.

Начало было у Вселенной,
Конец наверно тоже будет.
Границы тоже не безмерны
Коль расширяется повсюду.

Так есть слова и есть понятия,
Но что они обозначают?
Так далеко от восприятия,
Что вряд ли кто-то понимает.


О БЕСКОНЕЧНОСТИ ИЛИ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

А знали вы, что Бесконечность
Бывает разного размера?
Неужто жили так беспечно
Не зная "Кардинальной Меры".

Нам Кантор тот секрет открыл,
Тогда он был в рассудке здравом.
Он доказал (и прав он был)
Что разные они бывают.

Ну например, сравним два ряда:
Все числа взяты по порядку,
А также чисел тех квадраты.
Чей ряд длиннее, вот загадка?

Ответ постой - они равны,
Ведь каждому числу есть данный
Его квадрат, вот и по праву
Равны они, не правда - странно?

Возьмем число один и два:
И взглянем, что там между ними -
Там дробных чисел череда
До бесконечности вместили.

Иррациональные есть числа,
Ну те, что вовсе без конца:
Как “Пи”, иль основание логарифмов…
Их бесконечность велика.

Намного больше чем обычных
Рациональных чисел ряд.
А вот вопрос: Есть среди чисел
Что больше всех других подряд?

Есть Гугол - мощное число:
Там - сто нулей за единицей,
Но и оно не перешло
Те "кардинальные" границы.

Велик был Кантор, обозвал
Всех чисел ряд он “Кардиналом”
Обозначение также дал
"Алеф" - что в Хибру первым знаком
 
Так вот, возьмите Кардинал
И возведите в ту же степень
Вы бесконечности предел
Определили, хоть проверьте.


ЧИСЛА НЕ БЕСКОНЕЧНЫ!

«Две вещи действительно бесконечны: вселенная и человеческая глупость.
Впрочем, про вселенную я ещё не уверен».
                Альберт Эйнштейн

О бесконечности учили
Во все века во всех краях,
Что помним мы, а что забыли....
Вопрос остался, знает всяк. 

Всё дело в том, что каждый мыслит
И меряет на свой аршин.
А в каждой дисциплине смыслом
Её иначе объясним. 

Для физика - пространство-время
Её пример и существо.
Но как Эйнштейн вверху заметил -
Сомнения были у него.

Одностороння бесконечность,
Если поверить в «Большой Взрыв».
Вселенной может светит вечность,
Но начался с чего-то срыв!

Для математика - «ряд чисел»
И в «бесконечности прямых»
Для бесконечности есть смысл -
Абстрактный мир, не для других.

Не бесконечны даже числа!
И есть огромное число,
Добавишь единицу в мыслях -
Нулём становится оно.  (1)

Для тех, кто верит «Высшей Силе» -
Она безмерна, без границ.
Ей всё подвластно в этом мире
Её познаешь - упав ниц. 

Для философских категорий
Наш «разум» лучший пример ей -
Он без границ. Но всё же стоит
Нам помнить, что сказал Эйнштейн.


(1) Профессор Дорон Цейльбергер убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».



ПАРАДОКС ГАЛИЛЕЯ

Известен многим Галилей
Наукой, как и наказанием.
Имел он множество идей
И в каждой он расширил знание. 

В теории чисел парадокс
Легендой был ему приписан.
В нём интереснейший вопрос
Для тех, кто ищет в цифрах смыслы. 

Мы знаем, каждое число
Возможно возвести в квадрат.
Отсюда ясно, что равно
Их множество. Число = квадрат. 

Но не из каждого числа
Возможно корень нам извлечь!
Вот парадокс для большинства -
Что чисел больше, их не счесть. 

Итак равны иль не равны
Квадратов множество всем числам?
В том, как вопрос поставим мы,
Так и решение отыщем. 

Те парадоксы нам в урок -
Не всё так просто в мире этом.
Их философия нам впрок
И Галилей с своим советом. 

