Математические истории - Часть 1

МИР МАТЕМАТИКИ СЕРДЕЧНЫЙ

Есть в математике сухой
Формулировки всех явлений -
Возможно описать прибой,
Мерцание звёзд, мостов строение.

И к упорядоченной системе,
И к хаосу есть описание.
Формулировки к каждой теме
Ко всем вопросам мироздания.

В делах сердечных, как ни странно
Ей место есть вот вам пример
Графический.  И вывод данных -
Ей мир духовный не предел.

НАПИСАНА ПРИРОДЫ КНИГА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РУКОЙ

Написана природы книга
Математической рукой.
Непосвящённым в лабиринте -
Им не найти там выход свой?

А был момент такой в истории
Казалось всё открыто всем,
Нет тайн, всё ясно, все довольны -
Век девятнадцатый в конце.

Открыты ток и напряжение -
С магнитом связаны они.
Подсчитано планет движение,
Стоят мосты, стучат станки.

Узнали люди скорость света,
Таблица в химию вошла,
Термодинамика, движение…
Изобретениям нет числа.

И  не советовал лорд Кельвин
Идти в науку молодым -
Мол все открыто, знаки сверить
Осталось лишь;  Но вдруг как взрыв...

Рентген открыл лучи - вот тайна!
Эйнштейн взлетел как метеор!
Радиоактивность мы узнали!
Ядра структуру выдал Бор!

Вдруг сила квантов воцарила
Плеядой молодых умов…
И снова “Знания - есть Сила”
Лишь посвященным весь улов.


НА ЗАРЕ МАТЕМАТИКИ

Считать мы научились в детстве,
На человечества заре.
Зачем дано нам это средство?
Что этот дар тебе и мне?

В чем Математики магнит?
Пусть не для всех, но все же для многих.
Что в ней волнует и манит?
А некоторых и в спячку клонит.

Платон считал, и он был прав,
(В моем конечно понимании),
Что Математика сама
Живет, отдельно от сознания.

Никто ее не изобрел,
Открыл её тот - кто был мудрым.
Межи восстановить, раздел -
После разлива Нила трудно.

Движение планет и звёзд,
Что метит судьбы фараонов;
А сфинкса, пирамид расчёт
Геометрических законов.

Подумайте, представьте только
Те пирамиды, как скрижали
Во время мудрого Платона -
Три тысячи лет уже стояли!

Расчет и исполнение плана,
И точность их расположения -
Их архитекторов таланты
Завидны нам до удивления.

Без компаса, без астроляба -
Линейка лишь да треугольник…
Без мата, водки и прораба
Теперь такое не построить.



СТРОИТЕЛЬСТВО ПИРАМИД

Могли б построить пирамиду
Без чертежей и без расчетов?
Вопрос не трудный для того, кто
Хоть однажды строил что-то.

Проект начался с тех-задания -
Спецификации иначе.
Как инженеры-египтяне
Решали древнюю задачу?

Размер конечно, ориентация,
И высота, наклоны граний,
Как много блоков, сочетание,
Доставка, график, расписание,

Количество рабочей силы,
Зарплата, кров и пропитание,
Ночная жизнь, чтоб не бузили…
Проект - врагу не пожелаешь.

Создать  лазейки - лабиринтом,
Подходы к ним - врагам ловушки,
Пещеру для захоронения,
Плюс украшения, побрякушки...

А технология процесса:
Где, как начать, что делать дальше?
Где ставить разные подвесы?
Канаты, блоки, позже, раньше?

Уверен - был бюджет им спущен,
И сроки - жизнью поплатиться…
Две тысячи лет до Моисея,
А вот стоят же пирамиды!


ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ ПРОШЛОГО

У греков Талес, Пифагор,
Платон и Архимед с Эвклидом,
Геометрический набор
Философов и эрудитов.

От них мы многое узнали,
Арабам следует – “спасибо”,
Они нам мудрость передали
(Но только тем - до Палестины).

Когда погиб великий Рим,
Когда Европа впала в спячку -
В Багдаде их Гарун Рашид
Решал нелегкую задачку:

Позвал он ко двору ученых,
Алхимиков и астрономов.
Любил науку без прикрас
Он греков сохранил для нас.

