Малая Поэма о теореме Ферма Эйлера в 2-х маленьких

_________________________ В честь 300-летия Леонарда Эйлера, со дня его рождения



 О мой друг, около 100! лет некоторые математики-геометры с тех давних времён решали задачку Пьера Ферма (о натуральном простом числе вида 4n+1) и уже после его смерти (1665г). Решение той задачки было опубликовано впервые лишь в 1758 году Великим Леонардом Эйлером (1707-1783).
 Проходит ещё 250! лет после первого опубликования... и вот я, однако, осмелился предложить тебе здесь весьма свежий и удивительно простой(!) мой метод прохождения тернистого пути к решению этой задачки, да заодно с некоторыми перспективами применения этого метода к другим задачам.

 Итак, мой друг, любое натуральное простое число p=4n+1 (предполагается, что деление числа p (p>4) на четвёрку даёт в остатке единицу, а число n естественно получается "в натуре") обязательно(!) равно сумме двух (точных) квадратов: p=aa+bb, где a,b - некие целые числа (вот к примеру: 5=2·2+1·1 = $2^2+1^2$ ; пятёрка является наименьшим из таковых).

 Да!... а тебе известно, что такое простое число?... Оно не может (даже когда захочет) разделиться существенно на части в виде произведения натуральных чисел: p=qr, где q>1 и r>1, при этом, невозможен и "квадратный" случай, когда q=r, т.е. с помощью одного числа q>1 равенство p=qq тоже невозможно). Имеют место лишь такие два равенства : p=1p=p1.

Оно лишь с единицей
Готово поделиться...
Её ж угодно Богу
Ко всем приклеить сбоку!

 Кстати, поскольку единица делит любое число как бы "формально", ЦЕЛЕСООБРАЗНО не включать её в семейство простых чисел: 2,3,5,7,11,13,... (Внимание! Здесь используется десятичная система счисления!)

 В связи с понятием делимости, будем применять два обозначения: p\a - "число p делит (точно - без остатка!) число a", либо так a//p - "число a делитсЯ (точно) на p" (здесь две косые чёрточки для того, чтобы не смешивать обозначение делимости с результатом деления, когда получаем некое целое число: a/p). Если "число a НЕ делится на p", то будем обозначать так: a[/]p или p[\]a (p не делит a).

Предположим, мой друг, что нам даны два натуральных числа b и q. В тех случаях, когда q<b, но число b не делится на q (если b<q, то очевидно b[/]q), будем пользоваться обозначением [b/q] - для некоторого натурального (и единственного!) числа, которое определяется неравенствами [b/q]q < b < [b/q]q + q как целая часть "неточного деления: b/q" (целая часть так называемого рационального числа b/q). При этом, когда b//q, естественно будем полагать: [b/q]=b/q. Более того, желательно ввести (два - на всякий случай!) обозначения: {b(/)q}, {b./.q} для натурального числа b-[b/q]q, которое будем называть "остатком" от "неточного деления b/q". Такой остаток можно было бы определить однозначно, предполагая точную делимость (b-{b./.q})//q и неравенство {b./.q}<q. Если b<q, то целой части [b/q] попросту не существует, однако само число b можно называть, естественно, остатком (от неточного деления b/q) с тем же обозначением {b(/)q}=b. В связи с этим, будем пользоваться обозначением {.../q} для семейства чисел: 1,2,..., q-1, вкратце называя их остатками делителя q, а точнее остатками при неточном делении на q.

В области целых чисел, используя те же обозначения: a, [a/q], {a(/)q}, {a./.q}, где q>0, определения целой части и остатка буквально остаются теми же, а также и их основные свойства сохраняются в том же буквальном виде. При этом, естественно, будем иметь: {a(/)q}=0, если a//q, и [a/q]=0, когда 0<a<q, [0/q]=0 (но с другой стороны, если -q<a<0, получаем 0<{a(/)q}=q+а<q, и поэтому [a/q] = -1). Итак, при любом целом q>0 для всех целых чисел a справедлива формула:
a = q[a/q]+{a(/)q} (a = q[a/q]+{a./.q}).

