Приключения духа

«Авторы излишне увлеклись нашей экзотикой и не сумели избежать соблазна дать побольше завлекательных приключений и эффектных эпизодов.

Приключения духа, которые составляют суть жизни любого мага, почти не нашли отражения в очерках.

Я, конечно, не считаю последней главы третьей части, где авторы, хотя и попытались показать работу мысли, но сделали это на неблагодарном материале довольно элементарной логической задачки ( при изложении которой ухитрились допустить вдобавок достаточно примитивный логический ляп, причем не постеснялись приписать этот ляп самим героям. Что характерно)» 

А. Стругацкий, Б. Стругацкий «Понедельник начинается в субботу»

Привет ящерица!

Я хочу показать тебе приключения духа, но только у математиков, а не у магов (то есть физиков) – настоящую кухню творчества.

Итак, в конце июня этого года, а точнее 21 июня — в день солнцестояния – я совершил открытие. Конечно – это не ахти какое открытие --- оно подобно открытию новой звезды учителем из фильма «Безымянная звезда»

Но все же – это настоящее (пусть очень маленькое), но открытие. Такое бывает редко.

Вот как это было.

Математик из Вроцлава и мой друг Юра, с которым мы постоянно переписываемся, предложил мне найти точные константы в одном неравенстве.

Тема эта – приближение функций на отрезке алгебраическими многочленами, далека от динамических систем и хаоса, которыми я сейчас занимаюсь.

С другой стороны, это было близко к моим поискам аппроксимационной теоремы для конформных отображений, которая дает близкие к оптимальным коэффициенты в стабилизации нестабильных циклов. Поэтому я с удовольствием взялся за эту задачу.

Сначала все шло очень медленно --- надо было вспомнить многие вещи. Кроме того, интерполяция никогда не была моим любимым предметом.

Но разобравшись я увидел красоту этих вопросов и с упоением погрузился в вычисления и чтение. Очень скоро стало ясно, что все сводится к расположению нулей некоторых квази-полиномов. Оказалось, что тут не все так просто --- приставка «квази» говорит о том, что стандартные методы уже не работают --- дифференцирование не убивает квази-полином, в отличие от полинома.

Пришлось искать обходные пути. Один из них привел меня к коротенькой работе Чеботарева
в ДАН 1942 года в которой была намечена идея модификации метода Штурма.

Я применил эту идею --- и половина задачи тут же была решена. Оставалась вторая половина.

Вот здесь начались реальные сложности. Ежедневно я просчитывал десятки вариантов --- и все безуспешно.

Тут Юра написал мне письмо, в котором намекнул, что можно и не убивать квази-полином   – достаточно, чтобы нули не плодились.

Я тут же ухватился за эту идею и через несколько дней нашел доказательство и второй половины этой задачи. И опять применил метод Штурма – но на этот раз из задач теплопроводности – из его знаменитых работ 1836 года. На самом деле это модификация метода Фурье --- младшие гармоники определяют количество нулей, поскольку при эволюции решения, старшие гармоники умирают быстрее. Ну а число нулей при такой тепловой эволюции возрастать не может, как следует из принципа максимума.

Конечно, и тут были сложности, поскольку метод Штурма в этой задаче все же не применим, но идея метода позволила найти правильную его интерпретацию и доказать соответствующие технические леммы.

К этому времени все сложилось и надо было только правильно записать и просчитать константы. Счет был для меня зубодробительный – я вообще не вычислитель по жизни – и я ошибался на каждом шагу. Особенно когда дело касалось вещей для нас незнакомых. Мы – выпускники одесской школы по теории функций, не знаем многих фактов классического анализа – ни эллиптических функций, ни разложений по простым дробям, да чего греха таить – даже первых четырех слагаемых разложения тангенса в ряд Тейлора не помним.

К этому времени от постоянной работы с компьютером и вычислений  по ночам у меня воспалился и потек левый глаз и я с трудом что-то видел. Поэтому левый я закрывал рукой и смотрел только правым.

Доказательство в результате получилось слишком длинным – наверное 20 страниц или больше. Я Юре высылал куски и мы постоянно это обсуждали.

Оно было практически закончено – оставались детали.