Их математики в расцвете
На Алгебру всё налегали,
За уравнения в ответе,
Ведь Алгоритм они создали.

Им Индия была близка,
Тригонометрия оттуда,
И цифр арабских простота,
И даже "ноль" пришел от Будды.

Начал Коперник “Революцию”:
Земля - не центр Вселенной более!
Задолго он до Эволюции
Той церкви расшатал основы.

Теперь Земля одна из многих
Похожих на неё планет,
Вкруг Солнца ходит в хороводе…
Вселенной вроде центра нет.

Как изменился весь наш мир -
Колумб Америку открыл,
По Галилео: мир вокруг -
Математический наш друг.

Декарт, создал координаты,
Все геометрии задачи -
Алгебраически решил.
Трехмерным сам он видел мир.

И все пошло и закрутилось -
К познанию интерес возрос,
И гений Ньютона явился -
И мир законами оброс.



ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Кому-то может интересно
(Хотелось верить в это мне)
Узнать, что было неизвестно
Теперь не в прозе, а в стихе.

Мне интересно среди Чисел,
Спокойней, чем среди людей -
Их логика намного выше,
Характер их куда добрей.

Для позабывших уравнения,
Не в силах взять и интеграл,
Прижав таблицу умножения,
Им Михалков давно сказал:
"Цифры разные нужны,
Цифры разные важны".

Вот Пифагор - мудрец, аскет
Он в Цифрах видел суть сознания,
Без Цифр, сказал он, мысли нет,
Вселенский смысл и мироздание.

Он видел в музыке структуру -
Космической архитектурой.
И потому всегда равны
Все “Пифагоровы Штаны”.

Любил Реальные он Числа -
Он так их знал и к ним привык,
И вдруг беда - совсем без смысла
Иррациональность кажет лик.
Что рационально, а что нет
Нам очень важно дать ответ.

Лишь то число вполне реально,
РАЦИОНАЛЬНО, так сказать
Как - раз, два, три, четыре, пять
- Вот что считается нормально:

И отношения этих чисел:
Вот это да, имеет смысл:
Один к пяти, иль два к семи.
Не то что там дурнушка  "Пи".

Окружность круга на диаметр
Не делится, ну хоть убей.
Иль корень с двух. Не сдать экзамен.
Ну не берется, клятый змей.
Вот эти числа не нормальны,
Они - ИРРАЦИОНАЛЬНЫ.

И сразу после запятой
Все далее цифры бесконечны
Начало есть, но где покой?
Иррациональны числа вечны?

Не повторить цифровой ряд
Нам этих чисел необычных,
И много больше их подряд
Нормальных чисел и привычных

Как Кантор нам Георг сказал
Их много выше Радикал.
Ведь бесконечность не банальна,
А даже очень Радикальна.



ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Вот чисел ряд. Средь них особо
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА все стоят.
Делиться на себя хотят.
Они в толпе как будто снобы.

Пример тех чисел бесконечен
Один, два, три, и пять, и семь,
И бесконечно, если верить
Эвклида мудрой теореме.

Определить их очень просто
Эгоистически стоят.
Простые числа - просто жмоты,
Ни с кем делиться не хотят.

Вы как считаете друзья
Изобрели мы цифры, или
Те люди все же их открыли,
Тогда, давно, в начале бытия?

Но как, зачем, и почему
Никак я это не пойму -
Мир математикою дышит.
Он познаваем?  Он нас слышит?



БАЛЛАДА О ЧИСЛЕ СЕМЬ

Из древней глубины веков
Когда считать мы научились,
Я думаю уже тогда
Нам судьбы в цифрах проявились.

Семь дней в трудах работал Бог -
Он за неделю создал мир,
Наверно это же число:
Семь - было и его кумир.

Семь в общем то число простое,
Эгоистичное такое -
Если делиться, то с собой.
Характер сильный, волевой.

Нам цифра семь знакома с детства
Семь гномов было, как известно.
Невест у братьев было семь.
Отрежь лишь раз, померив семь.

Смертельных знаем семь грехов,
И добродетелей же столько.
В исламе ада семь кругов
И в рае семь кругов и только.

