Теорема Ферма. 22. Красота и надежда

Теперь, когда с полной уверенностью найдено доказательство одного из двух случаев Великой теоремы Ферма, можно взглянуть хотя бы на ту часть идей, которые имеют отношение к реальному доказательству. Вообще-то, не может не поражать тот факт, что при простейшей формулировке задачи, затрагивающей, казалось бы, всего с десяток простых и известных математических понятий, она потянула за собой тысячи и тысячи идей для своего доказательства. И каждая идея не на пустом месте появилась – у нее было логическое основание появиться.

До 2002 года мои идеи автоматически считались: одна идея – одна страница текста. При переезде на новое место жительства все 4.000 страниц с идеями пришлось выбросить. Однако идеи не прекращались и на новом месте и их число давно перевалило за десять тысяч. Среди них попадались и очень красивые. К сожалению, понятие о красоте идеи мало кому известно. Я знал шашистов и шахматистов, которые приходили в восторг от красоты идеи в шашечной или шахматной игре, но людей, восхищающихся красотой математической идеи, за полвека так и не встретил...

А я, вот, тридцать лет прожил в мире потрясающей логической красоты. И мне нисколько не мешало, что их автором был я сам. В детстве я играл в шашки и шахматы сам с собой, нередко находя и за себя, и за мнимого противника красивейшие идеи. С тех пор я так и остался в мире логической красоты.

Красота идеи тесно связана с трудностью ее нахождения. Неоригинальные идеи, лежащие под рукой, восторга не вызывают. А вот какая-нибудь идея вверх ногами – вот это да! Примером такой идеи может служить изобретение мною канальных турбин (а по существу всех турбин, какие только могут существовать в природе). Обычная трубина – это вал, на котором установлены лопатки: а канальная – это тело вращения, в котором имеются каналы из пространства в пространство с разными давлениями. А это уже совершенно другой мир! Лопаточных турбин существует сто видов, а канальных – аж четыре миллиона!

А ведь у идеи канальных турбин был логический предшественник – алгебраическая задача из сборника задач МИФИ для поступающих в вузы 1958 года. И одну простенькую задачку оттуда (уравнение четвертой степени) я решал... полтора года, пока не додумался решить ее «через задницу»: искать не неизвестное, а... параметр! (После чего уравнение распалось на два простых квадратных.)

...Но они, любители математической красоты, были. В 1961 году мы на физфаке создали даже математический кружок. Где-то теперь эти ребята?..

И вот где-то с 1989 года я погрузился в теорему Ферма. Но если уж обычная математика обрекает человека на одиночество, то исследование теоремы Ферма тем более – заниматься ею считается позорным. И логика математика-обывателя проста: «Мы все в говне, а ты вылезти хочешь!». Поэтому стоит лишь собеседнику намекнуть, что идея касается теоремы Ферма, как намекнувший окунается в шквал презрений. Ну а уж если ферматист делает ошибку или даже описку, то презрение становится пожизненным. И мне, сверхрассеянному от природы, не оставалось ничего, окромя как кочевряжиться в полном одиночестве. А тут, вот, сбоку я слышу: «Ты нам зубы не заговаривай, а вынай чего обещал – красоту!» – «Намёк поняла! Бегу!»...

Никуда бы я, конечно, от такого приказа не побежал, но есть на свете люди, перед которыми я в вечном долгу – это дети. В десять лет мне, пацану из дярёвни, соседка тётя Тоня подарила МАТЕМАТИКУ – «простенькую» задачку вписать девять разных цифр в квадрат три на три так, чтобы все суммы по диагоналям, вертикалям и горизонталям были бы равны. (Для третьеклассника это сущий кубик-Рубик!) Так вот, это мой долг – передать детям, малым и большим, мои знания и находки.

Сам я пришел в теорему Ферма с нуля – со школьной базой. (Линейная алгебра и матанализ оказались тут не при деле.) Довольно быстро я понял, что равенство Ферма – это почти аналог равенства А+В=С, у которого никаких противоречий заведомо НЕТ. Но в любом случае было ясно, что исследовать гипотетическое равенство нужно для базового случая – со взаимно простыми А, В, С и простой степенью n. Ну и счисление с простым осованием стало выдавать мне красивые картинки.

