Озарения, ошибки и доказательства

1. Будучи математиком, я вынужден в своей работе постоянно опираться не на доказательства, а на ощущения, догадки и гипотезы, переходя от одного факта к другому при помощи того особенного вида ОЗАРЕНИЯ, который заставляет усматривать общие черты в явлениях, быть может, кажущихся постороннему вовсе не связанными между собой.
               
2. ОШИБКИ являются важной  и поучительной частью математики вероятно, важной  настолько же, насколько  важны ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Доказательства играют в математике <лишь – Н.С.> такую же роль, как правописание (или даже чистописание) в поэзии.  Математические работы состоят из доказательств, как стихи из букв.
                Виктор  Игоревич  Арнольд
               
               

Еще недавно многие считали хорошими математиками тех, кто в уме перемножает гигантские числа (хотя в некоторых очень глубоких разделах встречаются только целые числа первых  десятков, - скажем, в топологии или геометрии).   Сейчас, вероятно, перемножают на компьютерах, и соответственно с ними связывают представление о математиках.

Приведенные выше слова ученого класса «супер-супер-элита» открывают нам  совершенно иной, удивительный мир, прекрасный и бесконечный.  Постараемся чуть приблизиться к нему, кратко комментируя эти и другие высказывания известных  математиков.  Ключевыми словами для нас будут: озарения, ошибки и доказательства.

Как видно из текста, озарением автор называет любое усмотрение
неизвестных ранее связей между явлениями или методами, возможность их синтеза итп. Вот пять минут назад не знал, а сейчас что-то забрезжило, - возможно, и ошибочно.  В любом случае впереди – большая работа, иногда длительная (и даже оставляемая другим поколениям ).  Но важно, что откуда-то возник «центр кристаллизации», вокруг которого могут собираться и проясняться мысли.  Представляется, что вероятность такого прорыва зависит от особенностей личности, увеличивается с опытом, расширением кругозора, интенсивностью и длительностью предварительного обдумывания…  Но алгоритма, правила, пусть очень сложного, позволяющего достичь такого результата, нет в принципе.  И сколько бы успехов не было позади, нет гарантии, что озарение посетит тебя и в новой задаче…

Насколько позволяет мой кругозор, я вообще вижу тут сплошные загадки.  Вот, скажем, взял я почти наугад одну научную книгу в библиотеке коллеги,  раскрыл ее на платформе в ожидании электрички, - и вдруг понял, что делать и как объединить разные методы.  Спрашивается: какую роль сыграли здесь платформа и электричка? Если бы поехал на автобусе – вышло ли бы нечто похожее, или придумался бы совсем другой путь, или вообще ничего: «не той бы улицей прошел, тебя не встретил, не нашел»?
Нет ответа.

В процессе генесиса новых идей важно не ограничивать себя, не бояться совершать ошибки.  Время задуматься о корректности наступит позже. Арнольд приводит случаи, когда ошибочные результаты стимулировали появление новых, интересных (и уже верных, конечно) теорем и направлений. Он заканчивает рассуждение в характерном для него полушутливом стиле: «Я мог бы привести десятки более новых примеров ошибок в знаменитых работах, если бы не опасался за свою жизнь».

Вероятно, именно опасность «зажатия»  мышления имел в виду и Нильс Бор, предупреждая: «никогда не выражайся точнее, чем ты думаешь».   И еще: если утверждение имеет глубокий смысл, то и противоположное ему – тоже глубоко.

По Арнольду, именно генерация, неалгоритмизуемое усмотрение новых связей между разными разделами математики является ее высшей и наиболее креативной частью.  На этом пути есть несколько видов препятствий.  Первая – чрезмерная и все возрастающая специализация, дробление единой – по его мнению – науки на мелкие части.

Далее, Арнольд приводит слова И.М.Гельфанда: «Математики никогда не оценивают новых идей, принимается во внимание лишь последний шаг восхождения к вершине».  Это напоминает слова Тита Ливия: «Всегда считается, что побеждает последний вступивший в бой отряд».  В наиболее четком виде это проявляется в таком виде: неоднократно Арнольд спрашивал у (зарубежных) ученых, не знают ли они доказательства только что рожденных им идей. После того обнаруживал в журналах  работы этих математиков с доказательствами, без упоминаний подлинного автора идей.

