Клайн М. Математика. Поиск истины Зарождение матем

Клайн М. Математика. Поиск истины Зарождение математики и ее роль в познании
ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ РОЛЬ В ПОЗНАНИИ
Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика*.
Кант
Боги открыли людям не все. В поиск пустив¬шись, люди сами открыли немало.
Ксенофан
Платье нередко многое говорит о человеке. Шекспир
Хотя информация, которую мы получаем от наших органов ЧУBCTB, рассматривается, анализируется, подвергается экспери¬ментальной проверке и хотя мы располагаем ныне такими мощ¬ными вспомогательными средствами, как телескоп, микроскоп и различного рода приборы, позволяющие производить всевозмож¬ные наблюдения, а также точнейшими измерительными устрой¬ствами, полученное с их помощью знание ограниченно и может считаться достоверными лишь в определенных пределах. Нам гораздо больше известно, чем раньше, о числе планет, о сущест¬вовании у некоторых из них спутников, о темных пятнах на Солн¬це, о применении компаса в навигации. Но достигнутый про¬гресс знания составляет лишь крохотную толику того поистине неисчерпаемого множества разнообразных и важных явлений, которые нам необходимо и желательно знать.
Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика не только уточнила и расши¬рила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспри¬нимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите. То, что в нашей повседневной жизни незримо присутствуют такие физические «духи», не вызывает сомнений. О том, как они были открыты, и пойдет наш рассказ.
Для нас, получивших современное образование, природа и «земные» приложения математики хорошо известны и воспри¬нимаются как нечто само собой разумеющееся. Еще цивилизации, которые мы считаем творцами западно-европейской математики, а именно цивилизации Древнего Египта и Вавилона, около 3000 лет до н. э. создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне не сознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы доступного чувственному опыту. Созданную ими "математику можно сравнить с алхимией, пред¬шествовавшей химии.
Математика как логический вывод и средство познания при¬роды — творение древних греков, которым они начали всерьез заниматься примерно за шесть веков до новой эры. Не сохранилось никаких документов VI — V вв. до н. э., способных рассказать нам, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и ее роли. Вместо этого мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадками историков, один из которых, в частности, утверждает, что греки обнаружили противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой из результатов верен. Аналогичные расхождения обнаружились и по другим вопросам. В качестве еще одного объяснения историки ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки, которые скорее поднимают вопросы, чем дают объяснения. Кое-кто считает, что дедуктивная математика ведет свою родословную от аристотелевской логики, возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические темы. Однако древнегре¬ческая, математика зародилась до Аристотеля.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков начиная с VI в. до н. э. сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания мате-матический план удастся раскрыть и познать.
Как бы то ни было, именно греки были первыми, кому достало дерзости и гения дать рациональное объяснение явлений при¬роды. Неуемная тяга греков к познанию была окрашена волную¬щими, переживаниями поиска и исследования. Занимаясь изыска¬ниями, греки наносили новые области знания на «карты» (при¬мером такой «карты» может служить геометрия Евклида), чтобы те, кто идет следом, могли скорее достичь границ неведомого и принять участие в освоении новых областей.
На несколько более прочной исторической основе мы стоим, когда ссылаемся на то, что Фалес (около 640—546 до н. э.) из греческого города Милета в Малой Азии доказал несколько теорем евклидовой геометрии. Никаких документов того времени не сохранилось, и утверждение, что Фалес Милетский доказал теоремы логическими средствами довольно спорно. Не подлежит, однако, сомнению, что и он, и его современники в Малой Азии размышляли о плане, заложенном в основы мироздания.
Более достоверно известно, что разработанная пифагорейцами (мистическо-религиозным орденом, существовавшим в VI в. до н.э.) программа выявления рационального плана, лежащего в осно¬ве природы, предусматривала использование математики. Пифаго¬рейцев поражало, что физически столь разнообразные объекты обнаруживают тождественные математические свойства. Напри¬мер, Луна и резиновый мяч имеют одинаковую форму и много других общих свойств, присущих всем шарам. Разве не очевидно, что математические соотношения, кроющиеся за внешним раз¬нообразием, и должны быть сущностью явлений?
