Стать богом математики

Посвящается всем любимым Единой программой и любящим познание, имеющим интерес, трудолюбивым и развивающим в себе таланты и гениальность, конструирующим свой райский мир и стремящимся стать богами.

«И творец, и вседержитель, и всеуправитель, и истинное знание – это Единое, а боги –лишь земные проявления служения Единому;
идея Единого не может быть познана без противоречий человеческим умом; единственным языком Единого является математика».
Парменид и элеаты, Платон

«Единое – Амон, имеющий миллионы проявлений, но остающийся непроявленным».
Жрецы Древнего Египта

«Единое выражается в числах, а числа порождают миры;
вечны числа, а не миры и мы;
познание чисел делает нас всемогущими».
Пифагор и пифагорейцы

Математика – удивительный предмет, наука о возможном и даже невозможном, королева наук, Богиня Истины Маат, внушающая уважение и почитание с самого раннего этапа познания. Рядом с математикой и знанием вообще человек как существо выглядит  довольно жалким: видит в 6 раз меньше, чем кошки, слышит и различает ноты намного слабее птиц, ума тоже маловато, чувствует кожей и нервной системой очень узкий диапазон вибраций, - по природным качествам человек уступает окружающим его животным почти по всем параметрам. Но есть одна спасительная ниточка, подключающая человека к высшему разуму, к единой программе вселенной почти напрямую, - абстрактное мышление. Конкретно, я полагаю, вся вселенная в той или иной степени мыслит. Но абстрактно, особенно абстрактно математически, «мыслит» только абсолют, сама программа. Как у человека как биоробота оказался доступ к кодам единой программы – великая загадка. Причём у отдельного человека абстрактное мышление не развивается – он остаётся вне коллективного мышления, познания и знания, вне истории науки дикарём, подобием «Маугли». А вот человечество в целом наделено такой способностью. Поэтому оно в лице интеллектуальной элиты не только верит в свою особую выделенность, даже избранность, но и доказывает свои утверждения и открытия, стремясь к истине. Оно умеет аккумулировать, проверять, помнить, передавать и использовать Знание. Оно – субъект познания. На этой планете оно пока выделено именно этим. Меня часто упрекают в принижении роли человечества, когда я подчёркиваю, что оно звено в эволюционной программе. Не больше и не меньше. Но когда и где оно воображает себя «сумасшедшим фортепиано, которое в мире одно» (по едкому замечанию Дидро в адрес Беркли), сотворённым по спецплану, исключительным и единственным, там и тогда начинается умственная патология, именуемая манией величия. Природа устроена так и столь множественно и разумно, что застрахована от последствий гибели своих частей и от потери разумности. Всякое звено эволюции наделено программой и соответствующими средствами, функциями. Если человечество будет продолжать вести себя дико, на уровне животных, погрязнет в войнах, раздорах, алчности, в установлении необоснованного права частной собственности на планету и её ресурсы, оно будет безжалостно сметено в полном соответствии с действием природных законов. Если же оно образумится, перестанет  вести себя дико, объединится под разумным управлением, превратит планету в желанный общий дом, направит все усилия на познание, на развитие науки, образования, будет осваивать космос и совершенствовать свою природу, возникнет шанс перехода в более высший вид, шанс исполнить своё высшее предназначение, сыграть достойно свою эволюционную роль. А для этого надо освоить и развить язык природы, язык вселенной – математику. Математиками, конечно, рождаются (в этом генетическая фиксация этапа эволюции) – нельзя научить пониманию и прозрению, дающимся свыше. Тем не менее я этой заметкой хочу показать, что даже если не иметь врождённой гениальности, но иметь желание, интерес и приложить труд, можно открыть много нового и стать с 9-10 лет великим математиком в её особо сложной и вместе с тем кажущейся самой простой фундаментальной области, называемой теорией чисел, или арифметикой.
Арифметикой занимались великие умы: Пифагор, Диофант, Евклид, Ферма, Мерсенн, Декарт, Эйлер, Гаусс, Риман, Харди, Рамануджан и т. п.  Говорят, что выдающийся математик («король математики») К. Ф. Гаусс, как только у него оказывалось свободное время, бросался к таблице простых чисел. Вот с них мы и начнём.
