Литературный Дневник Живая Математика

"ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА" Я.И.Перельман

Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки (попеременно чёрные и белые).

                ЛЕГЕНДА О  ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

1) Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь.
Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание, - продолжал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.
Сета молчал.

— Не робей, - одобрил его царь. Выскажи своё желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелому размышлению, я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32 …

— Довольно, - с раздражением прервал его царь. — Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

2) За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унёс ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель, - был ответ, - приказание твоё исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь ещё раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт.

— Почему медлят с этим делом? - гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю. Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоём деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. — Мы добросовестно исчислили всё количество зёрен, которое желает получить Сета. Число это так велико ... — Как бы велико оно не было, - надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана ...

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажите растопить льды и снега, покрывающие далёкие северные пустыни. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родиться на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

3) Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчётом.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силён в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за отсчёт, вёл его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он первые сутки отсчитал бы всего 86.400 зёрен.

Чтобы отсчитать миллион зёрен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счёта.

Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей.

Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей.

Вы видите, что, посвятив счёту весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

(Шахматная доска)


               
                ВЫГОДНАЯ СДЕЛКА


Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже, скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы её послушать.

1) Богач - миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

"Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. — Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как поведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

— Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только копейку.

Я ушам не верил:
— Одну копейку? - переспрашиваю.

— Одну копейку, - говорит. — За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

— Ну, - не терпится мне. — А дальше?

— А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвёртую 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое против предыдущего.

— И потом что? - спрашиваю.

— Всё, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что оговорено. Раньше месяца кончать не смей. Сотни тысяч рублей за копейки отдаёт! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

— Ладно, - говорю. — Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

— Будь спокоен, - говорит, - завтра с утра жди.
Однако только боюсь: придёт ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра не долго ждать".

2) Прошёл день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

— Деньги готовь, - говорит. — Я свои принёс.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги - настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:

— Вот моё по уговору. Твой черёд платить.

Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмёт гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует.

Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.

— Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушёл.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: всё правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты. Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей? Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принёс. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушёл, бросив на прощанье:

— К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.

Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует.

Чудак! По-больше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось... Явился незнакомец и на третий день - третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.

Ещё день, и таким же манером явилась четвёртая сотня тысяч - за 8 копеек. Пришла и пятая сотня тысяч - за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки: 1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р.27 коп.

Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трёх миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок ещё хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдаёт... А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч.

На 8-й день получил он 1 р.28 коп.,

на 9-й - 2 р.56 коп.,

на 10-й - 5 р. 12 коп.,

на 11-й - 10 р.24 коп.,

на 12-й - 20 р. 48 коп.,

на 13-й - 40 р. 96 коп.,

на 14-й - 81 р.92 коп.

Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже 1 миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.

Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не промах и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала.

Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала.

В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

за 15-ю сотню тысяч ... 163 р. 84 коп.,

за 16-ю ... 327 р. 68 коп.,

за 17-ю ... 655 р. 36 коп.,

за 18-ю ... 1310р. 72 коп.,

за 19-ю ... 2621 р. 44 коп.

Впрочем, богач считал себя далеко ещё не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.

Прибыль, однако, с каждым днём уменьшалась, притом всё быстрее и быстрее. Вот дальнейшие платежи:

за 20-ю сотню тысяч ... 5.242 р. 88 коп.,

21 ... 10.485р. 76коп.,

22 ... 20.971 р. 52коп.,

23 ... 41.943 р. 04коп.,

24 ... 83.886р. 08коп.,

25 ... 167.772р. 16коп.,

26 ... 335.544р. 32коп.,

27 ... 671.088р. 64коп.

Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора. Дальше пошло ещё хуже.

Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...

Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили.

Вот эти огромные платежи:

за 28-ю сотню тысяч ... 1.342.177 р. 28 коп.,

29 ... 2.684.354р. 56коп.,

30 ... 5.368.709р. 12коп.

Когда гость ушёл в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешёвые на первый взгляд три миллиона рублей.

Оказалось, что уплачено было незнакомцу
10.737.418 р. 23 коп.

Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и всё-таки не прогадал бы.

3) Прежде чем закончить эту историю, покажу, каким способом можно ускорить подсчёт убытков миллионера; другими словами - как скорее всего выполнить сложнее ряда чисел:

1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т.д.

Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:

1 = 1

2 = 1 + 1

4 = (1 + 2) + 1

8 = (1 +2 + 4)+ 1

16 = (1 +2 + 4 + 8)+ 1

32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1 и т.д.

Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица.

Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32.768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32.768) сумму всех предыдущих, иначе сказать - прибавляем то же последнее число без единицы (32.768 - 1).

Получаем 65.535.

Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз.

Его последний платёж был 5.368.709 р. 12 коп.

Поэтому, сложив 5.368.709 р. 12 коп. и 5.368.709 р.11 коп., получаем сразу искомый результат: 10.737.418 р. 23 коп