;
КУРТ ГЁДЕЛЬ - ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ

Что знаем мы о Курт Гёделе?
А ведь для логики он бог,
И в математике сравниться
С Эйнштейном в физике лишь мог.
Двадцатый век начался странно,
Вот вам названия теорем -
И “Относительность" Эйнштейна.
“Неопределённость" - Гейзенберг.

Ну это физика.   Допустим.
Там много всякой пустоты,
Но математика стабильна,
Там не бывает суеты?

Но появляется Гёдель
Лет отроду так двадцать пять,
И заявляет: Верь не верь,
"Всё в математике не так”.
 
Что есть такие постулаты,
Не доказать их, хоть умри…
И правда это, иль неправда -
Не разрешить!  Пусть гений ты.

“Неполнота” сказал он твёрдо -
В любой системе она есть.
Ни арифметики законы,
Ни алгебра тут не перечь.

Почти столетие прошло…
Под эту формулу попало,
Не доказать "НЕТ-ЕСТЬ ЛИ БОГ",
Хотя ведь многие пытались.



ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ И ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН

Гипотеза Пуанкаре
Почти сто лет на всех давила -
Земле и Солнцу и Луне
Всё нестабильностью грозила.

И за решение проблемы
Был установлен приз – миллион…
Сто лет решали ту дилемму
Топологи всех стран, имён

Григорий Перельман явился,
Семь лет проблему он решал…
Решил он так, что и не снилось
Но миллион себе не взял.

И отказался от медали,
(Она ведь Нобелю равна),
С китайцами не воевал он
Присвоивших его талант.

Ушел сегодня от науки
“Проблему Века” разрешив…
Живёт он с мамой в Петербурге
Тот гений, всех нас поразив



ТЕОРЕМА ЭММИ НЁТЕР

Не всем знакомо это имя,  (1)
А право это очень жаль -
Она в ряду стояла с ними:
Эйнштейн и Дарвин, и Паскаль.

Её работы превосходны
И в математике сухой
Открыла новые подходы,
Каких не знал никто другой.

Что Дарвин сделал в биологии,
То физике она дала.
Эйнштейна, Фейнмана теории
Лишь частный случай их числа.  (2)

В университет нельзя девицам,
Нельзя им даже "в двери стук”,
Но как пришлось всем удивиться -
Ей дали "доктора наук".

Об “общей алгебре” известно?   (3)
Она создАла ведь её!
Без должности ей дали место
И не платили за неё.

Сам Гильберт взял её на службу
И как она там расцвела -
Её теория служит службу
Всем кому физика мила.

Симметрию она связала
И консервации закон!
Эйнштейн сказал, что то немало,
Фундаментальным станет он.

Открыли так анти-частицы,
Нейтрино, как и позитрон..
Симметрией теперь гордится
Физический любой закон.

Уволена она с позором
В Германии ей места нет,
Еврейке лучше под надзором
Или в изгнание, в Новый Свет.

Недолго побыла на свете,
Но осветила многим путь.    (4)
Не плохо взрослым бы и детям
В ту теорему заглянуть.


;
(1) Амалия Эмми Нётер (1882-1935) — немецкий математик, наиболее известна своим вкладом в абстрактную алгебру и теоретическую физику. Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьёдонне, Герман Вейль и Норберт Винер считали её наиболее значительной женщиной в истории математики

(2) Ричард Фейнман  1918 — 1988 — американский учёный физик, лауреат Нобелевской премии (1965). Основные достижения относятся к области теоретической физики. Один из создателей квантовой электродинамики.