Семь тощих лет было в Египте.
В миноре ровно семь свечей.
И сам Христос, быв на кресте,
Сказал когда то семь речей.

РИМ вырос на семи холмах.
Известно о семи ветрах.
Известно  - если нянек семь
Дитя без присмотра совсем.

Великолепная семерка
И в Голивуде, в казино.
В нагане семь пуль боевых,
И "Одним ударом - семерых".

Сам Будда сделал семь шагов -
С рожденья был отмечен знаком.
Японцы знают семь богов,
Семь звезд в известном зодиаке
(Большая Медведица).

А семидневная война -
Она ведь символом была:
Семь братьев было у Давида,
Семь Маккобеев в них Фемида.

У Германа в Пиковой Даме
Была семерка как в кармане.
И без семерки вы бы едва ли
Семь сорок так не танцевали.

И у Блаженного Василия
Семь куполов, а не четыре.
И семь замков и семь дверей,
Печатей семь у всех царей.

Привыкли мы давать ответ
Один на все и на семь бед.
Семь жизней было у Кащея,
Семь жил в кнуте у Бармалея.

Нам семиструнная гитара
Про очи черные играла.
Для бешеной собаки вдруг
Семь дальних верст совсем не крюк.

У мудреца во лбу семь пядей,
Семь футов под кормой желаем.
Работать до семи потов.
К работе в семь утра готов.

Семью лучами, кто заметит.
Свободы статуя нам светит.
В семь лет идите дети в школу -
Вы семь вершков уже от пола.

За семь морей ходил Синдбад,
Нам жалко семеро козлят,
Семь шкур спускают за проказу,
Седьмое небо - по заказу.

Вот Пифагор - мудрец, аскет
Он в цифрах видел суть сознания,
Вселенский смысл и мироздание
Без цифр, сказал он, смысла нет.

Так что же семерка означает?
А может что то предвещает?
Семерка - счастье или нет?
Ты в Каббале найдешь ответ.




О "ЗВЕРИНОМ ЧИСЛЕ" -  666

2016=666+666+666+6+6+6

Есть числа, что стоят особо -
На них есть Библии печать.
Одно из них, напомню снова -
"Числом Звериным" называть.

Казалось, числа - числам равны,
Простые, сложные  - считай...
Но есть особые, со нравом
И есть одно - не забывай...

У Хибру цифры есть и звуки:
Алеф - один, а бет есть два,
Эквивалентно аз-  и буки-,
В славянской версии слова.

Поэтому Завет весь Древний -
Загадка есть двойного смысла:
Он полон цифровых значений
Оттуда Каббала и вышла.

И "Дьявол" или "Сатана" -
Его значение цифровое
"Числом звериным" хранена,
Оттуда и клеймо такое.

У иудеев с тем числом
Совпал Нерон, сам Цезарь Рима,
Он христиан бросал ко львам,
С жестокостью неукротимой.

Припомните и Пьер Безухов -
Герой "Война и Мир" Толстого,
Подвел "Звериное число"
Под именем Наполеона.

Запомните - те три шестерки,
Когда увидите их вместе
Не нужно знака вам другого
Что Сатана уже на месте.



(1) Число 666 не уступает по популярности числу 13. Пошла «дурная слава» этого числа из-за упоминания в 13-й главе Откровения Иоанна Богослова: «Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое, число его 666».

(2) Число 666 —элемент сатанистской атрибутики, наряду с перевёрнутым крестом и перевёрнутой пентаграммой.

(3)  В“Войне и мире “ наиболее ярким эпизодом является сцена, когда Пьер Безухов, увидев комету и почувствовав предзнаменование, стал вычислять значения числа 666 применительно к имени Наполеона и своему имени, сумма букв фамилии Пьера должна была составить “звериное число”, связывающее Пьера с Наполеоном: “Написав по этой азбуке цифрами слова L’empereur Napoleon, выходит, что сумма этих чисел равно 666 и что поэтому Наполеон есть тот зверь, о котором предсказано в Апокалипсисе. Предсказание это очень удивило Пьера. Один раз занимаясь этими вычислениями, он написал свое имя… Откинув неправильно “е” Пьер получил искомый ответ: I ’Russe Besuhof, равное 666.