Впрочем, он приводит и более жесткую формулировку М.М.Постникова:  «Наука никогда не принимает новых идей, она борется с ними» с таким своим комментарием: математики, подковывающие в данный момент лошадей, естественно, негативно реагируют на лимузины.

Трудно комментировать то, что происходит на заоблачных вершинах науки.  Видимо, далеко не все способны к безудержной генерации идей и ограничиваются «детализацией» и совершенствованием имеющихся, что тоже небесполезно.  По своему скромному опыту знаю, что статья, где уточняется или дополняется что-то известное, легче проходит рецензентов, чем содержащая синтез каких-то идей и\или методов, пусть и известных.

Вот мы и добрались до этапа доказательств. Из предыдущего видно, что они оцениваются Арнольдом не так высоко, как озарения, даже приводящие к ошибкам.

Не стоит воспринимать это слишком буквально. Во-первых, это – необходимый заключительный этап работы.  Во-вторых, и он может быть очень трудным и длительным.   И потребовать творчества для создания и\или синтеза методов – как то было с теоремой Ферма или гипотезой Пуанкаре. Правда, обе эти задачи очень просты по формулировке.

Вообще, математика очень разнообразна и практически бесконечна (вызывают умиление подзаголовки на учебниках: вся высшая математика).  Есть и такие разделы, например, теория чисел, где сформулировать проблему могут и школьники.  Скажем, есть простые (не имеющие делителей)  числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19.  Спрашивается: конечно или бесконечно число таких пар?   Здесь творческую часть  составит придумывание методов решения. Возможно, к задачам такого рода относятся не имеющие связи с физикой.

Приведу по памяти воспоминание академика В.И.Смирнова, пришедшего в гости к  академику В.А.Фоку.  Тот попросил немного подождать и, ходя по кабинету, думал.  Вскоре сказал, что он решил свою задачу, а доказательство проведет завтра.  Т.е. эти этапы для него были отчетливо разделены.  Думаю, на своем уровне многие теорфизики знакомы с такой ситуацией, только ошибаются чаще и задачи мельче…

Если говорить на школьном уровне – задача: «доказать теорему Пифагора» несравненно легче задачи «найти связь между длинами катетов и гипотенузы».  В первом случае хотя бы известно, о чем  начинать думать. 

Кажется, Кант говорил, что математика – это искусство тождественных преобразований. В то же время Флоренский отмечал неизбежность логической щели при рождении чего-то нового.   По-видимому, оба утверждения непротиворечивы в следующем смысле.  Новые идеи рождаются озарением, внелогически.  В условном бесконечном пространстве  всех возможных утверждений появляется точка, к которой нужно стремиться из исходной (от всего нам известного).  В процессе же доказательства, т.е. прокладывания пути от исходной к конечной точке , мы, действительно, должны обеспечить корректность каждого шага. Например, в каждом равенстве левая и правая сторона обязаны быть равны.  (В теорфизике же эти щели в какой-то степени  остаются, позволяя возникать новым теориям)

Если же нам неизвестно, к какой точке-утверждению стремиться, придется  изучать множество, - возможно, бесконечное, разных направлений…

Любопытно: в Интернете я нашел на слова «Математика – это искусство тождественных преобразований» вместо фамилии автора   более миллиона солидных рецептов, как преобразовывать.  Что же, правописание (а потом, и подковывание лошадей) освоить необходимо.  Если же кто захочет почувствовать, что такое настоящая математика, как поэзия – советую начать с лекций для школьников, прочитанных Арнольдом и опубликованных в виде тонких брошюр  (издательство МЦНМО). Они доступны в магазинах и не требуют каких-то необычных для школьника знаний. Студентам можно посоветовать классическую книгу «Математические методы классической механики».  Возможно, на каком-то этапе чтения станет трудно. Не стоит смущаться: во-первых, вы можете вернуться к книге позже; во- вторых, и сам Арнольд писал по другому поводу:  «Я слышал, что мои первоначальные гипотезы, которые привели к этим теориям, в настоящий момент доказаны. К сожалению, я не в состоянии понять технические детали этих доказательств».

Закончим размышления приведенным Арнольдом несколько провокационным высказыванием   величайшего математика, механика и теорфизика Анри Пуанкаре:

Только неинтересные задачи могут быть сформулированы четко и решены полностью.


               
О Пуанкаре и отчасти об Арнольде:  https://www.proza.ru/2015/08/28/951
О Фоке и Смирнове:
https://www.proza.ru/2016/08/11/970