(3) Общая алгебра изучает алгебраические системы (алгебраические структуры) и редуцировать их до максимально абстрактных форм. Целью Нётер было понять, как математические идеи коррелируют друг с другом и построить общие математические структуры

(4)  А. Эйнштейн в заметке на её смерть отнёс Нётер к величайшим творческим гениям математики

(5) Теорема Нётер в теоретической физике – то же самое, что и естественный отбор в биологии.
Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:
 - однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
 - однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
 - изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
 - калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

 
ТЕОРИЯ ХАОСА И КАТАСТРОФЫ

"От Хаоса до Катастрофы
Один лишь шаг" - закон гласит.
Математические строфы
Пытаюсь с жизнью совместить.

Живем мы в Хаосе Вселенной -
Частиц, молекул, метеоров…
Знакомы с атомов движением
Мы с школьных лет, спасибо Бору.

И те частицы лишь подвластны
Статистике - Что, где, когда?
Лишь с вероятностью согласна
Теория Квантова всегда.

Так что есть хаос в самом деле?
- Процесс линейности лишен,
И минимально изменение
К большим последствиям ведет.

Пример - лавина, взрыв гранаты,
Иль биржи, акций поведение.
Хоть ожидаем результаты,
Но только в первом приближении.

А что же всё же Катастрофа?
Не нелинейность, а обрыв -
Статистика здесь не подмога,
Здесь - вероятности разрыв.

Примеры - гибель динозавров,
Титаник, смерть на поле боя,
Непредсказуемо, но часто
Бывает в жизни и такое.

Наш мозг природой так устроен,
Что предсказать легко он может
То, что линейно происходит.
Что - нелинейно, то тревожит.
Один лишь шаг, но мы не знаем
Где и когда случится он…
Кому-то вера помогает.
От Хаоса и Катастроф?


ЛОГИКА

Логика - вот дар оставлен
Нам Аристотелем в наследство -
Он Александра был наставник
И также основал Лицей он.
 
Логично мыслим мы не часто,
Хотя пытаемся, конечно,
Но наша речь порой не властна
Над Логики структуры вечной.

Вот - дважды два - всегда четыре,
Везде, повсюду и всегда,
Живешь ли ты в подлунном мире
Иль то далекая звезда.

Вот физика - другое дело,
Любой закон пока стоит,
Другим замените вы смело
Лишь все он факты подтвердит.

Но есть процессы во Вселенной
Что предсказать пока так сложно.
Есть мнение, что несомненно
Решение просто невозможно.

Наш мозг легко распознаёт
Процесс линейный или плавный,
Предскажем мы комет полёт -
Причина-следствий-результаты.

Не все процессы так уж плавны:
Stock market - бабочки эффект,
Чуть ошибись в исходных данных -
Весь результат сойдет на нет.

Процессы эти не логичны,
И прямо скажем хаотичны.
Статистика здесь не поможет,
Лишь гороскоп для вас, быть может.

Другой пример: разрыв событий,
Мы катастрофой их зовем.
Землетрясение, лавина
Цунами... Всё, что мы не ждем.

Бессильна Логика помочь,
И математика бессильна,
Нам избежать тех бед не в мочь,
Тем Катастрофы и всесильны.

Все же чтим мы Логику венца
Что большей частью служит верно.
Но не понять всё до конца.
Поверить что ль в Творца наверно?


АПОРИИ ЗЕНОНА и ДАО

Зенон Элейский нам известен, (1)
Как составитель порадоксов -
Апорий - как их знали греки,
Вопросов нерешимых, сложных.
 
Я пересказывать не буду,
Известны вам они конечно
Пространство, время очень трудно
Понять, как впрочем, бесконечность.

Геометрический ум греков
Не в состоянии представить,
Что с интегральным исчислением
Решения, в общем, тривиальны.

Две тысячи лет должно пройти
Пока Ньютон, а также Лейбниц
Решение нужное нашли
Для апорИй, для тех волшебниц.

Дискуссий много и трудов,
А также сотни диссертаций
Тех парадосов был улов
Так утверждал философ Рассел  (2)

Их сущность до сих пор склоняют
В “теории множеств” уточнить,
Но всё же их не понимают,
Как чувством логику постичь?