Русскоязычное название «простое число» не очень удачное. Имелась в виду синонимия: первые (primes), основополагающие, главные, фундаментальные числа. Сначала определим последовательность натуральных (или целых положительных) чисел: 1,2,3,… Затем введём арифметические операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Относительно операций сложения и умножения натуральные числа (их множество в целом) обладают «групповым» свойством: результат операции над натуральными числами даёт опять же натуральное число. А вот вычитание и деление таким свойством не обладают. Чтобы получать в результате вычитания натуральное число, необходимо ввести понятия порядка: больше, меньше. И только вычитание меньшего числа из большего даст натуральное число. Ещё сложнее обстоит дело с операцией деления. Не все натуральные числа в результате деления на натуральное число дают натуральные числа. Поэтому вводятся признаки делимости чисел. Среди натуральных чисел выделяются числа, которые могут делиться только на единицу и само на себя. Вот эти числа и являются простыми, самыми фундаментальными. Метод получения последовательности простых чисел, известный из древности как «решето Эратосфена», заключается в вычёркивании в последовательности натуральных чисел всех последующих, делящихся хотя бы на одно остающееся в последовательности простое число. Тогда оставшиеся после вычёркивания числа и будут простыми. Заметим, что этот способ получения последовательности простых чисел содержит операции деления и вычёркивания. И чтобы получить всю последовательность простых чисел, надо будет произвести эти операции бесконечное число раз! Такой алгоритм (последовательность операций) будем называть бесконечным в отличие от случаев, когда результат достижим после конечного числа операций (случай конечного алгоритма).
Построим две строки последовательностей чисел: в первой строке к - номер числа в возрастающей последовательности, во второй строке сама последовательность простых чисел как функция р=р(к):
к:   1,  2,  3,  4,     5,     6,      7,     8,   9,  10,   11,…,   30,   31,  32, …,    68,   69,   70, …
р:   2,  3,  5,  7,   11,   13,    17,   19, 23,   29,   31,…, 113, 127, 131, …,  337, 347, 349, …
Выделяются несколько простых чисел с порядковыми номерами 2, 5, 7, 10, 31, 69; почему, станет ясно, если ввести в рассмотрение результат деления простого числа на его порядковый номер, т.е. функцию  ф (к) =р(к)/к. Сначала кажется, что значение этой функции растёт с ростом порядкового номера, но именно при к = 2, 5, 7, 10 получаются локальные максимумы функции ф(к). Далее можно продолжить анализ «вибраций» функции ф(к). Например, при к=27 получается локальный минимум ф(27)=3.81…; при к=31 получается едва заметный локальный максимум (этот скачок я едва не пропустил, поскольку он проявляется только на четвёртой значащей цифре!): ф(30)=3.76…, ф(31)=4.0967…, ф(32)=4.0937...  При к=69  получается ещё один локальный максимум: ф(68)=4.95…, ф(69)=5.02…, ф(70)=4.98… За первый можно принять скачок ф(1)=2 (поскольку далее идёт локальный минимум ф(2)=1.5, начиная с которого до ф(5) включительно функция ф возрастает, затем она возрастает с ф (6) до ф(7) включительно, затем возрастает с ф(8) до ф(10) и т. д. и т. п.... Первый скачок на самом деле настоящим скачком не является: многие математики, в том числе и Эйлер, иногда для удобства решения некоторых задач включали в последовательность простых чисел и единицу, которая по сути не противоречит определению простого числа. Я тоже иногда включаю в последовательность простых чисел единицу, присваивая ей нулевой номер, – тогда ф(0)=1/0 стремится к бесконечности и далее убывает, так что ф(1)=2 лежит в интервале убывания этой функции, а ф(2)=1.5 является локальным минимумом этой рациональной (т.е. значения функции являются простыми дробями) функции от целочисленного аргумента.
И это наше первое скромное открытие! Я, действительно, не знаю, замечали ли это до меня (часто делят значение функции р(к) на число к, умноженное на логарифм к, тогда получается другая, более «сглаженная», приближенная к константе закономерность). Но уже можно ставить задачу: как построить алгоритм нахождения всех локальных максимумов и минимумов исследуемой функции ф (к), сколько может быть их: конечное или бесконечное число?
И этот пример показывает неожиданное поведение последовательности простых чисел. Поэтому регулярное обращение к таблице простых чисел, подобно Гауссу, на досуге может приводить к новым открытиям!