СЧАСТЛИВЫЕ ЧИСЛА

Как хорошо во что-то верить
И видеть в этом подтверждение,
И шаг свой с высшей силой сверить,
И лишь тогда принять решение.

Для многих это были цифры
Счастливые или не очень.
Как знак, что ждать от близкой битвы,
Вступить ли в сделку, съездить в Сочи…

Те числа каждому свои,
А есть, что веруют народом.
Есть, что из Библии пришли,
И под влиянием Пифагора.   (2)

Цивилизации Востока
Всё цифры ценят по созвучию -
Звучит как “смерть", конечно плохо,
“Богатство" - много, много лучше.    (3)

Бывают также предрассудки -
Число, как памятник надгробный
Не всем, есть видят шутку,
Тот кто с латынью незнакомый,    (4)
 
И в математике рзмерной
"Счастливых чисел" есть понятие -  (5)
Их “Решетом Эратосфена”      (6)
Находит знающая братия.

Есть эти числа у меня
И, хоть я в мистику не верю,
Но слышал люди говорят,
Они работают!  Проверю.


(1) Число 666 не уступает по популярности числу 13. Пошла «дурная слава» этого числа из-за упоминания в 13-й главе Откровения Иоанна Богослова: «Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое, число его 666».

(2)  Пифагор в основу своей философских систем положил единство трех чисел - составляющих: Рождение, Становление, Разрушение.

(3) К благоприятным числам в Китае относятся числа 8 и 9. Число «восемь» по Фэн-шуй - это число благоденствия. Оно сулит медленное, но верное процветание в будущем. «Девять» символизирует полноту небес и земли.


В Китае на аукционе «счастливых» мобильных номеров был продан за 1,1 млн. долларов номер 135 85 85 85 85, произношение которого созвучно с фразой «быть богатым, быть богатым, быть богатым, быть богатым».

(4) 17 – несчастливое число Италии. Многие связывают это с тем, что во времена Древнего Рима на многих надгробиях писали «VIXI», что в переводе значит «я жил». Первая часть слова напоминает римскую шестерку (VI), а вторая – римское число 11 (XI). При сложении этих чисел получается 17.
Что же касается числа 13, то в Италии оно приносит удачу, вопреки суевериям других стран

(5) Счастливое число (англ. lucky number) в теории чисел  — натуральное число из множества, генерируемого «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа.

(6) Решето Эратосфена — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который приписывают древнегреческому математику Эратосфена Керенскому



ЭРАТОСФЕН И ЕГО "РЕШЕТО"

Эратосфена из Кирена
Сегодня вспомнят лишь когда
Простые числа выбрать верно
Его идею - «решета».

Его идея упростила
Находку чисел всех простых.
Вот удивительная сила!
Ей посвящаю этот стих. 

Берёте ряд всех целых чисел
Один, два, три... и весь набор

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

И каждое второе выбрось,
Чтоб чётных не было, как “сор".

1 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Теперь второй есть цифра - три.
Все третьи числа - убери!

1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31

Стоит на очереди пять
Ему все кратные - убрать!

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

Остались лишь простые числа!
Так  “решето” набралось смыслом.

Эратосфен ещё известен,
Что первым дал Земли размер,
Платон ему был интересен
Другим философам в пример.

Потом служил в Александрии
И там прославлен мудрецом.
Хоть там все умниками были…
Эратосфену наш поклон.


Эратосфен Керенский  (276 год до н. э.—194 год до н. э.) — греческий математик, астроном, географ, филолог и поэт. Ученик Каллимаха, с 235 г. до н. э. — глава Александрийской библиотеки. Первый известный учёный, вычисливший размеры Земли.




ОМАРУ ХАЯМУ.

Омар Хаям - мудрец, ученый,
Поэт Востока давних лет.
Как много смысла, как все ново,
Как отзывается во мне.

Был математиком великим -
Он в Персии поэтом слыл
И древних геометров силу
Он с алгеброй соединил.

Опередил Рене Декарта
Он лет пожалуй на пятьсот,
Но и в поэзии таланта
Его никто не перебьет.

