Теорема Ферма. Полное доказательство. 5. Базовый с

5. Базовый случай.

Итак, исходя из свойств базового равенства Ферма, мы видели, что последние цифры двух чисел из А, В, С однозначно определяют и все остальные цифры всех трех чисел до бесконечности. Причем фактически без вычислений, ибо единственное вычисление состоит из прибавления к числу единицы, чему учат в первом классе на первом уроке по арифметике! Назовите какую-нибудь задачу из математики более простую! Какого же черта миллионы мыслителей три с половиной столетия не могли найти это доказательство?!.

Но и это еще не всё! Не исключено, что теперь еще триста лет математики будут искать ошибку в вычислении 1+1=2, ибо других вычислений (не считая деления на 1) в доказательстве нет!

Правда, столь простое доказательство великой теоремы Ферма стало возможным лишь после двух событий: первое – это сведение всех возможных равенств Ферма к базовому, воторое – это ключ доказательства (вторые цифры уменьшить до нуля!). Первая работа был выполнена еще триста лет назад. А вот вторая – ДОГАДАТЬСЯ обнулить вторые цифры! Это вам не Эндрю Уайлс с умопомрачительной теорией, которую вряд ли кто прочитал (и в безошибочности которой я не без основания сомневаюсь)! Догадаться обнулить три цифры мог только самый бездарный и безграмотный математик, коим явлюсь я (ибо более отсталого ученика вряд ли где можно найти во всем мире: перед выпускными экзаменами пять годовых двоек!)

«Да случайно догадался» – будет объяснять этот феномен какой-нибудь психолог. Но об одном он не захочет знать, а узная – сказать, что в столе автора лежат сотни почти таких же невозможных решений из самых разных областей знания. Ну да это не мое собачье дело – за пределами теоремы Ферма меня ждут более важные дела. А пока я хотел бы завершить доказательство теоремы Ферма, а именно: показать, как появляется базовое решение, которое для доказательство ВТФ я взял в готовом виде – как аксиому как бесспорный факт. Итак, вот

Теорема. Все равенства Ферма X^m=Z^m-Y^m (0°), за исключением случая m=2^k, сводятся к базовому равенству A^n=C^n-B^n (1°) со свойствами 1°-5°.

Доказательство

0a°) Если m=nd, то делается подстановка: X^d=A, Y^d=B, Z^d=C и равенство 0° превращается в 1°.

0b°) Если X=Ad, Y=Bd, Z=Cd, где d – наибольший общий делитель чисел A, B, C, то делается подстановка X/d=A, Y/d=B, Z/d=C. Или иначе: делим равенство 0° на d^n,  после чего числа A, B, C сиановятся взаимно простыми и мы получаем равенство 1°:

1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], из которого следут и равенства B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q] и C^n=A^n+B^n [=(A+B)R].

А после подстановки A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q] и C^n=(A+B)R] в равенство 1° мы получаем и равенство

1a°) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B), (B, C-A), (C, A+B) мы обозначим буквами a, b, c.

Для дальнейшего будет важно, что при АВС, не кратном n, числа в парах (C-B, P),
(C-A, Q), (A+B, R) являются взаимно простыми. Действительно после группировки членов, например, многочлена P в пары слагаемых, равноотстоящих от его концов, и выделяя в каждой паре полный квадрат разности, мы получаем сумму (n-1)/2 пар с сомножителем (C-B)^2 и еще одного элемента. То есть
2a°) P=D(C-B)^2+nC^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}, из чего видно, что C-B и P взаимно простые, т.к. числа C-B, C, B и n являются взаимно простыми. Поэтому каждый простой сомножитель числа А^n (причем в n-й степени!) попадает либо в C-B, либо в P, из чего следует, что и C-B, и P являются n-ми степенями, а именно:

2°) Если A' /B', C'/;0, то C-B=a^n, P=p^n, A=ap //аналогично и C-A=b^n, Q=q^n, B=bq; A+B=c^n, R=r^n, C=cr//.