Доказательство бесконечности последовательности простых чисел (точнее, существования простого числа, не находящегося среди предъявленных) имелось в «Началах» Евклида, где.
использовано число, равное произведению всех простых чисел до некоторого простого числа включительно, на котором бы вся последовательность простых чисел завершалась: Пр=2х3х5х7х11х13х…хp. Произведение всех чисел последовательности натуральных чисел до числа к включительно называют к-факториалом и обозначают к! Аналогично произведение всех чисел последовательности простых чисел до числа р включительно будем называть фундаментальным факториалом и обозначать Пр. Ясно, что полученное таким образом число Пр не является простым. Оно является чётным (делится на 2 без остатка). Число Пр+1, большее единицы, должно иметь хотя бы один простой делитель р. Но он не может быть одновременно делителем и числа Пр (на единицу меньшего). В таком случае он не может оказаться среди первоначального набора простых чисел. Стало быть, этот набор не является исчерпывающим и должен включить в себя ещё и простой делитель р. Полученное противоречие и доказывает бесконечность множества простых чисел. Вот такое простое и остроумное доказательство, изложенное Евклидом! Позже были предложены и другие доказательства.
Теперь сформулируем задачи: когда число Пр+1 является простым, а когда нет (чтобы читатель не запутался, заметим, что теперь, после доказанной бесконечности последовательности простых чисел, у числа Пр+1, если и нет простых делителей от 2 до р, вполне могут оказаться простые делители в виде нечётных чисел от р+2 до  Пр-1); когда число Пр+3 является простым, а когда нет; когда оба числа Пр+1 и Пр+3 являются простыми, и каково число последних пар? Последняя задача в теории чисел может быть представлена как частный случай проблемы «близнецов» (т.е. пар простых чисел, отличающихся по величине на 2), к которой мы ещё вернёмся. Так мы, исследуя поведение простых чисел, приходим к открытию и формулированию фундаментальных проблем теории чисел.
В юные годы я, обнаружив заблуждения и ошибки великих математиков-гениев, стал не только исправлять эти упущения, но и конструировать новые проблемы и их решения элементарными методами, а также стал реконструировать забытые подходы.  В те годы это воспринималось в штыки. И даже возникли лжедоказательства невозможности решения некоторых диофантовых (т.е. в целых числах) уравнений, в том числе знаменитой великой проблемы Ферма (не хочу теперь «метать бисер» и раскрывать контрметод доказательства средствами почти элементарной математики). Тогда я решил пойти другим путём: вместо демонстрации оригинальных подходов к решению известных проблем предлагать ещё более сложные проблемы. Так, одно из моих обобщений великой проблемы Ферма до сих пор ввергает в ступор специалистов высшего ранга и будет ещё тысячу лет привлекать гениев для своего решения. Великую теорему Ферма доказал в октябре 1994 г. Эндрю Уайлс (Andrew John Wiles), не обращая внимания на травлю ферматистов официальной наукой.  В защиту многократно разоблачаемых и уничижаемых ферматистов, среди которых много безграмотных, но есть и вполне профессиональные математики, могу сказать, что почти все доказательства, достигнутые методами современной математики, со временем допускают упрощения и возможность более краткого и ясного изложения, а иногда даже допускают доказательства элементарными методами, что требует особого остроумия и гениальности. Разумеется, в теории чисел много задач, требующих для своего решения сложнейших методов всего арсенала современной математической науки (теории расходящихся рядов, теории идеалов, теории рядов Фурье, теории функций комплексных переменных, эллиптических функций, алгебры полиномов, теории множеств, теории групп, алгебраической геометрии и т.п.). Но то, что любой школьник, изучающий арифметику, может присоединиться и сам для себя заново реконструировать прежние и, продолжив свои усилия, сделать новые открытия в области теории чисел, является истинным чудом познания! Поэтому не стоит ждать и откладывать открытия на будущее, когда вы всё открытое до вас изучите: это займёт слишком много времени, вы постареете, а открытия сделать не успеете. Так что дерзайте здесь и сейчас!