Его строфа не витиевата,
В ней мудрость мысли и души.
Он тысячу лет назад был правым,
Он прав сейчас. Читай, учись.



ЕСТЬ ЧИСЛА МАГИИ ПОЛНЫ

Есть числа магии полны,
Мы их, конечно, применяем
Хотя природу их не знаем.
Одно из них число есть "Пи".  (1)

В любой сферической фигуре,
Да и в окружности любой
Они присутствует. Собой
Даст описание их структуре.

Известно было в Вавилоне,
Египет древний знал его.
Известно было Пифагору -
Круг не построишь без него. 

Число в котором нет конца!
Как так?  Окружность ведь конечна.
А Пи расчёт - он длится вечно!
Без повторений до Творца.

Ему роднёй число есть "е".  (1)
Из натуральных логарифмов
Связал их Эйлер мудрым шрифтом -
В его найдёте "тождестве". (6)

Зовём мы трансцендентным их
Ведь рамки логики узки,
И нам не втиснуть их в мозги -
Но всё ж везде от них есть штрих.

Они в движении дальних звёзд,
В биологических процессах,
И в экономики прогресса
Везде, где ждёшь их и не ждёшь. (2)

В них отражение структуры
Пространства-времени единство:
И консерваций всех причинность
Как, внутренней архитектуры.

"е" - объясняет однородность
И сохранение движения,  (3)
"Пи" - консервацию вращения,
Как и пространства изотропность.    (4)

И факт ещё, прошу прощения
У тех, кто это уже знает:
Ведь цифры "Пи" обозначают,
И день рождения Эйнштейна. (5)


Тождество Эйлера:  е^пи*i+1=0

1. Пи - это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е - основание натуральных логарифмов.
2. Числа Пи и е входят во множество формул в математике, физике, химии, биологии, также в экономике
3. Константа е непосредственно связана с однородностью пространства и времени, и отражает закон сохранения энергии и импульса (количества движения)
Пи - вращательного момента (момента импульса) и отражает закон сохранения вращательного момента (момента импульса).
4. Пи связана с изотропностью пространства.
5.  3,14=14 марта - международный день Пи и день рождения Эйнштейна.
6. Тождество Эйлера — известное тождество, связывающее пять фундаментальных математических констант:
    e — число е, или основание натурального логарифма,
    I — мнимая единица 
    Пи — пи, отношение длины окружности к длине её диаметра,
    1 — единица, нейтральный элемент по операции умножения,
    0 — нуль, нейтральный элемент по операции сложения.



ФРАКТАЛЫ

У Геометрии Евклида
Отличны формы от природы,
Всё идеально и картинно
Круг и квадрат, и треугольник.

Есть геометрия фракталов,
Котрой следует природа -
“Самоподобие в разных шкалах"
И в облаках, снежинках, кронах.

И кровеносная система
И альвеолы наших лёгких,
Подобна всё фрактальной теме
В растениях, людях и животных.

По ним растут на дне кораллы,
Морские звёзды и ежи,
И берега всех океанов,
А также горные хребты.



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО

Я помню метод разрешения
Математических проблем
Для нахождения решения,
Что в лоб не разрешить совсем.

Для этого мы говорим: "Допустим,
Что я не прав, в вы правы"
И “от противного все мысли”,
Так ищем результата мы.

И если результат абсурдный,
И логикой не подкреплен
То это - вариант не нужный -
Он "от противного" решен.

Мы в нашей жизни очень часто
Идем по ложному пути,
Возможно ль все наши задачи
Нам "от противного" решить?

Не делать то, что нам противно,
Душой нигде не покривить,
Не пожелать всё, что завидно...
Урок вам тот поможет жить.



REDUCTIO AD ABSURDUM

Приём известный и не новый,
(От Аристотеля идёт).  (1)
Формальной логики основа
И демагогам с ним везёт. 

Идея вкратце - упрощаешь
Чужое мнение до того,
Что, как абсурдно понимаешь!
И мнение погребено..

Прогресс науки связан с ним,
Как философии, конечно.
Порою он не заменим!
И пользовать его бы вечно.

