Тригономентрическая поэма

(стихи для школьников)

Есть в математике разделы;
В тригонометрии раздел
Войдем мы весело и смело.
Там ждут дела нас, много дел.
Окружность с центром О проводят,
Весь круг на четверти разбит.

Там чудеса, там точка бродит,
Диаметр на оси лежит.
Там радиан измерит угол,
И сменит градус радиан.
А точка М идет по кругу,
И синус с косинусом там –
Той точки М координаты.
Тригонометрия богата
И формулы подарит нам.
Теперь за дело! По местам!

Часть1. Радианная мера угла. 

Точка О на плоскость села,
От нее ведем рассказ,
Своим сестрам повелела
Окружить ее тотчас.

– Начинаем мы собранье,
Только вот, что вам скажу:
На одном всех расстоянье
От себя, вас рассажу.

Радиус – то расстоянье,
И окружность – налицо.
Наше дружное собранье –
Идеальное кольцо.

Трудно без образованья:
Образуем же углы.
Измерять их скоро станем
В новых единицах мы.

Познакомьтесь, вот – окружность,
В центре место для меня,
Описать ее наружность
Нам без циркуля нельзя.

Я  для циркуля опора,
Без меня он упадет.
Радиан прибудет скоро;
Вот шаги его, идет!

Радиан заходит важно,
Смотрит грозно Радиан:
«Угол я измерю каждый,
Подтянитесь, эй вы там!
В угол я поставлю всех,
Если будет слышен смех!»

Все углы затрепетали…
– Страшного нет ничего!
Зря углы вы напугали,–
Отвечала точка О.

Объясню я все детали,
Вы, друзья, поверьте мне:
Слуги с вами, чтоб вы знали
Мы тригонометрии.

Гостя посажу я рядом,
Так споемте же друзья
Мы о том, что очень рады,
И о том, что мы – семья!

И углы повеселели,
Вместе с точками запели:
«Радиан, Радиан улыбнитесь,
Будем с вами и мы веселы.
Радиан, Радиан подтянитесь,
Только смелым покоряются углы!»

Радиан растроган очень
Был такою песнею:
«Благодарен Вам я, Точка,
Слушать будем вместе мы.

– Утомлять я вас не стану,
И друг друга мы поймем;
Мы понятье радиана
Для начала разберем.

Стану я теперь вершиной
Не горы, нет, а угла.
На окружности, как видно,
Высекается дуга.

Если мы длину разделим
Той дуги на радиус,
В радианах мы измерим
Угол тот – мотай на ус!

Если ж мы длину разделим
На такую же длину,
То получим, в самом деле,
Единицу лишь одну.

Единицу называем
Радианом, сестры, мы.
В радианах измеряем
Все центральные углы.

«Два пи эр», мы с вами знаем,
У окружности длина,
А теперь мы получаем
Полный оборот угла.

«Два пи эр» на «эр» мы делим,
«Два пи» – вышел результат.
Угол в градусах, на деле,
Равен – триста шестьдесят.

Сопоставить измеренья
С вами мы теперь должны:
Триста шестьдесят делений –
Градусов – равны «два пи».

Мы пропорцию решаем,
А она известна нам;
Без труда мы вычисляем,
Чему равен радиан.

Часть2. Тригонометрическая
          Окружность.

А подобие наверно
Может ход нам отыскать –
Угла мера – неизменна,
Радиус какой ни взять.

 Радиус мы выбираем
 Единицею длиной,
Угол в центре измеряем
Отсеченною дугой.

Просто так сидеть мне в центре
Неудобно без осей,
Единицей, мне поверьте,
Будет радиус теперь.

Направление движенья
Мы от точки М берем.
Против хода направленье
Положительным зовем.

А теперь запоминаем
Весь наш путь логический,
И окружность называем –
Три-гоно-метрической!

Точка М в окно взглянула
И руками вдруг всплеснула:
- Треугольник к нам бежит –
Острые углы-ножи!
Третий угол весь прямой,
И на вид он, как герой!

Переплыл он океан,
Чтобы видеть Радиан.
И кричит: «Спешу, спешу!
Радиана порешу!»

Треугольник в дом вбежал –
Острый угол, как кинжал.
Радиан сказал: - Минутку!
Сумма градусов – не шутка.
Успокойтесь, дорогой,
Прекратите этот бой.

Стойте! Нечего спешить.
Вас попробуем решить.
«Пи на два» - прямой Ваш угол,
Подходите, будьте другом!

Катеты – две стороны,
Прилегают к ним углы.
И прямой Вам не обуза:
Смотрит на гипотенузу.

Отношения найдём
И тихонечко войдём,
Зная геометрию,
Мы в тригонометрию.

Делим катет мы любой
На гипотенузу:
В математику, друг мой,
Труден путь и узок.

Угол прилежащий –
Косинус получим;
Противолежащий –
Синус мы изучим.