Если говорить более конкретно, то пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них, было первым принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. По преданию, пифа¬горейцы полагали, что «все вещи суть числа». Их вера в число станет более понятной, если учесть, что пифагорейцы представляли числа наглядно в виде множеств точек (возможно, симво¬лизировавших для них частицы) и располагали точки в виде фигур, которые могли представлять реальные объекты. Например, множества назывались соответственно треугольными и квадратными числами и вполне могли представлять треугольные и квадратные объекты. Не подлежит сомнению и то, что, когда пифагорейцы развили и усовершенствовали свое учение, они начали понимать числа как абстрактные понятия, а физические объекты как их кон¬кретные реализации.
Пифагорейцам принадлежит идея сведения музыкальных интервалов к простым соотношениям между числами; они пришли к этой мысли, совершив два открытия. Первое — что высота звука, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и второе — что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся между собой, как некоторые целые числа. Например, гармоническое созвучие возникает, если заставить колебаться две одинаково натянутые струны, одна из которых вдвое длиннее другой. Музыкальный интервал между издавае¬мыми такими -струнами тонами ныне называется октавой. Другое гармоническое созвучие создают две струны, длины кото¬рых относятся, как три к двум: в этом случае тон, издаваемый более короткой струной, на квинту выше тона более длинной. Длины любых двух струн, рождающих гармоническое созвучие, действительно относятся между собой, как целые числа.
Движения планет пифагорейцы также сводили к числовым соотношениям. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве, производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем движущееся медленно. Возможно, такого рода идеи были навеяны свистящим звуком, который возникает при раскручивании веревки с тяжелым предметом на конце. Согласно пифагорейской астрономии, чем больше рас-стояние от планеты до Земли, тем быстрее планета движется. Следовательно, звуки, издаваемые планетами, изменяются в зави¬симости от их удаленности от Земли, и все звуки подчиняются определенной гармонии. Как и всякая гармония, такая «музыка сфер» может быть сведена к чисто числовым соотношениям. Но тогда и движения планет можно свести к числовым соотноше¬ниям.
Другие характерные особенности природы пифагорейцы также сводили к числу. Особенно высоко они ценили числа 1, 2, 3, 4, образующие четверицу, или тетрактис. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетрактис, ниспослан¬ной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы». Природа, по мнению пифагорейцев, состояла из «четве¬рок» — четырех геометрических элементов (точки, линии, поверх¬ности и тела) и четырех материальных элементов (земли, воздуха, огня и воды),— игравших важную роль в философии, Платона.
Четыре числа, входившие в тетрактис, в сумме давали десять, поэтому число «десять» пифагорейцы провозгласили идеальным числом и усматривали в нем символ всего мира. Но, так как число «десять» идеально, в небесах должны быть десять тел. Чтобы получить нужное число небесных тел, пифа¬горейцы придумали Центральный огонь, вокруг которого обра¬щаются Земля, Солнце, Луна и пять известных тогда планет9 а также Антиземлю, лежащую по другую сторону от Централь¬ного огня. Ни Центральный огонь, ни Антиземля невидимы, так как мы обитаем на той части Земли, которая обращена в противо¬положную от них сторону. Так пифагорейцы построили астро¬номическую теорию, основанную на числовых соотношениях.
Приведенные примеры позволят нам понять высказывание, приписываемое знаменитому пифагорейцу Филолаю, жившему в V в. до н. э.:
Если бы ни число и его природа, ничто существовавшее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь числа проявляется, как нетрудно заметить, не только в деяниях демонов, и богов, но и во всех поступках и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке. (|!ЗЬ с. 21.)
Натурфилософию пифагорейцев трудно назвать состоятельной. Не удалось им продвинуться сколько-нибудь далеко ни в одной из областей естествознания. Их теории с полным основанием можно назвать поверхностными. Тем не менее то ли благо¬приятное стечение обстоятельств, то ли гениальное прозрение позволили пифагорейцам создать два учения, первостепенное значение которых обнаружилось лишь позднее. Первое — что природа устроена на математических принципах и второе — что числовые соотношения суть основа, единая сущность и инструмент познания порядка в природе.
Атомисты Левкипп (ок. 440 до н. а.) и Демокрит (ок. 460— ок. 370 до н. э.) также отводили математике немаловажную роль. Они считали, что вся материя состоит из атомов, различаю¬щихся положением, размерами и формой. Эти свойства атомов физически реальны. Все остальные свойства, такие, как вкус, теплота и цвет, присущи не самим атомам, а обусловлены воздействием атомов на воспринимающего субъекта. Такое чувственное знание ненадежно, так как меняется от одного воспринимающего субъекта к другому. Подобно пифагорейцам, атомисты утверждали, что реальность, лежащая в основе постоянно меняющихся свойств реального мира, может быть выра-жена на языке математики. Все происходящее в этом мире строго предопределено математическими законами.