Так "от противного" задачи
Учили в детстве нас решать.
Люблю я логику, но сдачу
Хочу политикам отдать.

Там тривиально искажение.
Вот -"Гитлер не любил сигар!"
И коль не то к сигарам мнение -
Ты - наци, Гитлера вассал.

Любой политик им владеет
И для того - пресс-секретарь.
Любое мнение развеет
И исказит, как было встарь. 

Так беспринципные с удобством
Софиста скрутят аргумент..  (2)
Заменят правду скользкой ложью.
Учитесь их узнать в момент.


(1) Доведение до абсурда (лат. reductio ad absurdum), или апагогия  — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в вытекающих из него следствиях обнаруживается противоречие.

(2) Софист - в одиозном значении — это человек, готовый с помощью любых, в т.ч. недозволенных, приемов отстаивать свои убеждения, не считаясь с тем, истинны они на самом деле или нет.



О ЛОГО-РИФМАХ

Казалось бы - мечта поэта,
Где "ЛОГО" с "РИФМОЙ" сплетено…
Обманчивы слова, а это
"Обману в степени" равно.

Известно ли вам, что Архимед
О Логарифмах знал когда-то,
Давно, две тысячи с лишним лет...
Поэтам тоже знать бы надо.

Что упрощают вычисления.
Что умножение без труда
Там заменяет лишь сложение
И степень больше не беда.

Но интересно, что природа
По Логарифму вся живёт -
Спираль моллюска и разводы
Галактик млечных хоровод.

Декарт открыл спираль в природе
По Логарифму жизнь ведёт,
Паук по ней свой невод строит
И ураган свой вихрь метёт.

Подолнечник по Логарифму
Свои расставит семена
И мотылёк кружится близко
По Логарифму где свеча.

Вот это очень интересно -
Берет моллюск ли Логарифм?
И как разумные планеты
Сверяют с ним движений ритм?



"ПОДУМАЕШЬ, БИНОМ НЬЮТОНА"

"Подумаешь, Бином Ньютона"
Кот промяукал (“Бегемот” -
Он Воланда слуга покорный),
Предсказывая жизни ход.

Профессор видный Мориарти
Был Шерлока заклятый враг -
Он по Биному диссертацию
Когда-то сделал.    Умный гад.

Всё это только подтверждает
Ньютона гений, но давно
Бином известен был в Китае,
Арабы знали про него.

Но обобщил Ньютон решение,
Возвёл он в степень многочлен...
Избавил нас от всех сомнений -
Как будто нет других проблем?

Скажите нам совсем без прений
Зачем нам нужен тот Бином?
Комбинаторику явлений
Мы без Бинома не найдём.

Теперь Бином для нас не страшен -
Квадратный древний многочлен…
Ньютону бы проблемы наши -
Другую песню б он запел.

Живём мы в мире обьяснённом,
Благодаря тем чудакам -
Кого зовут теперь “учённым”,
Кто жить не мог не зная “Как?”

Не много теорем носили
В истории звание “Великой”.
Во всей истории математики
Её нет более знаменитой.

Мы о Ферма ведём рассказ,
Лет триста лучшие умы
Всё доказать её пытались,
Но до недавнего - увы.

Знакомы все мы с Пифагором -
Где сумма двух квадратных уз
Равнялась третьему квадрату -
Два катета - гипотенуз…

Дано решение Пифагором,
Но и задолго до него
У египтян решенье споро
Существовало всем назло.



ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Решений много, бесконечно,
Взять треугольник лишь прямой…
Теперь квадрат смени на кубы,
Решения нет.  Лежи хоть, стой.

И Пьер Ферма на поле книжки
Вписал: “Решение чудесно!
Нашел его, но мало места …”
И всё, конец его приписки.

Авторитет имел бесспорный,
Никто и в мыслях не посмел
Подумать, что приписка ложна…
Вот нынешним учиться где.

Писал он в год великой чистки
Прошедшей триста лет спустя (1637)
И только Джон Уайлс - английский
Учённый это доказал.

Одной загадкой в мире меньше,
Спасибо тем, кто их решил.
Мы можем больше, видим дальше
Глядя с достигнутых вершин.