Два ковбоя. Задача

Ты, дружище, и я —
Прерий мы сыновья
И родились под общей звездою.
Мы, как братья, с тобой:
Я ковбой, ты ковбой —
Два отважных и бравых ковбоя.

Мы пасли табуны
На просторах страны,
Ночевали в заброшенном ранчо,
Вдалеке от людей
Мы своих лошадей
Охраняли от наглых команчей.

Приключений не счесть,
По заслугам и честь:
Говорили — мы парни что надо;
Но услышали весть,
Что на севере есть
Золотая страна Эльдорадо.

Ты клянёшь белый свет,
Мол, наличности нет
И хозяйство бросать нам негоже.
Говорю: "Хорошо,
Вон Обугленный Джо
Купит весь наш табун подороже".

Скачет Джо на коне
Толковать о цене.
"Я не жаден и друг мой не жаден.
За коня, старина,
Столько баксов цена,
Сколько видишь голов в этом стаде.

Что, десятки даёшь?" —
Начинаем делёж,
Пусть у каждого будет заначка:
Десять долларов мне,
Десять баксов тебе —
Так, пока не закончилась пачка.

Мой последний билет,
А тебе горсть монет,
Не в угоду твоим интересам.
Сделав страшный оскал,
Ты сейчас же достал
И направил в меня "Смит и Вессон".

Отвечаю: "Ну что ж,
Вот охотничий нож, 
Свежевать им скотину удобно".
Не припомню никак,
Сколько стоил тесак,
Если мы разошлись полюбовно.


Ответ: 2 доллара.


Решение. Пусть в табуне n лошадей по n долларов за лошадь. Цена сделки n^2 (n в квадрате) долларов. Ковбои делили поровну по 20 долларов ("Десять долларов мне, десять баксов тебе"); неполная двадцатка содержала больше 10 долларов ("Мой последний билет, а тебе горсть монет"). Найдём в этих условиях, какой остаток, больший 10, может давать n^2 при делении на 20, в зависимости от того, чему равен остаток от деления n на 20. Имеем таблицу:

Остаток от деления n на 20:       0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19
Остаток от деления n^2 на 20:   0   1   4   9  16  5  16  9   4   1    0     1     4     9    16    5    16    9     4     1

Подходит только 16, значит, первый (от лица которого повествование) в последнем неравном дележе получил 10 долларов, а второй только 6. Для компенсации первый должен второму 2 доллара, но предпочёл отдать ножом.