Но сама формула вызывала у меня удивление. Дело в том, что если сложить вместе получившиеся константы, то они как пальцы рук переплетаются, когда складываешь руки между собой, и получается волшебная вещь: сумма наилучших приближений для двух ядер, соответствующих первой производной в алгебраическом случае равна сумме наилучших приближений для алгебраических полиномов соответствующих высшим производным (ядер Бернулли) в тригонометрическом случае на окружности.

Ну как тебе сказать – этого быть не должно. Это из двух кардинально разных миров. Они не связаны никак !!!

Это была просто мистика. Или можно было сказать – случайность. Ну мало ли математических констант как-то связано.

Я поставил перед собой эту формулу, любовался ей и писал Юре. Спрашивал

--- Почему ??

Юра отвечал ---

-- Да просто так. По качану. Что значит почему?

-- Ну так ведь случайно не бывает.

Он советовал не обращать на это внимание, а заканчивать доказательство.

Но я опять возвращался и смотрел буквально днями и ночами на эту красивейшую формулу. Она была как бы из друго мира. Совершенная фантастика.

Это как пазлы, которые  сложились вместе, но были из двух разных коробок. То есть из одной коробки – одна картинка, а из другой – другая.

Но если их сложить и перемешать и потом собрать– вдруг получалась третья, отличная от этих двух. Но этого же не может быть!

Мы по-прежнему переписывались, я любовался формулой и заканчивал длиннющее доказательство.

В переписке Юра любит поскалить зубы над Путиным, рашей, ватниками и прочим русским миром, что меня утомляет, но я уже давно не обращаю внимание на это.

Тут он вдруг перешел на личности – на наших общих знакомых. При этом дал несколько нелестных эпитетов, что меня конечно сильно задело.

На эмоциях я ему написал письмо в довольно резком тоне.

Получил ответ.

«Спасибо за такую характеристику, буду знать - всегда приятно знать, что о тебе думают.
Познавательно и только укрепляет в видении ситуации. Когда напишу ... не знаю, да и нужно ли это. Не уверен.
С благодарностью за критические замечания и понимание»

Ну и ясное дело общение прервалось.

Как раз был день летнего солнцестояния. Было жарко, я тоже был на нервах. Пришел на тримаран, посмотрел на формулу, подумал – знаешь Юра, а пошел-ка ты ... ----- и просто сложил без норм.

Чтобы ты поняла – это как складывать крокодилов с обезьянами. Полный бред. Ясно что ничего не должно было получится.

Но я был взвинчен--- сказал ну и пусть, что не сложится и начал складывать.

И оно сложилось !!!

Я смотрел на это как на какое-то чудо. Ведь так быть не должно. Да --- приближали ядра Бернулли, да сдвигали одно ядро и сворачивали с функциями – это все стандартный аппарат,  но складывать их между собой --- это полный бред.

Сразу обнаружил ошибки. Но я уже верил, что так и должно быть и немного подправил слагаемые – по вычитал базовые – ну в общем навел марафет. И опять не до конца. Но уверенность уже была полная – и к концу дня все сложилось.

Конечно это была фантастика. Я быстро нашел объяснения, перейдя в комплексную область, разложив в ряд Тейлора и вычислив коэффициенты с помощью вычетов. И все сразу стало кристально ясным. И откуда формула и почему складываются.

Я тут же написал Юре письмо с извинениями и выслал работу.

Ответ был: «Разложить по Бернулли это замечательное наблюдение - и я не понимаю пока ни мотивов ни источников. А так - не видел я такого нигде. В общем - спасибо.»

В итоге доказательство у меня получилось в несколько строк вместо двадцати страниц.

Но не это, конечно, главное. Главное в том, что и мотив и источник содержались в этой красивейшей формуле. Рационального объяснения этому равенству не было. Но притягательность и магия формулы были столь сильны, что я поверил в то, что за ней скрывается истина.

Зачастую мы отмахиваемся от явлений не находя рационального или как говорят материалистического их объяснения. В этом случае мы приписываем факт совпадению или случайности. Но быть может стоит смотреть на мир несколько шире, принимая эти факты как реальность и пытаясь найти то непознанное, чьи следы проступают перед нами --- в нашем тонком человеческом срезе огромного и загадочного мира.

И тогда есть надежда на то, что мерцающий огонек истины откроется перед тобой.