Первым йз греков, кому мы обязаны наиболее существен¬ным продвижением в математическом исследовании природы, был Платон (427—347 до н. э.). Он не только воспринял некоторые учения пифагорейцев, но и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определяли развитие мысли в Греции достопамят¬ного IV в. до н. э. Платон основал в Афинах Академию, ставшую центром притяжения мыслителей его времени и просущество¬вавшую девять веков. Свои взгляды Платон особенно отчетливо и ясно ИЗЛОЖИЛ в диалоге «Филеб». В вводной главе «Истори¬ческая ретроспектива» мы упоминали о том, что реальный мир, согласно Платону, построен на математических принципах. То, что воспринимают наши органы чувств, не более чем несо¬вершенное представление реального мира. Реальность и рацио¬нальность физического мира может быть постигнута только с помощью математики, ибо «Бог вечно геометризует». Платон пошел дальше, чем пифагорейцы: он стремился не только познать природу, но и выйти за ее пределы, чтобы постичь идеальный мир, построенный на математических принципах, который, по мысли Платона, и есть подлинная реальность. Чувственное, преходящее и несовершенное подлежало замене на абстрактное, вечное и совершенное. Платон полагал, что несколькоf тонких наблюдений внешнего мира позволят составить представление об основных идеях, которые затем могут быть развиты разумом. Необходимость в дальнейших наблюдениях отпадала. После тога как исходные наблюдения произведены, природа должна быть полностью заменена математикой. Платон подверг критике пифа¬горейцев за то, что они, исследовав числа, в которых запечатлена гармония музыкальных созвучий, так и не дошли до изучения естественной гармонии самих чисел. Для Платона математика была не только посредником между идеями и данными чувствен¬ного опыта: математический порядок он считал точным отраже¬нием самой сути реальности. Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического метода, который мы кратко обсудим. В этом методе Платон видел идеальный способ систематизации уже накопленного знания и получения нового.
Наиболее выдающиеся из последователей Платона разделяли его мысль, что математика занимается изучением внешнего мира и позволяет получать о нем истинное знание. Хотя Аристотель и его сторонники занимали несколько иную позицию, чем плато¬ники, тем не менее по вопросу об отношении математики к реаль¬ному миру школа Аристотеля также отстаивала версию о мате¬матическом плане, лежащем в основе всего мироздания. Аристо¬тель утверждал, что математические абстракции почерпнуты из материального мира, однако в его сочинениях нигде не говорится, что математика вносит поправки в чувственное знание, расширяя его. Аристотель считал, что в основе движения небесных тел лежат некие математические принципы, но для него математи¬ческие законы были не более чем описанием событий. Самым важным для Аристотеля была конечная причина, или цель, событий, т. е. он исходил из телеологической концепции.
Когда Александр Македонский (356—323 до н. э.) вознаме¬рился покорить мир, он перенес центр греческой Ойкумены из Афин в один из городов Египта, который он с присущей ему «скромностью» переименовал в Александрию. Именно там, в Александрии, Евклид (около 300 до н. э.) написал первый досто¬памятный документ математического знания — свои классические «Начала». В этой работе впервые было применено доказательство. Помимо «Начал» Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике и музыке, в которых основная роль отведена математике. Математика выступала как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира. Некоторые из теорем Евклида несли в себе новое знание геометрических фигур и свойств целых чисел. Но поскольку ори¬гинальные манускрипты Евклида до нас не дошли, мы не знаем, было ли это новое знание его целью и в какой мере он заботился о надежности знания, добытого чувственным опытом. Одно можно сказать с уверенностью: Евклид проложил путь другим творцам и создателям математики.
Греки «Александрийского периода» (около 300 до н. э.— 600 н. э.) необычайно расширили математику. Упомянем лишь обширный труд Аполлония (ок. 262 — ок. 190 до н. э.) «Кони¬ческие сечения», серию первоклассных работ Архимеда (ок. 287— 212 до н. э.) по многим областям математики и механики, труды по тригонометрии Гиппарха, Менелая и Птолемея (ок. 90—160) и в конце периода «Арифметику» Диофанта. Во всех этих сочинениях так же, как в «Началах» Евклида, излагались идеальные версии объектов, отношений и явлений реального мира. Все они внесли свою лепту в расширение нашего знания.