Тангенс и котангенс –
Функции похожи,
Для углов лишь разных,
Различить не сложно.

Катет мы на катет
Делим с вдохновением.
Этих знаний хватит
Нам для объяснения.

Треугольник зарыдал:
- Эх, какой я был нахал.
Вы меня простили,
И судьбу решили.

Мне любить вас нужно.
С вами – хоть в окружность.
Что ж, вперёд, ребята,
На координаты!

Циркуль, вдруг, заходит острый:
«В мире всё не так уж просто.
Промолчать никак нельзя –
Угрожают нам, друзья!

Вызывают опасенье
Непростые выраженья.
Выражений тех – напасть,
Все хотят на нас напасть!

Формулы нужны нам, братцы,
Чтобы с нечистью сражаться.
Нужно армию собрать –
Формул всех бесстрашных рать.
Мы врага должны разбить,
То есть, просто – упростить!»

Подытожил Радиан:
- Я ваш смелый капитан.
И пойдём мы дружно
Вместе на окружность.
Будет армия у нас!
Что ж, вперёд! И в добрый час.

Точка О берёт вновь слово:
К объяснению готова:


Часть3. Основное тригонометрическое                тождество.

- Ты, сестра моя, что справа,
На конце диаметра,
Для отсчета ты – начало;
Вот твои параметры:

Ты с абсциссой единицей –
Радиус такой у нас;
С ординатой ноль, сестрица,
 И пойдешь ты в путь сейчас.

Повернем луч без натуги;
Радианной меры суть
В том, что мы построим угол –
Пройденный тобою путь.

И еще три точки важных
Мы построим на осях.
Их запомнить должен каждый,
Как и знаки в четвертях.

Перпендикуляр опустим
Мы MN на ось абсцисс.
В треугольнике, допустим,
Катеты имеют смысл.

Ведь MN – то ордината,
А ON – абсцисса икс.
Синус, косинус, девчата,
И в окружности нашлись.

Радиус-гипотенуза
Единичный, как всегда;
Катеты делить не нужно.
Синус, косинус тогда:

Синус – это ордината,
А абсцисса – косинус,
И напоминать не надо,
Что наука тяжкий груз!

Теорему Пифагора
Мы теперь запишем так:
Слева –  два квадрата новых,
Справа – единицы знак.

( Косинус в квадрате –
То в квадрате катет,
Синус-ордината – это тоже катет.
Возведем «один» в квадрат –
Будет тот же результат! )

Часть3. Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

Хочется узнать значенья
Для особенных углов.
Мы не ради развлеченья
Треугольник строим вновь.

АВС – равносторонний,
Биссектриса есть АК.
Теорему быстро вспомним
Пифагора-страрика.

Биссектриса – медиана
И, к тому же – высота.
Проявляется нежданно
Вот такая красота!

Шестьдесят и девяносто,
Тридцать градусов у нас.
Вычисляем очень просто
Отношения сейчас.

Половина к единице
Будет синус тридцати;
В трех углах – не заблудиться,
Сможем косинус найти.

Три под корнем делим на два –
Это синус «пи» на три.
Поменяв углов порядок,
Косинус легко найти.

Два угла при основанье,
Если катеты равны,
Мы легко находим с вами:
Это четверть числа «пи».

Катеты поделим с вами
На гипотенузу мы.
Синусу, понятно, равен
Косинус от  «четверть «пи».
Два под корнем на два делим –
Результат такой на деле!

Что ж, расширим наши знанья,
А желанье в этом есть,
И наградой за старанье
Будет цифра тридцать шесть.

Это угол при вершине,
Угол, взятый в градусах.
Если правильно отнимем,
То не будет казуса.

Треугольник, взятый нами
Тоже равнобедренный.
Разберемся ж мы с углами,
И с три-гоно-метрией.

Биссектрису мы проводим –
Всяк гляди внимательно –
И углы, что мы находим,
Очень занимательны.

Восемнадцать, тридцать шесть и
Семьдесят два градуса:
Нам решать все это вместе
Очень даже радостно.

Результаты получили
С вами мы заметные,
И начало изучили
Мы три-гоно-метрии!

Провела урок простой
Точка О старательно;
Точки разбрелись домой
Три-гоно-мечтательно.   

Часть 5.

Синус ; плюс «; на два» -
Это косинус угла.
Ну, а косинус той суммы –
Лучше нам и не придумать –
Будет синус,
Но знак – «минус».
Функций этих двух значенья
Нужны не для развлеченья.

И от «минус единицы»
До значения «один»
Принимают по крупицам
Все значения они.

Точки М координаты
Максимальны на осях;
Знать теперь нам очень надо
Знаки функций в четвертях.

Спроектируем мы точки
 На ось икс; и косинус
В части 1-й и 4-й
Будем брать со знаком «плюс».

Смотрим мы на ординаты –
Вывод делаем простой:
Синус будет с тем же знаком
В части 1-й и 2-й.

(продолжение следует)