Великая теорема Ферма. Доказательство П. Ферма

Памяти МАМЫ

Противоречие: В равенстве A^n=A^n+B^n [...=(A+B)R] любой простой сомножитель r (r=/=n, простое n>2) числа R имеет (в базе n) единичное окончание 0...01 бесконечной длины.

Все вычисления проводятся в системе счисления с простым основанием n>2.
ВТФ доказывается для базового случая с AB не кратным n:
1°) C^n=A^n+B^n [...=(A+B)R или ...=(A+B)(nR)] (см. http://vixra.org/abs/1707.0174)), где
2°) числа A, B, C, R и A+B взаимно простые,
с помощью Теоремы о степенно-степенном биноме:
3°) Каждый простой делитель r (r=/=n) сомножителя R бинома
A^{n^k}+B^{n^k}=(A^{n^(k-1)}+B^{n^(k-1)})R, где числа A и B взаимно простые и k>1, имеет вид: r=dn^k+1 (доказательство см. в Приложении)

Доказательство ВТФ
Пусть r – простой сомножитель числа R, отличный от n.
Возьмем числа xr+A и yr+B из уравнений
4°) xr+A=A^{n^k} и yr+B=B^{n^k}, где х и у имеют целые решения (см. Приложение) и k сколь-угодно большое, и рассмотрим число
5°) D=(xr+A)^n+(yr+B)^n=(xr+A+yr+B)T, которое делится на r (т.к. A^{n^k}+B^{n^k} имеет сомножитель A^n+B^n, равный (A+B)R), а его сомножитель (xr+A+yr+B) не делится на r (см. 2°). Следовательно, число r является сомножителем числа T и, согласно 3°, имеет вид: r=dn^{k+1}+1 – для сколь-угодно больших k. Из чего следует истинность ВТФ.

У меня нет ни малейшего сомнения в том, что Пьер Ферма имел в виду именно это доказательство великой теоремы.
============
Мезос (Франция)
29 марта 2018
============
ПРИЛОЖЕНИЕ

Теорема о степенно-степенном биноме.
Каждый простой делитель (отличный от простого n>2) сомножителя R бинома A^{n^k}+B^{n^k}=(A^{n^(k-1)}+B^{n^(k-1)})R, где числа A и B взаимно простые и k>1, имеет вид: r=dn^k+1.

Доказательство
Допустим, что среди простых делителей сомножителя R есть делитель вида:
r=dn^{k-1}+1, где d не кратно n. Тогда числа
1°) A^{n^k} +B^{n^k} и, согласно малой теореме Ферма для простой степени r,
2°) A^{dn^(k-1)}-B^{dn^(k-1)} (где d четно) делятся на r.

Теорема о НОД двух степенных биномов A^{dn}+B^{dn} и A^{dq}+B^{dq}, где натуральные A и B взаимно простые, n [>2] и q [>2] взаимно простые и d>0, утверждает, что наибольший общий делитель (не считая n) этих биномов равен A^d+B^d .
В нашем случае НОД, кратный r, есть число A^{n^(k-1)}+B^{n^(k-1)}, которое является взаимно простым с числом R.  Следовательно, никакой сомножитель r вида
r=dn^{n^(k-1)}+1 не принадлежит числу R. Из чего следует истинность Теоремы.
***
Целое решение уравнения xr+A=A^{n^k} (и yr+B=B^{n^k}).
Обозначение: V // r – число V делится на r и r является сомножителем числа V.

Из xr+A=A^{n^k} ==> A(A^{n^k-1}-1) // r ==>
число n^k-1 // r-1 (требование малой теоремы Ферма для делимости A^{r-1}-1 на r), т.е.
n^k-1=v(r-1), где r-1=(s_1)*(s_2)*…*(s_m) и s_1, s_2, …s_m – простые сомножители числа r-1. ==> k=M*(s_1-1)*(s_2-1)*…*(s_m-1) – требование малой теремы ферма для делимости степени n^k-1 на числа s_1, s_2, …s_m. После этого A(A^{v(r-1)}-1) // r ==> откуда находим x=A(A^{v(r-1)}-1)/r. Таким образом, по заданному простому числу r мы находим сколь-угодно большое k, что xr+A=A^{n^k}.
Думаю, нет необходимости комментровать виртуозность мышления П.Ферма.

===============

P.S. Удобочитаемый текст в Worde здесь: