Моделирование реальных процессов с учётом плотност

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ С УЧЁТОМ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ

  Одной из самых интересных и до конца не решённых экономико-математических задач является изучение распределения плотности простых и составных чисел.
  Существующие утверждения известных исследователей о том, что простые и составные числа распределены в общей совокупности последовательных чисел в виде прямолинейных моделей, никак не подтверждаются эмпирически (Дербишир, 2002).
  В данной работе осуществлена 100%-ная выборка простых и составных (не менее 30 делителей) чисел, не превышающих 10000, которые сгруппированы по их количеству и принадлежности к конкретной группе Cj-1 <= x <= Cj.
  Группировка и анализ сплошной выборки произведён на основе рекомендаций по прикладной математической статистике (Айвазян, Мхитарян, 2001).
  При этом сделано условное допущение о том, что число выборочных данных Vj -   количество простых Vpj и составных Vsj чисел в отдельной группе, является случайной величиной. Это число можно, скорее, считать, как непрерывную случайную величину, с оговоркой об условности.
  Результаты группировки простых и составных чисел даны в таблице 1 с обозначениями:
  j – номер группы;
  Cj-1 <= x <= Cj – интервал последовательных чисел в группе;
  Xj0 – середины интервалов;
  [fp^(n)(x)]*10^7 – выборочная (эмпирическая) функция плотности вероятности, увеличенная в 10^7 раз для возможности оценить её графически по каждой группе (по простым числам);
  [fs^(n)(x)]*10^7 – то же по составным числам.
  На примере отрезка целочисленных данных от 1 до 10000 сделан вывод о том, что плотность простых чисел в генеральной совокупности нельзя назвать ни убывающей, ни возрастающей. В подгруппах 5, 9, 14 и 8, 13 обнаружены одинаковые результаты плотности распределения простых (соответственно 976 и 953), что позволяет сделать предположение о цикличности распределения простых чисел. В подгруппах 7 и 9 обнаружены одинаковые значения по составным (1151), также определяемых, скорее, как циклический тренд (таб. 1, рис. 1).
  Плотность распределения составных чисел заметно корреспондирует с плотностью распределения простых. Составные рассматриваются с числом делителей не менее 30 (30, 32, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 45, 46, 48, 50, 54, 56, 60, 64) в общей суммарной совокупности.
  В дальнейшем полезно изучить распределение каждого составного числа по отдельности, применяя методы многомерного статистического анализа (МСА). При таком изучении число каждого отдельного составного может быть рассмотрено как отдельный признак конкретной группы в выборке. Это должно усовершенствовать процесс моделирования крупномасштабных экономико-математических и социальных систем.
 
Таблица 1. - Группировка простых и составных, не превышающих 10000.

j  Cj-1 <= x <= Cj   Xj0 [fp^(n)(x)]*10^7 [fs^(n)(x)]*10^7

1     1 <= x <= 708   355           1458               0
2   709 <= x <= 1418 1064           1114              278
3  1419 <= x <= 2128 1774           1102              595
4  2129 <= x <= 2838 2484           1068              833
5  2839 <= x <= 3548 3194            976              913
6  3549 <= x <= 4258 3904            988             1032
7  4259 <= x <= 4968 4614            930             1151
8  4969 <= x <= 5678 5324            953             1111
9  5679 <= x <= 6388 6034            976             1151
10 6389 <= x <= 7098 6744            884             1190
11 7099 <= x <= 7808 7454            896             1508
12 7809 <= x <= 8518 8164            850             1270
13 8519 <= x <= 9228 8874            953             1468
14 9229 <= x <=10000     9615            976             1627

(см. рис. 1)

* <= - меньше или равно

Изучением взаимовлияния на различных отрезках простых и составных и будет в дальнейшем продолжено данное исследование. Понимание закономерностей распределения простых и составных чисел позволяет учитывать это в современном моделировании реальных процессов. При этом в программы по моделированию полезно встроить поправки с учётом выявленных закономерностей. Все изученные последовательности в данной работе правомерно рассматривать как нули с 4 знаками после «,».
 
Рис. 1 - Эмпирическая плотность распределения простых О и составных (ромб) чисел.

(см. рис.)

Таким образом, сегодня наряду с открытиями огромных, невозможных для представления человеческим мозгом чисел Мерсенна (Карасёв, 2016), есть белые пятна в теории измерений на сравнительно узких целочисленных отрезках от 1 до 10000, и эти пробелы в знаниях целесообразно, как можно скорее, прояснить.


Литература

Айвазян С.А., Мхитарян В.С.  Прикладная статистика в задачах и упражнениях. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 270 с.
Дербишир Д. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. – Династия, 2002.
Карасёв С. Найдено самое большое из известных простых чисел. –  Slashgear.com, 2016.

Статья опубликована в сборнике трудов IX-й Международной школы-семинара "Многомерный статистический анализ и эконометрика" Цахкадзор, Республика Армения, 2016 / под ред. С.А. Айвазяна. М.: ЦЭМИ РАН, 2016. -122 с.