Первый поразивший меня факт: в таблице умножения для какой-нибудь цифры последние цифры НЕ повторятся (не как в десятичной: 3х5=15 и 5х5=25, и 7х5=35...). Второй: это все цифры (кроме 0) в степени n-1 оканчиваются на цифру 1 (позже я узнал, что это и есть малая теорема Ферма). Я заказал таблицы степеней от 1 до n-1 для каждого простого числа n от 3 до 43 и пытался разгадать красивые закономерности в распределении последних цифр. Таблицы были похожи на муаровые узоры.

Особый интерес вызывали степени, оканчивающися на 1. Они подсказали красивую идею, что каждое простое число m вида m=n2^(2^k)+1 является соможителем числа АВС (идея этого доказательства была опубликована в 1991 г. в газете «Наука Урала»).

Очень инитересной и полезной оказалась мысль, что если равенство Ферма является непротиворечивым по двузначным окончаниям, то оно является непротиворечивым вообще. (Отсюда вывод, что противоречие нужно искать в двузначных окончаниях.)

Однако постепенно стала упрочиваться мысль, что стационарного противоречия в равенстве Ферма нет и потому нужно искать противоречие в динамике: должен САМОувеличиваться какой-то параметр – например, число сомножителей, цифр и т.п. Наиболее вероятным для этой роли подходило число нулей на конце числа U=A+B-C. А эквивалентом этого числа стала длина единичных окончаний чисел P, Q, R (в равенствах типа A^n=(C-B)P и т.д.). И началась длительная и изнуряющая борьба за их вычисление.

Логичным ходом от этой идеи было вычисление единичных окончаний простых сомножителей чисел P, Q, R. Так была доказана очень важная теорема в теории чисел о том, что каждый простой сомножитель чисел P, Q, R, не кратный нулю, оканчивается на цифру 1. А если основания сами являются степенями, то каждый сомножитель оканчивается уже на 01 и т.д.. Я назвал ее средней теоремой Ферма на основании двух фактов: во-первых, она есть развитие малой теоремы Ферма, а во-вторых, она доказывается с помощью... линейных диофантовых уравнений! Последнее обстоятельство говорило о том, что я нахожусь на правильном пути – скорее всего, именно за нюансами решения диофантовых уравнений П.Ферма и полез в «Арифметику» Диофанта...

Итак, если числа А, В, С являются степенями, то каждый простой сомножитель чисел P, Q, R оканчивается на 01 и тогда сами числа P, Q, R, являющиеся степенями, оканчиваются на 001 и, следовательно, число U оканчивается УЖЕ на три нуля. Ну а дальше начинается цепная реакция, или преферансная «мельница», с увеличением длины единичных окончаний чисел P, Q, R до бесконечности. К сожалению, числа А, В, С степенями не являются, но их двузначные окончания являются окончаниями степеней. Однако все мои попытки найти вожделенные двузначные единичные окончания простых сомножителей чисел P, Q, R отсрочились лет на восемь, а может и больше...

И вот 1 октября 2017 года, уже на исходе сил, я простейшее доказательство двузначных единичных окончаний простых сомножителей чисел P, Q, R обнаружил (причем всего в четыре строки!). А ранее, 11 мая, я показал, что в этом случае числа А, В, С стремятся к бесконечности (см. viXra:1707.0174). Тем самым первый случай теоремы Ферма – когда числа А, В, С не кратны n, – получил окончательное доказательство. К сожалению, второй случай – когда одно из чисел А, В, С делится на n, – этим методом не доказывается. Так что я еще имею возможность побултыхаться в красоте...

Конечно, первый случай ВТФ намного проще второго, но, тем не менее, он позволяет сделать несколько важных выводов.

Прежде всего, и логика, и краткость доказательства первого случая говорят о том, что Пьер Ферма имел в виду именно это доказательство, когда дал ему восхитительную характеристику на полях «Арифметики» Диофанта.

Во-вторых, моё доказательство опровергает теорему или убеждение в том, что ВТФ недоказуема элементарными методами. Как видим, в первом случае все-таки доказуема, причем пост фактум весьма простейшими средствами! Так что появилась надежда и на доказательство второго случая.

До скорого!