Греческая цивилизация погибла под натиском римских и мусульманских завоевателей. С ее падением Европа вступила в период Средневековья, продолжавшийся целое тысячелетие — с 500 по 1500 г. Главенствующую роль в средневековой культуре играла церковь, рассматривавшая жизнь на Земле как подго¬товку к загробной жизни на небесах. Исследование природы любыми средствами, как математическими, так и нематемати¬ческими, считалось предосудительным занятием. Тем не менее отдельные мыслители и даже целые группы (Роберт Гроссетест, Роджер Бэкон, Джон Пекхэм, мертонианцы из Оксфорда, к числу которых принадлежали Уильям Оккама, Томас Брадвар, Абеляр из Бата, Тьерри из Шартра и Уильям из Конка) предпринимали попытки продолжить математические и физические исследования. В частности, они видели в математике не противоречащее истине описание физических явлений, и некоторые из них, главным образом Абеляр и Тьерри, настаивали на экспериментальном изучении природы. Все эти мыслители считали, что реальный физический мир в основе своей рационален и математическое рассуждение способно дать знание о нем. Не следует забывать и о вкладе, который в период Средневековья внесли в математику индийцы и арабы и который постепенно вошел в общий свод мате¬матического знания.
Началом современного периода, о котором . в основном и пойдет речь в нашей книге, принято считать конец XV — начало XVI вв. Что касается XVI в., то его часто называют эпохой Ренессанса — возрождения греческой мысли. Для нас сейчас несущественно, каким образом греческие манускрипты попали в Италию, ставшую центром Возрождения.
Европейцы не сразу откликнулись на новые веяния. На протя¬жении этого периода, который нередко называют гуманисти¬ческим, европейские мыслители не столько следовали высоким целям древних греков, сколько изучали труды греческих авторов, но примерно к 1500'г. европейские умы, воспринявшие направлен¬ность античной мысли — приложение разума к исследованию при¬роды и поиск математического плана, лежащего в основе мироздания,— принялись действовать. Однако они столкнулись с серьезной проблемой, поскольку цели, которые ставили перед собой греки, находились в противоречии с культурной традицией, сложившейся в Европе того периода. В то время как греки не сомневались, что природа устроена на математи¬ческих принципах и неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие христианскому Богу. Именно Бог был для них творцом и создателем плана мироздания, и все явления природы неукоснительно следовали предначертаниям этого высшего существа. Весь мир — творение Бога и беспре¬кословно подчиняется его воле. Математики и естествоиспы¬татели эпохи Возрождения, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину. Но католическое, вероучение отнюдь не включало в себя греческое учение о математическом плане, лежа-щем в основе природы. Каким же образом можно согласовать тогда попытку понять созданное Богом мироздание с поиском математических законов природы? Пришлось добавить (к уже существовавшим учениям) новый тезис — о том, что христианский Бог сотворил мир на математической основе. Католическое вероучение, постулирующее первостепенное значение попыток понять волю Господа и его творения, приняло форму поиска математического плана, заложенного Богом в основу миро¬здания. Как мы вскоре убедимся, узнав некоторые подробности, работа математиков на протяжении XVI—XVIII вв. была по существу религиозным исканием. В поисках математических законов природы они священнодействовали, раскрывая славу и величие творения божьего.
Математическое знание, истина о плане, положенном Богом в основу мироздания, при таком подходе обретали столь же бого-вдохновенный характер, как и любая строка Священного писания. Разумеется, смертным не дано постичь божественную мудрость плана с той полнотой и ясностью, с какой она ведома самому Господу Богу, но люди могли смиренно и с подобающей скромностью по крайней мере пытаться приблизиться к божествен¬ному разуму и понять, как устроен мир.
Можно пойти дальше и утверждать, что математики XVI— XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настойчиво стремились найти их, ибо ИСХОДИЛИ из априорного убеждения, что Бог и эти законы включил в общую схему мироздания. Каждое открытие закона природы провозглашалось как еще одно свидетельство мудрости Бога, а не проницательности исследователя. Убеждения и взгляды математиков и естествоиспытателей распространились по всей Европе эпохи Возрождения. Незадолго до того обнаружен¬ные работы греческих авторов противостояли глубоко религиоз¬ному христианскому миру, и духовные лидеры Возрождения, рожденные в одном мире, но тяготевшие к другому, слили учения обоих миров воедино.