Все критики тех парадоксов
(И Аристотель в их числе)
Признали - логика Зенона
Безукоризненна вполне.

Пространство, время и движение
Зенон поставил под вопрос.
И в Даосизме то же мнение
И тот же древний парадокс.


(1) Зенон Элейский (Элеатский; (ок. 490 до н. э.; Элея, Лукания, — ок. 430 до н. э.) — древнегреческий философ, ученик Парменида, представитель Элейской школы. Знаменит своими апори;ями, которыми он пытался доказать противоречивость концепций движения, пространства и множества. Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время

(2)  Бертран Артур Уильям Рассел, 3-й граф Рассел (англ. Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell; 18 мая 1872 года, Треллек, Уэльс — 2 февраля 1970 года, Уэльс) — британский философ, общественный деятель и математик. Известен своими работами в защиту пацифизма, атеизма, а также либерализма и левых политических течений и внёс неоценимый вклад в математическую логику, историю философии и теорию познания. Менее известны его труды по эстетике, педагогике и социологии. Рассел считается одним из основателей английского неореализма, а также неопозитивизма.



ЗАДАЧА ВИЗАНТИЙСКИХ ГЕНЕРАЛОВ

Есть в криптологии задача  (1)
И для пытливого ума,
И технологий много значит -
Что "правда" объяснит она.

Она изменит интернет
И все трансакции с валютой,
И кражи все сведёт на нет...
Задача - решена как будто.   

Её понятно обьяснить
Поможет притча Византии -
Её пытались защитить
В тяжёлый час.  Что было с ними? (2)

Есть на позициях десять армий
И в каждой храбрый генерал.
Договориться об атаке,
Совместно, чтобы каждый знал!

Атака вместе - есть победа,
Отход совместный - передых,
Атака частью - бесполезна
И поражением грозит.

Проблеме в том - средь генералов
Предатель есть и не один.
Их слову доверять не надо,
Но как узнать врагов, своих?

Идея та, что посылают
Все генералы всем письмо
В котором «честно» сообщают
Своё количество полков. 

Условие - честный полководец
Шлёт честно данные свои
А враг, туманит и неточно
Меняет данные внутри.

Чтобы решить, кто друг, кто недруг
Опять обмен идёт письмом
И каждый генерал проверку
Проводит, кто соврал при том.

При совпадении посланий
Понятно, друг их написал...
А разница и без стараний
Увидишь сразу -  кто соврал.

Распределённой компьютацией
Зовут сегодня метод тот,
Где делят знания на части
И прячут каждый - "в уголок”.

Никто не знает полной правды,
Решает дружно большинство!
Так демократии бывшей лавры
До криптологии дошло!


(1) Криптология  — наука, занимающаяся методами шифрования и дешифрования.

(2) Задача византийских генералов — в криптологии задача взаимодействия нескольких удаленных абонентов, которые получили приказы из одного центра. Часть абонентов, включая центр, могут быть злоумышленниками. Нужно выработать единую стратегию действий, которая будет выигрышной для абонентов.

Византия. Ночь перед великим сражением с противником. Византийская армия состоит из
N легионов, каждым из которых командует свой генерал. Также у армии есть главнокомандующий, которому подчиняются генералы.

В то же самое время, империя находится в упадке, и любой из генералов и даже главнокомандующий могут быть предателями Византии, заинтересованными в её поражении.

Ночью каждый из генералов получает от предводителя приказ о варианте действий в 10 часов утра (время одинаковое для всех и известно заранее), а именно: «атаковать противника» или «отступать».

Возможные исходы сражения:

1. Если все верные генералы атакуют — Византия уничтожит противника (благоприятный исход).
2. Если все верные генералы отступят — Византия сохранит свою армию (промежуточный исход).
3. Если некоторые верные генералы атакуют, а некоторые отступят — противник уничтожит всю армию Византии (неблагоприятный исход).
4. Также следует учитывать, что если главнокомандующий — предатель, то он может дать разным генералам противоположные приказы, чтобы обеспечить уничтожение армии. Следовательно, генералам лучше не доверять его приказам.