 В качестве Определения Простого Числа можно было бы принять следующее фундаментальное свойство его: если p\ab (ab//p), то: либо p\a (a//p), либо p\b (b//p). (Если ты, мой друг, не потеряешь интереса к дальнейшему чтению ещё и 2-ой части Поэмы, то там можно будет найти подсказку и легко убедиться в справедливости этого свойства!)

 Итак, мой друг, можно непосредственно приступить к обоснованию теоремы Ферма - Эйлера в (маленькой по форме) 1-ой части Поэмы:

 Лемма 1. В семействе чисел N = [2,3,... p-2], где p=4n+1 - простое, найдётся такое x, что p\(xx+1).

 "Это же элементарно, Ватсон!" - сказал бы Шерлок Холмс, пожалуй:

 Предположим противное. Пусть оказалось p[\](xx+1) при любом x от 1 до p-1 (при этом, для чисел 1 и p-1 это очевидно при любом p). Однако для каждого числа x < p найдётся некоторое, но в силу предположения другое(!) число y < p с условием p\(xy+1) и, к тому же, оно - единственное (например: для x=1 имеем y=p-1, а для x=2 найдётся число y=(p-1)/2).

 Каждую такую пару чисел {x,y} с (точной) делимостью p\(xy+1) назовём "приятельской".

Рассматривая остатки {x./.p}, {2x./.p}, ..., {(p-1)x./.p}, можно убедиться в том, что они образуют семейство чисел: {.../p}= {1,2,..., p-1}, так как точной делимости здесь не может быть: yx[/]p при любом y<p. В частности, можно убедиться в существовании и единственности числа y<p, при котором получается остаток {yx./.p}=p-1. Тогда, поскольку yx = p[yx/p]+{yx./.p}, обнаружится приятельская пара {x,y} в силу точной делимости p\(xy+1). Предполагая любой из двух (якобы возможных) случаев: либо остаток p-1 отсутствует (т.е. нет искомой приятельской пары {x,y}), либо обнаружится другое число z с остатком {xz./.p}=p-1 (т.е. наоборот, кроме {x,y} есть ещё одна приятельская пара {x,z}), получим две некие пары чисел x,y и x,z (пусть y<z) с одинаковыми остатками {xy./.p}={xz./.p}. Тогда обнаружится невозможное: x(z-y)//p.

 Итак, имеем: 1) для каждого числа a найдётся "приятель" b и они могут быть "приятелями" только(!) друг другу; 2) числа 1 и p-1 образуют приятельскую пару обособленно, так как очевидно(!) не являются искомыми для Леммы при любом p; 3) семейство N, в котором 4n-2 = (p-1)-2 чисел, по существу состоит полностью из приятельских пар {a,b}. Наконец, заметим, что количество этих "парочек" (из чисел семейства N) будет являться чётным числом, ведь вместе с некоторой приятельской парой {a,b} другие(!) числа p-a, p-b, находясь в семействе N, тоже являются "приятелями" друг другу... В общем, получается (окончательное) ПРОТИВОРЕЧИЕ!... с чем?...

 Сделаем, мой друг, небольшой перерыв... ты, возможно, немного устал, да и я боюсь того, что мой результат пока лишь ОПУБЛИКОВАН НЕОФИЦИАЛЬНО (ждём резолюцию: ПРИНЯТО К ПЕЧАТИ) и хотелось бы дождаться прежде, чем... Эх, осталось всего лишь 5 (ПЯТЬ!) строчек к окончанию 1-ой части (и поэтических!), среди которых четыре строки образуют ещё один стишок... (чей?...)

 Хотелось бы, обнадёжить тебя: 2-ая часть по объёму, пожалуй, будет гораздо меньше... главное дело только за Поэзией!... Тебя посетила Муза?...

 А может, ты и сам догадаешься о том, как завершить обоснование Леммы!?... Мне кажется ещё Пьер Ферма об этом знал и мог "опубликовать" своё ДОКАЗАТЕЛЬСТВО на полях любой тогдашней книги! А ты что думаешь?...

_________
здесь стишок о Свойстве Простого числа - творчество моего друга-братика Поэта Вовика