Наряду с этим новым интеллектуальным увлечением стало приобретать все более широкую поддержку направление, основан¬ное на идее «назад к природе». Многие естествоиспытатели отвергли нескончаемое умствование на основе догматических принципов, туманных по смыслу и оторванных от опыта, и обра¬тились к самой природе как источнику подлинного знания. К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко называют «научной революцией». Многие события спо¬собствовали или ускорили ее наступление: географические экспедиции открыли новые земли и народы; изобретение теле¬скопа и микроскопа позволило обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в.условиях открытого моря; гелиоцентри¬ческая теория Коперника (см. гл. IV) заставила по-новому взглянуть на нашу планетную систему. Реформация пошатнула догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть главную роль — ключа к природе.
Бегло обозревая исторический фон, на котором происходило развитие европейской математики, мы стремились главным обра¬зом показать, что математика и применение ее к исследованию при¬роды (основная тема последующих глав нашей книги) не возникли неожиданно, как гром среди ясного неба. Свое внимание мы сосредоточим не на элементарной математике, дающей средства для корректировки и расширения нашего знания о явлениях, в основном доступных нашим органам чувств, а на успехах, достигнутых математикой в открытии и описании явлений, либо не доступных непосредственному восприятию, либо вообще, не воспринимаемых нами. При этом нам не понадобится постигать тонкости математических методов, но важно будет понять, каким образом математика позволяет описывать физические явления и получать знание о них.
Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физи¬ческим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные урав¬нения, матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую инту¬итивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разу¬мом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.
На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже по¬нятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохот¬но, принималось после того, как становилась очевидной его полез¬ность в приложениях.
Вторая существенная особенность математики — ее абстракт¬ность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:
Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведе¬ниям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отраже¬ния в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором, ([2], с. 318—319.)
Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном понятии она должна охватывать существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, мате¬матическая прямая должна включать в себя все наиболее значи¬тельные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых лучей.
В том, что математические понятия представляют собой абстракции, нетрудно убедиться на примере наиболее элементар¬ного понятия — числа. Непонимание абстрактного характера этого понятия может приводить к недоразумениям. Поясним эту мысль на простом примере. Человек заходит в обувной магазин и покупает три пары обуви по 20 долл. за пару. Продавец говорит, что три пары обуви по 20 долл. за пару стоят 60 долл. и ожидает, что покупатель уплатит ему эту сумму. Покупатель же возражает, утверждая, что три пары по 20 долл. за пару — это 60 пар обуви, и настаивает, чтобы продавец приготовил 60 пар обуви. Прав ли покупатель? Прав, как прав и продавец. Если число пар обуви, умноженное на доллары, может давать доллары, то почему бы тому же произведению не давать пары обуви? Ответ, разумеется, состоит в том, что мы не умножаем туфли на доллары. Мы абстрагируем числа 3 и 20 из физической ситуации, умножаем одно число на другое, получаем число 60 и интер¬претируем результат в соответствии с физической ситуацией.
Еще одна отличительная особенность математики — идеализация. Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.
Наиболее поразительной особенностью математики, является используемый ею метод рассуждения. Основу его составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного доказа¬тельства (вывода). Слово «аксиома» происходит от греческого «мыслить подобающим образом». Само понятие аксиомы — истины, столь самоочевидной, что она ни у кого не вызывает сомнения,— введено греками. Платоновское учение об анамнезисе утверждало, что люди обладают априорным знанием истин, почерпнутым их душами в объективном мире истин, и что аксиомы геометрии представляют собой воспоминания о некогда известных истинах. Аристотель во «Второй аналитике» упоминает об «общих [положениях], называемых нами аксиомами, из которых, как первичного, ведется доказательство» ([8], с. 200), истинность которых мы постигаем своей безошибочной интуицией. Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное доказатель¬ство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс при¬шлось бы повторять бесконечно. Аристотель также указывал на то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми, ибо в противном случае доказательство не имело бы начала. В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются неопределяемыми. Их значение и свойства зависят от аксиом, предписывающих свойства «точек» и «прямых».