Числа можно и нужно любить. С ними надо играть. Тогда они оживают. Нет ни одного числа, похожего на другое. Они могут удивлять. Они вечны. Общение с ними может доставить вам и наслаждение, и радость, и спокойствие, и возбуждение, и разочарование, и отдых, и труд, и чувство высшей гармонии, и возвышенную любовь… Пифагорейцы, наверно, первыми поняли, как много тайн и сюрпризов могут таить в себе числа. Их посредством можно понять и реконструировать всё и во вселенной, и в воображаемых мирах…
В принципе приведённых выше сведений уже достаточно, чтобы сформулировать новую гипотезу (я опять не знаю, формулировал ли кто-либо её до меня):
НЕ СУЩЕСТВУЕТ КОНЕЧНОГО АЛГОРИТМА (ФОРМУЛЫ) ТОЧНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВСЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Что это означает? Есть множество формул и алгоритмов получения простых чисел и кроме решета Эратосфена. Но одни из них требуют бесконечного алгоритма, другие определяют либо не всю последовательность, либо последовательность простых чисел с избытком, содержащим числа, отличающиеся от простых. Именно это имеется в виду в приведённой формулировке под термином «точное определение». Если иметь в виду аксиоматическое определение простых чисел, можно сказать, что нет конечного числа аксиом (неполнота аксиоматики). Для натуральных чисел, для арифметики в целом это показано в работах Гёделя. Конечно, с точки зрения требований точности на уровне современной математики, формулировка требует дополнительных пояснений. Например, получение нечётных чисел по формуле 2м+1 содержит бесконечный алгоритм, но формула может дать всю последовательность точно. Поэтому несуществование формулы является более сильным утверждением по сравнению с несуществованием конечного алгоритма. Но именно так (включая сильное утверждение) мы и сформулировали нашу гипотезу.
Теперь введём массовые (групповые) операции над последовательностями простых чисел. Пусть имеются две последовательности простых чисел. Мы будем записывать эти последовательности под последовательностью номеров в две строки одну под другой, но со сдвигом на несколько позиций (чисел). Эту операцию будем называть «сдвигом последовательности на л позиций. Введём затем операцию получения третьей (результирующей) последовательности путём почленного сложения по столбцам и деления получаемой суммы на два: н(к,л)=(р(к)+р(к+л))/2.
Получим следующую таблицу (для этой конкретной таблицы л=3):

к:                1,    2,    3,    4,    5, …
р(к):                2,    3,    5,    7,  11, …
р(к+3):                2,     3,     5,   7,  11,  13,  17,  19, …
н(к,3):                1,  3/2,  5/2, 9/2,   7,    9,  12,  15, …

На первый взгляд, никакой «приятно-логической» закономерности мы не замечаем.
Но начнём записывать таблицы при разных натуральных л начиная с л=1.
Тогда «вдруг» обнаруживаем (при к= 2, 3, 4 и л=1, 2, 3 легко получаем натуральные числа от 4 до 10, причём с повторениями), что при к начиная с двух и л начиная с единицы мы получаем все числа последовательности натуральных чисел начиная с 4.
Тогда мы приходим к гипотезе:
ЛЮБОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЧИНАЯ С 4 МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ ПОЛУСУММОЙ ДВУХ РАЗЛИЧНЫХ (НЕЧЁТНЫХ) ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Заметим, что начиная с 8 натуральные числа в виде полусуммы двух различных простых можно представить не одним способом, но число 19 является исключением; его можно представить в указанном виде только одним способом: (31+7)/2. 
Приведённое выше утверждение даже сильнее знаменитой гипотезы Гольдбаха о представлении любого чётного числа (начиная с 4) суммой двух простых (найдите отличие, объясните почему). А гипотеза Гольдбаха – одна их самых фундаментальных нерешённых задач в теории чисел…
Но на самом деле  простые числа допускают ещё более сильную гипотезу, нежели гипотеза Гольдбаха или её переформулировки:
ЛЮБОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ ПОЛУРАЗНОСТИ ДВУХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НЕЧЁТНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, ПРИЧЁМ МНОЖЕСТВО ЭТИХ ПАР ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ КАЖДОГО НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА БЕСКОНЕЧНО (а уж в виде пар необязательно последовательных, а с любыми номерами в последовательности простых чисел, можно найти тем более). Особый интерес представляет задача нахождения минимального номера простого числа, участвующего в этом представлении натуральных чисел. Возникает для исследований удивительная функция номеров простых чисел для представления натурального числа в виде полуразности последовательных простых чисел (с удивительными особенностями при представлении натуральных чисел, кратных восьми – см. 25ую проблему на рис.).