Если же каждый генерал будет действовать полностью независимо от других (например, сделает случайный выбор), то вероятность благоприятного исхода весьма низка.

Поэтому генералы нуждаются в обмене информацией между собой, чтобы прийти к единому решению.



СТАТИСТИКА

Статистика не ошибётся,
В ней цифры говорят сильнее
Где Гаусса кривая гнётся
Там результат её больнее.

Статистике все поддаётся:
И населения прирост,
Как валовой продукт даётся,
И урожай, что через год.

Нормальное распределение
Известно более всего -
Графически любой сумеет
Как колокол понять её.
 
Под этот колокол всё ляжет -
И интеллекта градиент,
Как много слов цензурных скажет
Иной поэт иль претендент.

Как много гениев родится,
И идиотов вокруг нас...
И вероятность единицы
Статистика обманет нас.

Нужны Статистике пространства,
И данных ряд, что без конца...
Вот эти данные начальство
И подтасует без стыда.
Вот здравый смысл  - есть усреднение,
Что думает мудрец и шут,
А в результате уравнения
Выигрывает только плут.


УСРЕДНЕНИЕ

Поставлено сегодня всё
На статистические графы -
Есть усреднённое бревно,
Есть усреднённая рубаха.

Вот усреднённый человек -
Народа верный представитель;
Он избиратель и успех
Понять его. Вот средний житель:

Он не хорош, но и не плох;
В нём нет достоинств, недостатков;
Не глуп и не умён. При том,
Имеет среднюю зарплату.

И пол в нём тоже усреднён,
Как впрочем и ориентация...
Такое среднее "оно"
Статистика решит задачу.

Имеет усреднённый вес
И рост по мерке усреднённый;
Женат порой, порою нет -
Статистикой вопрос решённый.

Он в среднем пьёт и в среднем ест,
И он по среднему гуляет.
Он политически везде -
Быть в средней партии желает.

Не "против" он, но и не "за";
Он телевизор смотрит часто
И из любимых передач
Мультфильмы, спорт под кружку кваса.

Имеет дробное число детей
Законных и сторонних.
Живёт без мнений и страстей
Обычной жизнью усреднённых.

Живет он в среднем ничего
И умирает в средних летах;
С болезней средней у него
Лишь статистически известной.

И на него галоши шьют,
Одежды, телепередачи.
Лишь для него певцы поют
И все политики кудахчут. 

Он - население страны,
Её оплот, надежда, гордость!
Все мудрецы и все шуты
Усреднены - святой и сволочь.

Там я и вы, и все вокруг -
Себя навряд ли кто узнает,
Но ведь статистики не врут,
А просто всех нас усредняют.



УСРЕДНЁННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ

Читал я об одном законе,
Что Бог дал миру интеллект
И как энергию Ньютона
Одно количество на всех.

Когда-то было очень мало
Людей, и Гений был вокруг:
То древних греков посещал он,
Он римлянам был верный друг.

Особенно при Возрождении,
Потом всё реже - много вас…
С увеличением населения
Ум делится во много раз.

Умны все вместе все китайцы,
А раньше лишь Конфуций был…
От Леонардо - итальянцы,
Вы понимаете мотив?

Чем больше нас - ума всё меньше
Есть усреднённый общий смысл -
Один мудрец с толпой невежей -
Вот демократии кумир.



БРИТВА ОККАМА

Научный не-научный принцип -
Зовётся “Бритвой он Оккама”.  (1)
Идея - "не используй лишнее,
Простейшее решение - право.”

Хотя приписано Оккаму,  (2)
Но знал тот принцип Аристотель.
А юный Лейбниц аксиому
Развить и уточнить позволил.  (3)

Презумция эта, тем не мнение,
Работает две тысячи лет -
Простейшее из двух решение
Считалось правым.  Не у всех!