Подобно тому как многие используемые в математике понятия изобретены человеческим разумом, аксиомы об этих понятиях изобретены с таким расчетом, чтобы понятия раскры¬вали те или иные стороны реальности. Например, аксиомы для отрицательных и комплексных чисел с необходимостью должны отличаться от аксиом для положительных чисел или последние должны по крайней мере допускать обобщения, охватывающие отрицательные и комплексные числа. Разумеется, аксиоматизация более новых понятий требует более тонкого подхода, поэтому правильные аксиоматические обоснования некоторых областей математики удалось создать лишь через много лет после воз¬никновения этих областей.
Помимо математических аксиом значительную часть лепты, вносимой математикой в наш физический мир, должно составлять и физическое знание. Оно может принимать форму физических аксиом (например, законов движения Ньютона), обобщений экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физи¬ческие допущения формулируются на языке математики, что позволяет применять к ним математические аксиомы и теоремы.
Но сколь ни фундаментальны понятия и аксиомы, именно дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получать полностью новое знание, вносящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия. Из многих типов рассуждений (индуктив¬ных, по аналогии, дедуктивных и т. д.) только дедуктивное рассуждение гарантирует правильность заключения. Например, придя к заключению «Все яблоки красные» на том основании, что тысяча просмотренных нами яблок были красными, мы поль¬зуемся индуктивным рассуждением, поэтому наше заключение ненадежно. Заведомо ненадежно и заключение «Джон не мог не закончить этот колледж», которое мы делаем на том основании, что брат-близнец Джона, унаследовавший от родителей такие же способности, как и сам "Джон, закончил этот колледж. В этом случае мы рассуждаем по аналогии, и наше рассуждение также ненадежно. В отличие от этого дедуктивное рассуждение, хотя оно может принимать разнообразные формы, гарантирует правильность заключений. Тот, кто считает, что все люди смертны, не может не согласиться с тем, что Сократ смертен. Лежащее в основе этого рассуждения логическое правило является раз¬новидностью того, что Аристотель называл силлогистическим рассуждением, или силлогизмом. К числу других законов дедуктивного рассуждения Аристотель относил закон противоре¬чия (любое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным).
И сам Аристотель, и мир в целом не сомневались в том, что сформулированные Аристотелем принципы дедуктивного рас¬суждения, если их применить к любым посылкам, приводят к заключениям столь же надежным, как и посылки. Следовательно, если посылки были истинными, то заключения также будут истинными. Заметим попутно, что принципы дедуктивного рас¬суждения Аристотель абстрагировал из рассуждений, которыми уже пользовались математики. Дедуктивная логика — дитя мате¬матики.
Необходимо по достоинству оценить, сколь радикальным было неукоснительное следование принципам дедуктивного доказа¬тельства. Мы можем проверить сколько угодно чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Однако мы не можем утверждать, что наш результат есть математическая теорема, поскольку он не был получен путем дедуктивного доказательства. Приведем еще один аналогич¬ный пример. Предположим, что какой-то ученый измерил суммы углов 100 различных треугольников, отличавшихся по распо¬ложению, размерам и форме. В пределах точности измерений все суммы оказались равными 180°. Ученый, разумеется, сделал бы вывод, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но такое заключение верно только в пределах точности измерений. Кроме того, оставался бы открытым вопрос о том, не дадут ли существенно иной результат измерения, производимые над треугольником какой-нибудь еще не испробованной формы. Индуктивное заключение нашего естествоиспытателя математи¬чески неприемлемо. В отличие от него математик начинает с фак¬тов или аксиом, которые представляются надежными. Кто может усомниться в том, что если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы окажутся равными? С помощью таких- неоспоримых аксиом можно, рассуждая дедуктивно, дока¬зать, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рас¬суждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.
Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя стра¬ница, испещренная математическими символами, способна отпуг¬нуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к мно¬жеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббре¬виатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.
Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явле¬ний. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть под¬сказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все идет в ход при построении моделей. Доказательство цемен¬тирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель — евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о. менее очевидных явлениях, чём это делает евклидова геометрия.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо, большей степени как метод расшире¬ния того знания, которое человек способен обрести об окружаю¬щем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рас¬суждениям, она порождает знание о реальном мире, которое сред-нему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.
Важность математики для исследования реального мира под¬черкивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современ¬ный мир»:
Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоя¬тельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта... Парадокс, оконча¬тельно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстрак¬ции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.
И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.