Загадочная теорема Фейербаха

Что такое треугольник? - это всего-навсего наугад взятые три точки пространства соединенные линиями. Ну и какие тут могут быть закономерности? Хотя постойте: ведь если провести прямую параллельную основанию, то легко увидеть, что сумма углов треугольника равна 180 градусов (смотри на рисунке чертеж а)). Но доказательство здесь настолько очевидно, что считать это удивительным совсем не хочется. 
(Упражнение: найдите ошибку в чертеже)

Понятно что в любой треугольник всегда можно вписать окружность, так чтобы она касалась всех его трех сторон. Действительно, можно представить, что мы надуваем маленький кружочек который всегда касается двух сторон и ползет по биссектрисе (линии делящей угол пополам) до тех пор пока он не коснется третьей стороны. Очевидно, центр вписанной окружности всегда будет на пересечении биссектрис (рис. в)). Точно так же очевидно, что вокруг любого треугольника можно описать окружность, или иными словами, наоборот вписать треугольник в окружность. Для этого надо провести произвольную окружность через две вершины, а за тем либо "сдувать" ее, либо надувать, пока она не пройдет через третью вершину.

Ну вот, вроде и все. Какие еще могут быть закономерности, если треугольник случайный? А вот и нет!  Проведем окружность через середину каждой стороны. Для этого надо просто считать за новый треугольник, - треугольник с вершинами в центрах его сторон. Тогда это будет просто описанная окружность для него (рис. с)).

Постойте, но на построенном чертеже мы видим нечто странное! Две окружности как бы целуются - касаются только в одной точке. А ну-ка проверим. Но новом чертеже (поупражняйтесь) будет опять то же! Поздравляю! Мы получили один из самых красивых фактов Геометрии. С какой стати они всегда касаются, ведь треугольник-то произвольный! Может быть они всё-таки когда-нибудь расцепятся?

Ответ: никогда! Это и есть формулировка знаменитой и удивительной теоремы Фейербаха с которой тоже связано много тайн и загадок. Тем более, что никакие другие окружности столь же простого построения и близко ничего подобного не демонстрируют! Но сначала кто такой Фейербах.

Тому, кто изучал разные юмористические научные коммунизмы, Фейербах должен быть хорошо знаком: им обычно в числе прочих долго пытали студентов на предмет того, что первично: материя или сознание? Хотя с самого начала было ясно, что вопрос чисто схоластический, и ни один препод на него ответить не может.

Так вот, речь идет о младшем брате того самого философа, который в детстве был здоровым крепышом по рассказу матери. Потом он был студентом отсидел в башне-тюрьме вместе с компанией других молодых людей вроде бы за подстрекательство к мятежу, где хотел даже покончить с собой. В общем, бурная жизнь довольно характерная для юношества эпохи Наполеона и после, романтизм.

Для нас интересно, как он пришел к своей теореме. И как ее просмотрели такие гиганты, как тот же Эйлер,  который подробно рассмотрел окружность проведенную на нашем рисунке через середины сторон. Она так и называется - окружность Эйлера. Скорее всего он не заметил удивительного касания потому, что в 60 лет окончательно ослеп, хотя продолжал активно работать до конца жизни (1707-1783 ,76 лет).

До открытия фейербаха оставалось еще около 50  лет, если не считать такой "мелочи", как предыдущие тысячелетия, и того, что столь простой чертеж легко мог бы сделать любой школьник с помощью циркуля и линейки и, по крайней мере, хотя бы сформулировать теорему. Сам Фейербах вскоре после открытия психически заболел. Он пришел однажды на занятия  к своим студентам с мечом и угрожал отсечь голову каждому, кто не понимает его формул. 

Получается, что как и в случае теоремы Морли, примерно сопоставимой по значимости с теоремой Фейербаха, здесь как будто бы вмешалась какая-то высшая сила, запрещающая запретную для человека каббалу, и повлекшая личные трагедии первооткрывателей.

Конечно, здесь мы упростили формулировки, чтобы подчеркнуть главный факт. В действительности окружность Эйлера касается еще и трех вневписанных окружностей, да и сама окружность Эйлера обладает многими интересными свойствами,

(Адаптированные выдержки из глав публикующиейся сейчас книги. Copyright, ссылки обязательны)