Целый каскад гипотез и проблем возникает при детальном изучении поведения функции
у(к) = [р(к+1) – р(к)]/2к (см. рис.). Разумеется, между числом g(n)=(n+1)! +1, если оно простое, и числом g(n+1)=(n+1)! +n+2 (или +3, при этом, конечно, n не должно делиться на 2 (или 3)), если оно тоже простое, окажется какой угодно большой интервал n+1 (или соответственно n+2). Заметим, что у(к) в силу больших номеров к, видимо, не будет превосходить предполагаемых в гипотезах и проблеме ограничительных величин. Это также совершенно новое, пока не доказанное утверждение (Четырнадцатая проблема автора. Эту проблему и другие проблемы, оригинальные открытия и результаты автора можно найти на сайтах: http://sites.google.com/site/albertaflitunov/ ).
Вы можете также заметить, что разности двух соседних простых чисел [р(к+1) – р(к)], просуммированные от к=1 до к=м и делённые на м, (т.е. средние для м разностей соседних простых чисел) стремятся к бесконечности как логарифм от м (доказательства Жака Адамара и Шарля Жана Валле-Пуссена, 1896 г.), причём сами разности к бесконечности не стремятся (Чжан, 2013 г.).
Заметим также, что для простых чисел-близнецов получается у(к)=1/к, и абсциссы локальных минимумов в точности совпадают с номерами первого числа в паре близнецов в последовательности простых чисел начиная с 3 (см. рис. к 16ой проблеме на сайте а значения самих локальных минимумов являются обратными величинами этих абсцисс, т.е. функция минимумов ведёт себя в точности как гипербола у(к(m))=1/k(m), где  m означает номер минимума, причём от этого номера поведение функции минимумов явно не зависит (см. график функции у(к) на рисунке). Функция минимумов не может оборваться, какими бы большими разности между их соседними абсциссами ни оказывались. Мало того, для простых чисел-близнецов, несмотря на то, что при возрастании номера «к» наблюдается перераспределение в пользу «новых» больших разностей соседних простых чисел (неблизнецов), относительная плотность близнецов остаётся большей по сравнению с большими разностями между простыми числами, т.е. при стремлении номера «к» к бесконечности вероятность нахождения чисел-близнецов на следующем большем, но ограниченном интервале стремится к единице (см. также 13ую-16ую,18ую, 19ую и графики к ним на сайте а на proza.ru - заметки «Магия простых чисел», «Ещё о простых числах», «Девятнадцатая проблема простых чисел»). Поскольку простых чисел бесконечно много, и, следовательно, бесконечно много разностей соседних простых чисел, то бесконечно много у функции у(х) значений (ординат) локальных максимумов и минимумов. А поскольку неограниченное (хотя и разрежающееся) число минимумов, соответствующих числам-близнецам, в точности лежит на бесконечной гиперболе у=1/к, то и число их абсцисс (соответствующее бесконечному числу ординат)  бесконечно, чем доказывается тезис о бесконечности последовательности простых чисел-близнецов (вот таким элементарно простым оказывается много лет ожидаемое доказательство).
Подобным образом мы можем приходить к открытиям, играя с простыми числами. Вы убедились, что порой для гениальных фундаментальных открытий достаточно знаний на уровне начальной школы?
Конечно, если вам посчастливится совершать новые открытия в области теории чисел, вы невольно будете возвращаться к сравнениям и анализу идей и поучительных просчётов гениев-классиков: Евклида, Диофанта, Ферма, Мерсенна, Декарта, Гаусса, Эйлера, Гольдбаха…
Возведите, например, 2 в степень 32, прибавьте к полученному числу единицу, а затем разделите результат (сам П. Ферма предполагал сначала, что это простое число) на простое число 641 – вы получите целое число, повторив опровергающее открытие 17ого века.  Иногда возникает удивление по поводу обнаружения новой закономерности: как её не могли не заметить такие гении, как Ферма, Гаусс, Эйлер? Дело, видимо, в том, что, нельзя аксиоматизировать арифметику. Закономерности простых чисел полны сюрпризов. И будут всегда привлекать новых гениев…
В качестве иллюстрации я прикрепляю свою 25ую проблему. Скачайте из интернета таблицу простых чисел хотя бы до 10 000 и, подобно Гауссу, развлекайтесь с ними – откроете много интересного. Сюрпризам не будет конца. Желаю любознательным удачи и скорейшего становления Богом Математики!