В вопросах важных теологии -
“Что есть душа?” - какой совет?
Реакцией химии, не более
И сетью клеток - есть ответ.

Ответ религии много проще -
Оккаме он бы подошёл…
Но Бог науке не помощник
И нету в фоомулах его.  (4)


(1)  Бритва Оккама (иногда лезвие Оккама) — методологический принцип, получивший название от имени английского монаха-францисканца, философа-номиналиста Уильяма из Оккама (англ. William of Ockham; лат. Gulielmus Occamus; фр. Guillaume d'Ockham ок. 1285—1349). В кратком виде он гласит: «Не следует множить сущее без необходимости» (либо «Не следует привлекать новые сущности без крайней на то необходимости»).

(2)  Уильям Оккам (или Оккамский) (англ. William of Ockham; ок. 1285, Оккам, графство Суррей, Англия — 1347, Мюнхен, герцогство Бавария, Священная Римская империя) — английский философ, францисканский монах из Оккама[1], маленькой деревни в графстве Суррей в Южной Англии.

(3) С номинализмом выражение впервые ассоциировал молодой тогда немецкий учёный Г. В. Лейбниц, — по-своему истолковав труды своего учителя Якоба Томазиуса, — в своей знаменитой диссертации, опубликованной в 1670 году.

(4) Альберт Эйнштейн так сформулировал принцип бритвы Оккама: «Всё следует упрощать до тех пор, пока это возможно, но не более того».



МАТЕМАТИКА И ПРИРОДА

С далёких самых древних пор
Пытаются найти отгадку
Открытия - изобретения спор:
Что мы внесли в природы кладку?

Вот Математика к примеру
Зависит ли она от нас?
А можно все без чисел мерять?
К чему нам Алгебра сдалась.

Но интересно что природа
Пусть эволюция, пусть Бог
Математической структурой
Написан весь её урок.

По эллипсу летят планеты -
Ну что им Кеплера закон,
И постоянна скорость света
Пришёл Эйнштейн иль не пришёл.

И дважды два - всегда четыре
И на Арбате, на Луне
Бином Ньютона не забыли?
А он работает везде.

Существовал он до Ньютона,
Пусть даже не было б Земли,
Нет Гравитации предела -
Не важно - знаем это мы.

Вот так Америка жила
Прекрасно даже без Колумба,
Земля до нас давно была
И после нас конечно будет.

Не верит в чудеса наука -
Не трудно это объяснить:
Законы есть тому порука
И в силах нам их все открыть.

Но этот факт, что мир логичен
И познаваемый умом,
Что мы способны на открытия -
Вот это чудо - в нём живем.

Мир - математике подвластен,
Но почему? Вот чудеса...
Константы есть - их смысл неясен,
Их убери - и мир погас.

Так почему нам мир доступен?
В нем элегантность есть и смысл...
И если ты чему научен
То чудо это - наша мысль.


ПЕРЕД ОТКРЫТИЕМ

Мы в механической вселенной
Живём со времени Декарта,
Как механизм часов отменный,
Что предсказуем каждым тактом.

Всё подчиняется законам,
Что Ньютон мудрый нам открыл.
Послушно всё, но бездуховно!
Сознание, мысль... Декарт забыл.

Ну не забыл. Он нам оставил
Задачу трудную решить -
Сознанием нашим что же правит?
И есть ли цель для нас, чтоб жить?

Откуда к нам пришло сознание?
Ведь раньше миллионы лет
Прекрасно жили динозавры
По эволюции иль нет.

Сознание наше - что с ним будет,
Когда не станет больше нас?
Сольётся с массой бывших судеб?
Иль станет призраком в тот час?

Мне кажется, что мы стоим
Перед открытием столетий -
Обьединить духовный мир
С Декартовским противоречием.