Для дальнейшей рабты мы привлечем формулу малой теоремы Ферма: если A';0, то при простом n и в базе n последняя цифра (A^{n-1})'=1. (Непонятно, почему простейшее доказательство этой формулы не включено в школьную программу.)

Ну а теперь (если A' /B', C'/;0) из равенств
3-1°) (A^{n-1})'=(B^{n-1})'=(C^{n-1})'=1 и из 1° следует A'+B'-C'=0.
И из равенств 1a° легко находим, что 
3-2°) P'=Q'=R'=1  (где P=p^n, Q=q^n, R=r^n). Откуда (из малой же теоремы)
3-3°) p'=q'=r'=1. А теперь, после возведения в n-ю степень (см. 4°), и
3-4°) P_[2]=Q_[2]=R_[2]=01=1. И после возвращения в 1a° мы получаем:
3-5°) U=A+B-C=un^2=un^k => т.е. k=2.

В итоге важное число U имеет вид:
3°) Число U=A+B-C=un^k, где k>1, откуда (A+B)-(C-B)-(C-A)=2U.

3a°) А вот если, например, B_[k]=0 и B_[k+1];0, то (C-A)_[kn-1]=0, где kn-1>k+1, и в равенстве
3b°) [(A+B)-(C-B)-(C-A)]_[k+1]=(2U)_[k+1] (см. 3°) число (C-A)_[k+1]=0.
Действительно, из равенства 2a° для Q видно, что если C-A делится на n, то Q на n^2 не делится, т.к. один и только один сомножитель n находится в числе Q. =>
Если B делится на n^s, то C-A делится на n^{sn-1}.

4°) Цифра A^n_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] и, следовательно, окончания a^n_[2], (a^{n^2})_[3] и т.д. не зависят от цифры a''!
Факт вытекает из записи числа A в виде A=dn+A' и разложения бинома A^n=(dn+A')^n. И не забывать, что в цифровой записи n=01.

При достигнутом значении k=2 с помощью формул 3°, 2° и 4° мы находим:
5a°) A_[2]=(a^n)_[2]=(a'^n)_[2], B_[2]=(b^n)_[2]=(b'^n)_[2], C_[2]=(c^n)_[2]=(c'^n)_[2]; и P_[2]=(a'^{(n-1)n})_[2]=1 (с p'=(a^{n-1})_[1]=1); Q_[2]=(b'^{(n-1)n})_[2]=1
(с q'=(a^{n-1})_[1]=1); R_[2]=(c'^{(n-1)n})_[2]=1 (с r'=(a^{n-1})_[1]=1).
(Это следует из равенств (A+B-C)_[2]=0 (3°) и 2b°: 
(A-a^n)_[2]=(B-b^n)_[2]=(c^n-C)_[2]=0.)

5b°) (A^n)_[3]=(a'^{nn})_[3]  //=(a'^{n^t})_[3], т.е. t=2//, (B^n)_[3]=b'^{nn})_[3]; (C^n)_[3]=(c'^{nn})_[3];  <= 4°. => (см. 1°-2°)
5c°) (a^{nn})_[3]={(c^{nn})_[3]-(b^{nn})_[3]}_[3], => (см. формулы разложения и 2°) =>
5d°) (a^{nn})_[3]=({(c^n)_[3]-(b^n)_[3]}_[3]*P_[3])_[3] и
где
P_[2]=(a^{(n-1)n})_[2]=1.

Равенство 5c° замечательно тем, что оно являет собой равенство Ферма по трехзначным окончаниям, которые выражены только через последние цифры чисел А, В, С. А вторые (и третьи) цифры отсутствуют! И вот в этом-то месте равенство Ферма и «прокалывается»: в двух доводах окончания p_[2]=q_[2]=r_[2]=1, а в третьем мы насильно заставляем их быть равными 1!

Вот, собственно, и все цифровые свойства базового равенства Ферма. За пределами школьных знаний оказалась лишь примитивная формула простейшей малой теоремы Ферма. И совершенная замкнутость логики. И тем не менее, она была разорвана!

Окончание следует.